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AULA -13 M
MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
NOÇÕES DE CUSTOS, RECEITA , LUCRO
ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E FUNÇÃO LUCRO
1.1 Função custo
Seja x a quantidade produzida de um produto numa empresa. O custo total de
produção é o valor gasto pela empresa para produzir esse produto. Aí engloba
salários de funcionários, luz, encargos sociais, matérias primas e outros.
Representamos o custo por C(x) ou simplesmente C.
1.2 Função Receita
Seja x a quantidade vendida. Chamamos de Receita o valor arrecadado pela venda
desses x produtos. Representamos a função receita por R(x) ou simplesmente R.
A função receita é o produto do preço de venda pela quantidade vendida x.
Logo : R = p.x
1.3 Função Lucro
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita e a função custo.
Indicamos a função lucro por L(x) ou simplesmente L.
Logo: Lucro = Receita – Custo
Ou
L = R - C
1.4 Função de Demanda
A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores
pretendem adquirir num certo intervalo de tempo: dia , mês , ano...
A função de demanda é indicada por P(x) ou simplesmente P.
Como já vimos, a demanda é utilizada para a determinação da função receita, assim,
novamente: R = p.x
Vamos fazer exemplos explicativos:
1º ) A função de demanda de uma empresa é p = − 5 x + 20. Determinar a função
receita.
Temos que: R = p.x
R = (− 5x + 20 ) x
R = − 5 x
2
Assim a função receita da empresa é : R = − 5 x
2
2º) A função receita de uma empresa é R = − 10 x
2
- 40 x e a função custo dessa
empresa é C = 6 x
3
2
- 8 x – 10. Determinar a função Lucro.
Vimos que : L = R – C
Portanto; L = − 10 x
2
3
2
Vejam a obrigatoriedade do parênteses para subtrair.
L = − 10 x
2
3
2
Vejam também que devem ser trocados os sinais dos elementos dentro do
parênteses.
L = − 6 x
3
2
2
Reduzindo os termos semelhantes, vem:
L = − 6 x
3
2
- 32 x + 10 , essa é a função lucro da
empresa.
Obs: vejam: − 10 + 4 = − 6
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2-1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES.
Aplicações de derivadas na administração de empresas:
2-2 Teorema:
Se para todo x pertencente ao intervalo ( a, b) tivermos a derivada de f( x ) maior do
que zero, ou seja F
’
( x ) > 0, positiva, então a função f ( x ) será crescente. Isto está na
página 163 do livro texto.
Y = 6x – 30 a > 0 crescente F’(x) crescente
X =
= 5 ( raiz)
VDS:
a) Sinal de f’(x)
a = − 14
a < 0, função decrescente
sinal de F’(x)
a) X < 5 , função crescente
X > 5 , função decrescente
b) X = 5, é um ponto de máximo de f(x)
2º) Dada a função f x ) = 3 x
2
− 24 x +10, determine:
a) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
b) Os eventuais pontos de máximo e de mínimo.
Solução:
f x ) = 3 x
2
− 24 x +
f’ x ) = 6x – 24
f’(x) = 0
6x – 24 = 0
6x = 24
X = 4 ( raiz )
a = 6, a > 0 , função crescente
a) x < 4, função decrescente
x > 4, função crescente
b) x = 4, é um ponto de mínimo da função f(x).
demanda
- A função de demanda de uma empresa é dada por p = − 6x + 120. Obtenha o valor
de x que maximiza a receita. ( o ponto de receita máxima)
Solução:
R = P. X
R = ( − 6x + 120 ).x
R(x) = − 6 x
2
R’(x) = − 12x + 120
− 12x + 120 = 0
− 12x = − 120 (−1)
12x = 120
X = 10 ( raiz)
a = −12, função decrescente: F’(x) < 0
sinal de F’(x)
C(x) = x
3
/3 – x
2
C(x) = x
3
/3 – x
2
C’ = x
2
x
2
Δ = b
2
- 4.a .c
a = 1 b = − 2 c = − 35
2
x =
− b ± √❑
X’ =
X
’’
a = 1 , a > 0 ,concavidade para cima.
Resposta:
X = 7 é o ponto onde o custo é mínimo.
- A função lucro de uma empresa é L(x) =
− x
3
2
Determine quantas
peças devem ser produzidas e vendidas para que se tenha lucro máximo.
Solução:
L(x) =
− x
3
2
L’(x) = − x
2
L’(x) = 0
x
2
x
2
− 4 x − 12
a = 1 b = − 4 c = −
Δ = b
2
- 4.a .c
2
x =
− b ± √❑
X’ =
X
’’
Sinal de F’(x)
a = − 1 concavidade para baixo
Resposta:
X = 6 é o ponto de lucro
máximo, ou seja, devem ser produzidas e vendidas 6 peças, para que se tenha o
máximo lucro possível.
- A função de demanda de uma empresa é p = − 9 x + 72 e a função custo é dada por
C ( x )=
5 x
3
− 23 x
2
+ 60 x − 30
. Determine:
a) O ponto onde o lucro é máximo.
b) O lucro máximo.
a) O ponto onde o lucro é máximo
L = R – C
R = P.X = ( − 9 x + 72 ). X = − 9x
2
R = - 9x
2
C ( x )=
5 x
3
− 23 x
2
+ 60 x − 30
L = R – C = − 9 x
2
3
2
L = − 9 x
2
3
2
− 60 x –30 )
L = − 5/3 x
3
2
2
L = − 5/3 x
3
2
L’(x) = − 5 x
2
L’(x = 0
− 5 x
2
5 x
2
− 28 x − 12 = 0
A = 5 B = − 28 C= − 12
Δ = b
2
- 4.a .c
2
x =
− b ± √❑
X’ =
X
’’
Sinal de f’(x)
A = − 5 , concavidade para baixo
X = 6 é o ponto de lucro máximo
b) O lucro máximo
L = − 5/3 x
3
2
L = − 5/3. (6)
3
2
L = − 5/3. 216 + 14. 36 + 12 .6 – 30
L = − 360 + 504+ 72– 30 = 186
L = 186 é o lucro máximo da empresa.
