Derivadas em Funções de Variáveis e Vetorias: Exemplos, Dicas e Ferramentas para a Prova, Exercícios de Cálculo

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- RESUMÃO -

DERIVADAS EM FUNÇÕES DE VÁRIAS

VARIÁVEIS E VETORIAIS

(Cálculo)

Formulário, Dicas e Macetes para a Prova

www.respondeai.com.br

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Para “derivar parcialmente” uma função, trate todas as variáveis como constantes, exceto aquela em relação a qual você está derivando. E, então, é só derivar!

E quando te pedirem o vetor gradiente? De boa, vai ser uma parada assim:

Lembre-se também de que uma função é contínua se o limite quando (𝑥, 𝑦) → (𝑥 0 , 𝑦 0 ) é igual ao valor que a função assume em (𝑥 0 , 𝑦 0 ). Sabendo disso, se perguntarem qualquer coisa sobre continuidade, tudo se resume em:

1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
3. Se 𝜕𝑓𝜕𝑥 e 𝜕𝑓𝜕𝑦 existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
4. Se 𝜕𝑓𝜕𝑥 e 𝜕𝑓𝜕𝑦 existem e

(ℎ,𝑘)→(0,0)^ lim

√ℎ^2 + 𝑘^2

existe, então garantimos que a função é diferenciável no ponto.

Derivadas Direcionais

Te pediram a derivada de uma função 𝑓, num ponto 𝑃 0 , e no sentido de um vetor 𝑢⃗? Só fazer: 𝜕𝑓 𝜕𝑢

Mas aqui vai um detalhe que geral esquece, existe uma situação que você não pode usar essa fórmula, e aí qual vai ser?

Aqui vai outra dica, de maximizar ou minimizar a derivada direcional:

Máximos e Mínimos sem Restrição

Pediram os pontos máximos e mínimos da função? Então:

Máximos e Mínimos com Restrição

(Multiplicadores de Lagrange)

Grande LaGrange! Finalmente chegamos nele! Quando tivermos que encontrar máximos ou mínimos de uma função 𝑓 em uma região 𝑔, vamos fazer: ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦) Procedimento:

1. calcular gradiente da função: ∇𝑓;
2. pegar a equação da curva e jogar tudo pro lado esquerdo (deixe zero no lado direito);
3. definir a função 𝑔(𝑥, 𝑦), sendo o lado esquerdo da equação acima;
4. calcular gradiente de 𝑔: ∇𝑔(𝑥, 𝑦);
5. utilizar multiplicador de Lagrange: ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔;
6. adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima;
7. resolver o sistema.