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Derivadas II
1 -Vimos na apostila (derivadas I) anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x 0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:
Onde:
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber deduzi-las, quando necessário.
Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos y ' , f
' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.
FUNÇÃO y = k , k =
constante y = k.x y
= x y = xn y = a x , 1
a > 0
DERIVADA y ' = 0 y
' = k y' = 1 y ' = n.x n
-1 y ' = a x. ln a
y = e x y ' = e x
y = sen(x) y ' = cos(x)
y = cos(x) y ' = - sen(x)
y = tg(x) y ' = sec 2 (x)
y = u + v y ' = u' + v'
Onde u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x.
Tenham calma, que esta tabela será devidamente ampliada, no devido tempo. Estou partindo da premissa, que a introdução a um assunto novo, tem necessariamente que ser de forma lenta e gradual. Sem pressa!
Exemplos:
a) y= 1000 y '=0 b) y = 200x y ' = 200 c) y = x
5 y ' = 5x
4 d)y = x + sen(x) y ' = x ' + (senx) ' = 1 + cos(x) e) y = x
3
2 y ' = 3x
2
- 2x f) y = sen(x) + cos(x) y ' = cos(x) - sen(x) g) y= 1 / x y ' = (1'.x -1. x') / x
2 = -1 / x
2 h) y = x.sen(x) y ' = x'. sen(x) + x. (senx)' = sen(x)
- x.cos(x) i) y = x + tg(x) y ' = 1 + sec
2 (x)
Agora determine a derivada da função y = x
2 .tg(x). Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]
2
2 -Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x 0
Considere a figura abaixo: Seja determinar a equação da reta r tangente à curva y = f(x), no ponto x = x 0.
FUNÇÃO y = k , k = constante y = k.x y = x y = xn y = a x , 1 a > 0
DERIVADA y ' = 0 y ' = k y' = 1 y ' = n.x n -1 y ' = a x. ln a
y = e x y ' = e x y = sen(x) y ' = cos(x) y = cos(x) y ' = - sen(x) y = tg(x) y ' = sec 2 (x) y = u + v y ' = u' + v' y = u.v y' = u'.v + u.v' y = u / v v 0 y' = (u' v u v') / v
Teremos: x = 0 y = f(0) = 4.
3
2
- 6.0 + 5 = 5 Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que: y - 5 = 1. (x - 0) y - 5 = x y = x+ 5.
Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x
3
2
- 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é y = x + 5.
Agora resolva este:
Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x
3 , no ponto P de abcissa x = 2.
Resposta: y = 12x - 16.
Aguardem a publicação da aula seguinte.
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