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Prof. José do Carmo Toledo
O DESENHO GEOMÉTRICO COM RÉGUA E
COMPASSO
Nas construções geométricas, aqui propostas, utilizaremos somente régua e compasso. Esse era o método usado pelos geômetras gregos na Antigüidade.
A régua é usada apenas para traçar retas e não para medir segmentos. O compasso é utilizado para traçar arcos e circunferências e para transportar segmentos.
De antemão, é preciso deixar claro que toda construção através de instrumentos nos leva a resultados aproximados. Isso ocorre por vários motivos. Entre eles, podemos citar:
- A representação de pontos é feita por pequenas bolinhas, apesar de o ponto geométrico não ter dimensão.
- A representação de retas é feita por linhas grossas, apesar de a reta geométrica não ter espessura.
- Os instrumentos, em geral, são imperfeitos.
As imperfeições de uma construção podem ser minimizadas mantendo-se o lápis – ou lapiseira – sempre bem apontados e utilizando-se grafite de dureza média – F ou H.
CONSTRUÇÕES BÁSICAS
Seis construções são consideradas básicas para a resolução dos problemas de Desenho Geométrico. São elas:
I. Traçar uma reta perpendicular a uma reta dada. II. Traçar a mediatriz de um segmento. III. Traçar uma reta paralela a uma reta dada. IV. Traçar o ângulo congruente a um ângulo dado. V. Construir a bissetriz de um ângulo. VI. Dividir um segmento em partes congruentes proporcionais.
Já que existem vários procedimentos para cada uma dessas construções, vamos adotar o de fixação mais rápida.
Reiteramos que todas essas construções serão realizadas apenas com régua e compasso.
Neste Módulo, vamos estabelecer a primeira dessas construções.
1 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um
de seus pontos:
DADOS:
CONSTRUA:
r s , tal que P r
Solução.
Siga os seguintes passos:
CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.
1. Com centro em P e raio qualquer, trace um arco de circunferência e obtenha A e B na reta s. 2. Com raio maior que d( A , P ), trace arcos de circunferência com centros em A e B , respectivamente, e obtenha o ponto M na sua interseção.
3. Trace a reta MP e chame-a de r.
CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.
Justificativa:
2. Com raio de medida m , trace dois arcos de circunferência com centros em A e B , respectivamente, e determine o ponto M , simétrico de P em relação a s.
3. Trace a reta MP e chame-a de r.
O quadrilátero AMBP é um losango. Os segmentos AB e MP são as diagonais do losango AMBP. Como sabemos: AB (^) é perpendicular a MP.
Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P.
Exercícios
- Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.
- Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.
3. Construa pelo ponto A uma reta perpendicular à semi-reta AB da figura
abaixo.
- Construa a altura AH do triângulo ABC abaixo. Em seguida, meça a base
BC e a altura AH e calcule um valor aproximado, em cm^2 , da área desse triângulo.
- Construa um triângulo retângulo ABC , sabendo que o cateto BC mede
3 cm e a hipotenusa AC mede 6 cm.
3 - Construção de mediatriz de um segmento de reta:
DADOS:
CONSTRUA:
m , mediatriz de AB.
Solução.
Antes de qualquer procedimento, é necessário ter em mente que a mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio.
Lembrando que o losango é um quadrilátero cujas diagonais são perpendiculares entre si e se encontram nos seus respectivos pontos médios,
devemos construir um losango tal que o segmento AB seja uma de suas diagonais. Nesse caso, a reta-suporte da outra diagonal do losango construído é a mediatriz desejada.
Siga, então, os passos que estão indicados na próxima ilustração:
CONCLUSÃO: a reta-suporte que contém MN é a mediatriz de AB.
- Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua graduada.
- Sem usar uma régua graduada, divida o segmento AB , abaixo, em quatro partes iguais:
- O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Obtenha o baricentro do seguinte triângulo:
- O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes desse triângulo. Obtenha o circuncentro do seguinte triângulo:
4 - Construção de reta paralela a uma reta dada, por um
ponto dado:
DADOS:
CONSTRUA:
s //r , tal que P s.
Solução.
Siga os passos que estão indicados na ilustração a seguir.
Justificativa:
Vamos analisar a penúltima figura da construção anterior.
Podemos afirmar que:
ü o triângulo POQ é isósceles. Logo, b =
180 cc ;
ü o triângulo POA é congruente ao triângulo QOB. Logo, a = d ;
s
ü como a + c + d = 180°, então a =
180 cc .
Conclusão: a = b.
Portanto, a reta-suporte do segmento PQ é paralela à reta r.
5 - Construção de reta paralela a uma reta dada, com uma
distância dada:
- Construa duas retas, t e u , tais que: t seja paralela à reta a , dada, passando por H ; u seja paralela à reta d , dada, passando por S.
- Construa um triângulo eqüilátero ABC , de 3 cm de lado, sabendo que o
lado AB é paralelo à reta s dada:
6 - Construção de um ângulo congruente a um ângulo dado:
Dado: o ângulo A^. Construa: o ângulo D^ congruente a A^.
As etapas dessa construção são as seguintes:
Justificativa: Os triângulos COB e FDE são congruentes (caso LLL).
8 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à diferença
entre as medidas de dois ângulos dados:
Os seguintes passos permitem obter essa construção.
Exercícios
- Na figura abaixo, são dados o ângulo AOB e a reta r.
Transporte o ângulo AOB^ , de modo que o vértice O esteja em r.
- Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é.
Construa um triângulo retângulo ABC , sabendo que o cateto AC mede
6 cm e o ângulo BCA mede.
