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Unidade IV
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Objetivos Estudar técnicas adicionais para aplicabilidade em casos nos quais a Lógica proposicional não se aplica. O estudo da teoria dos conjuntos é apresentado, como ferramenta auxiliar para o entendimento da lógica dos predicados. 7 EMBASAMENTO PARA A LÓGICA DOS PREDICADOS 7.1 Sentenças abertas Note-se a seguinte sentença, em que x é uma variável: “x é menor que 8” Para essa sentença, não é possível atribuir um valor lógico de verdadeiro ou falso, pois não se tem conhecimento do valor de x, por isso, essa sentença não é uma proposição. Porém, se for atribuído um valor a x, por exemplo, 45, a sentença será “45 é menor que 8”, pode ser dita como falsa, logo, chamada de proposição. As sentenças desse tipo que possuem uma ou mais variáveis e que não podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas são denominadas de sentenças abertas. As sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas, elas podem representar outros tipos de valores, por exemplo, pessoas ou cidades. Diga-se “y é a capital de São Paulo”. Se a y atribuir-se o conteúdo “São Paulo”, a sentença será verdadeira, caso contrário, será falsa. As sentenças abertas podem possuir uma quantidade de variáveis qualquer. Outra maneira de usá-las é quando utilizam-se frases fora de um contexto, Por exemplo: “Ele foi jogador do Corinthians”. Obviamente, não se pode afirmar se a sentença é verdadeira ou falsa, pois não se sabe quem é ele, porém, em um contexto determinado: “Rivelino foi um craque. Ele foi jogador do Corinthians”, sabe-se que o “Ele” se refere a Rivelino, logo, no caso, pode-se afirmar que a frase é verdadeira. 7.2 Revisão de teoria dos conjuntos Definição de conjunto : é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Em outras palavras, é uma coleção não ordenada de objetos. Exemplo: A = {branco, azul, amarelo}.
LÓGICA
Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado apenas uma vez. Pode-se definir um conjunto de diferentes formas: Denotação por extensão : os elementos são listados exaustivamente. Exemplo: Vogais = {a, e, i, o, u} Denotação por compreensão : definição de um conjunto por propriedades comuns aos objetos. De forma geral, escreve-se {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade. Exemplo: Pares = {n | n é par}, que representa o conjunto de todos os elementos n, tal que n é um número par. Ainda podemos especificar um conjunto omitindo alguns elementos que estão implícitos na notação adotada. Veja exemplos: Dígitos = {0, 1, 2, 3,..., 9}. Pares = {0, 2, 4, 6,...}. Relação de pertinência Se “a” é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: “a” ∈ A e diz-se que “a” pertence ao conjunto A. Se “a” não é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: “a” ∉ A e diz-se que “a” não pertence ao conjunto A. Exemplos: Considerando o conjunto Vogais = {a, e, i, o, u}, pode-se dizer que:
- e ∈ Vogais;
- m ∉ Vogais. Considerando o conjunto B = {x | x é brasileiro}, temos que:
- Pelé ∈ B.
- Bill Gates ∉ B.
LÓGICA
B ⊃ A B contém propriamente A. Neste caso, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Exemplos:
- {1, 2, 3} ⊆ {3, 2, 1};
- {1, 2} ⊂ {1, 2, 3};
- {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}. Definição de conjunto universo : denotado por U, é o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo considerados, ou seja, define o contexto de discussão. Dessa forma, U não é um conjunto fixo e, para qualquer conjunto A, temos que A ⊆ U. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos, ou seja: A = B, ou seja, (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). Exemplos:
- {0, 1, 2} = {x ∈ N | x ≥ 0 ∧ x < 3},
- N = {x ∈ Z x ≥ 0},
- {a, b, c} = {a, b, b, c, c, c}. Pertinência x Inclusão Os elementos de um conjunto podem ser conjuntos. Exemplos: Considere o conjunto S = {a, b, c, d, ∅, {0}, {1, 2}}. Então:
- {a} ⊆ S;
- {a} ∉ S;
- ∅ ∈ S;
- ∅ ⊆ S;
- {0} ∈ S;
- {1, 2} ⊆ S;
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- {a, b, c, d} ∉ S;
- {a, b, c, d} ⊆ S; Podem-se representar conjuntos e suas operações através de figuras geométricas, como elipses e retângulos, denominados diagramas de Venn. Usualmente, os retângulos são utilizados para representar o conjunto universo e as elipses para representar os demais conjuntos. Conjunto A = {a, b, c, d, e}. ab cd e
A
Figura 12 Conjunto A ⊆ B.
ab cd e
B A
Figura 13 Conjunto A ⊆ U.
ab cd e
A U
Figura 14
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O conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x) em A é sempre um subconjunto do conjunto A(Vp ⊂ A). Exemplos: Nos exemplos a seguir, N é conjunto dos números naturais, ou seja, {0,1,2,...}.
- Seja a sentença aberta “x + 4 > 7” em N. O conjunto verdade é: Vp = {x | x ∈ N ∧ x + 4 > 7 } = {4, 5, 6,...} ⊂ N Neste caso, tem-se como conjunto-verdade um subconjunto de N com infinitos valores.
- Para a sentença aberta “x + 10 < 3” em N, o conjunto-verdade é: V (^) p ={x | x ∈ N ∧ x + 10 < 3} = {-8, -9, -10,...} = ∅ ⊂ N Neste caso, tem-se como conjunto-verdade o conjunto vazio, e pela definição de conjunto vazio, ele está contido em qualquer conjunto.
- O conjunto verdade em N da sentença aberta “x + 2 > 1” é: V (^) p = {x | x ∈ N ∧ x + 2 > 1} ={0, 1,...} = N ⊂ N Neste exemplo, o conjunto-verdade coincidiu com o domínio da variável e, logo, com infinitos valores.
- Para a sentença aberta “x é divisor de 4” em N, temos: V (^) p {x | x ∈ N ∧ x é divisor de 4} = {1, 2, 4} ⊂ N Neste caso, tem-se como conjunto-verdade um subconjunto de N, com uma quantidade finita de valores. Se p(x) é uma sentença aberta em um conjunto A, três casos podem ocorrer: a) Se p(x) é verdadeira para todo x ∈ A, isto é, o conjunto-verdade Vp coincide com o universo A da variável x, ou seja, V (^) p = A, então p(x) é uma condição universal ou uma propriedade universal no conjunto A. b) Se p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A, isto é, o conjunto-verdade V (^) p é um subconjunto próprio do universo A da variável x, ou seja, V (^) p ⊂ A, então p(x) é uma condição possível ou uma propriedade possível no conjunto A.
LÓGICA
c) Se p(x) é falso para todo x ∈ A, isto é, o conjunto-verdade V (^) p é vazio, ou seja, Vp = ∅, então p(x) é uma condição impossível ou uma propriedade impossível no conjunto A (ALENCAR FILHO, 2002). 7.3.2 Sentenças abertas com duas variáveis Sejam A e B dois conjuntos, uma sentença aberta com duas variáveis em A x B (A cartesiano B) é uma expressão p(x, y) tal que p(a, b) é falsa ou verdadeira para todo o par ordenado (a, b) ∈ A x B. O conjunto A x B recebe o nome de conjunto universo ou domínio das variáveis x e y, e qualquer elemento (a, b) de A x B é denominado um par de valores das variáveis x e y. Se (a, b) ∈ A x B é tal que p(a, b) é uma proposição verdadeira, então diz-se que (a, b) satisfaz ou verifica p(x, y). Uma sentença aberta com duas variáveis em A x B também se chama função proposicional com duas variáveis em A x B ou, simplesmente, função proposicional em A x B. Exemplos adaptados de Alencar Filho (2002): Sejam os conjuntos A {1, 2, 3} e B = {5, 6} e as seguintes sentenças abertas a seguir. a. x é menor que y; b. y é o dobro de x. O par ordenado (3, 5) ∈ A x B, por exemplo, satisfaz (a), pois 3 <5, e o par ordenado (3, 6) ∈ A x B satisfaz (b). O par (3,5) não satizfaz b. 7.3.3 Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis O conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x, y) em A x B é o conjunto de todos os elementos (a, b) ∈ A x B tais que p(a, b) é uma proposição verdadeira (ALENCAR FILHO, 2002). Este conjunto representa-se por V (^) p. Em símbolos: Vp = {(x,y)| x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ p(x,y)} ou, simplesmente: V (^) p {(x,y) ∈ A x B | p(x,y)} O conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x, y) em Ax B é sempre um subconjunto do conjunto A x B, ou seja, Vp ⊂ A x B (ALENCAR FILHO, 2002).
LÓGICA
Exemplo: A expressão “2x + 2y + 2k +2z > 10 ” é uma sentença aberta em N x N x N x N, sendo N o conjunto dos números naturais. A quadra ordenada (2, 2, 2, 2) ∈ N x N x N x N, por exemplo, satisfaz essa sentença aberta, já que 2.2 + 2.2 +2.2 + 2.2 > 10. 7.3.5 Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis O conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x 1 , x 2 ,...,xn) em A 1 x A 2 , x,...,x A (^) n é o conjunto de todas as n-uplas (a 1 , a 2 ,...,an) ∈ A 1 x A 2 x,...,x An, tais que p(a 1 , a 2 ,...,an) é uma proposição verdadeira. Em símbolos: Vp = {(x 1 ,x 2 ,...,xn) | x 1 ∈ A 1 x 2 ∈ A 2 ∧... ∧ x (^) n ∈ An ∧ p(x 1 , x 2 ,...,xn)} ou seja, V (^) p = {(x 1 ,x 2 ,...,xn) ∈ A 1 x A 2 x,...,x An I p(x 1 , x 2 ,...,xn)}
Observação Em matemática, as equações e as inequações são sentenças abertas que definem uma relação de igualdade e desigualdade, respectivamente, entre duas ou mais expressões com uma ou várias variáveis. Mas, o conceito de sentença aberta é muito mais amplo que o de equação ou inequação; assim, “x divide y”, “x é jogador do time y”, “x é mecânico de y”, etc., são sentenças abertas, sem serem equações nem inequações (ALENCAR FILHO, 2002). 7.4 Operações lógicas sobre as sentenças abertas As operações lógicas sobre as sentenças abertas tem o comportamento idêntico às operações lógicas sobre as proposições, por conseguinte, o desenrolar das explicações será abreviado. 7.4.1 Negação Considere-se como conjunto universo o conjunto dos números naturais N para a seguinte sentença aberta adaptado de Alencar Filho (2002): “x > 12”
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Antepondo a essa sentença aberta o conectivo ~ (que se lê “não é verdade que”), obtém-se uma nova sentença aberta em N: “~x > 12” que é natural chamar negação da primeira, pois é verdadeira quando x não satisfaz a proposição original. A negação de “x > 12” é logicamente equivalente à seguinte sentença aberta em H: “x = 12 ∨ x < 12”, melhor representada por “x ≤ 12”. Segue outro exemplo adaptado de Alencar Filho (2002): No universo N (conjunto dos números naturais): ~ x é par ⇔ x é ímpar. Isto é, x não é par se e somente se x é ímpar. Dada uma sentença p(x) aberta em um conjunto A, e seja o elemento a ∈ A, este satisfaz a sentença aberta ~p(x) em A se a proposição ~p(a) é verdadeira e, consequentemente, a proposição p(a) é falsa, isto é, se e somente se a ∈ A não satisfaz a sentença aberta p(x) em A. Portanto, o conjunto-verdade V~p da sentença aberta p(x) em A é o complemento em relação a A do conjunto-verdade Vp da sentença aberta p(x) em A (ALENCAR FILHO, 2002). Em símbolos: V (^) ~p = CAVp = CA {x ∈ A I p(x)} Ou seja, o conjunto complementar de Vp em A é formado por todos os elementos que estão em A mas não estão em Vp. Disso tem-se que a intersecção de Vp com V~p é vazia. Exemplo adaptado de Alencar Filho (2002): Seja A o conjunto dos números naturais múltiplos de 3, isto é, A = {3k |k ∈ N} = {3, 6, 9, 12,...}. p(x): x múltiplo de 3 temos: V (^) ~p = CA {x ∈ A | x é múltiplo de 3} = {x ∈ A | x não é divisível por 3}.
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x y x y
x y
^
o qual pode ser escrito de uma forma mais sintética: 2x + 2y = 6 ∧ 2x - 3y = -4 ⇔ x = 1 ∧ y = 2 Generalizando-se, sejam as proposições P 1 (x), P 2 (x),...,Pn(x) sentenças abertas em um conjunto A qualquer. Para satizfazer a conjunção de P 1 (x) ∧ P 2 (x) ∧... ∧ P (^) n(x), o elemento a ∈ A deve satisfazer cada sentença aberta P 1 (x), P 2 (x),..., Pn(x) em A para que a proposição P 1 (x) ∧ P 2 (x) ∧... ∧ P (^) n(x) seja verdadeira. Portanto, o conjunto verdade V (^) P1∧P2∧...∧Pn da sentença aberta P 1 (x) ∧ P 2 (x) ∧... ∧ P (^) n(x) em A é a intersecção dos conjuntos-verdade Vp1,Vp2,..., Vpn (ALENCAR FILHO, 2002). Em símbolos: V (^) P1∧P2∧...∧Pn = VP1 ∩ V (^) P2⋂∩...⋂∩ V (^) Pn = {x ∈ A I P 1 (x) } ∩ {x ∈ A I P 2 (x)} ∩ ... ∩ {x ∈ A I Pn(x)}. Exemplo: A) Sejam as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inteiros): p(x) : x - 3 = 0; q(x) : x 2 - 9 = 0. Temos: V (^) p∧q = {x ∈ Z I x-3 = 0} ∩ {x ∈ Z I x^2 – 9 = 0} = {3}) ∩ {-3, 3} ={3} Vp∧q = {x ∈ Z I X = 3} 7.4.3 Disjunção Sejam as seguintes sentenças abertas adaptadas de Alencar Filho (2002): “x é carpinteiro”, “x é piloto de avião”. O conjunto universo da variável x para cada uma das proposições pode ser considerado como sendo o conjunto H dos seres humanos.
LÓGICA
Unindo essas duas sentenças abertas pelo conectivo ∨, obtém-se uma nova sentença aberta em H: “x é carpinteiro ∨ x piloto de avião”. que será verdadeira para todos os indivíduos que satisfazem pelo menos uma das duas condições dadas. Diz-se que a nova sentença aberta obtida é a disjunção das proposições. Analogamente, a conjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números reais): “x > 5’’, ‘‘x < 10’’ é a sentença aberta em “x > 5 ∧ x < 10”. Obviamente, qualquer número real satisfaz essa proposição, logo, o conjunto-verdade seria o próprio R, sendo que, em alguns casos, ele pode satizfazer simultaneamente as duas proposições. Vp⋂∨q = R Para as seguintes proposições: “x < 5’’, ‘‘x > 10’’, a sentença aberta em “x < 5 ∨ x > 10” tem uma diferença no conjunto-verdade, que já não é mais R, mas, sim, R menos a região entre 5 e 10. Vp⋂q= R - {x ∈ R | 5 ≤ x ≤ 10} Generalizando-se, sejam as proposições P 1 (x), P 2 (x),..., P (^) n (x) sentenças abertas em um conjunto A qualquer. Para satisfazer a conjunção de P 1 (x) ∨ P 2 (x) ∨ ... ∨ P (^) n (x), o elemento a ∈ A deve satisfazer cada sentença aberta P 1 (x), P 2 (x),..., P (^) n (x) em A para que a proposição P 1 (x) ∨ P 2 (x) ∨ ... ∨ P (^) n (x) seja verdadeira. Portanto, o conjunto-verdade VP1⋂P2⋂...⋂Pn da sentença aberta P 1 (x) ∨ P 2 (x) ∨ ... ∨ Pn(x) em A é a união dos conjuntos verdade Vp1,Vp2,..., Vpn (ALENCAR FILHO, 2002). Em símbolos: V (^) P1∨P2∨...∨Pn = VP1 ∪ V (^) P2 ∪...∪ V (^) Pn = {x ∈ A I P 1 (x) } ∪ {x ∈ A I P 2 (x)} ∪ ... ∪ {x ∈ A I Pn(x)}.
LÓGICA
Escreve-se: V (^) p→q = CN {x ∈ N |x < 13} U {x ∈ N |x > 9} = {x ∈ N |x < 13} U {x ∈ N |x > 9} = {x ∈ N |x > 9} 7.4.5 Bicondicional Dadas duas proposições p(x) e q(x) que sejam sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Se essas duas sentenças abertas forem unidas pelo conectivo ↔ obter-se-á uma nova sentença aberta em A: “p(x) ↔ q(x)”, que é verdadeira para todo elemento a ∈ A tal que a bicondicional “p(a) ↔ q(a)” é verdadeira (ALENCAR FILHO, 2002). Para determinar-se o conjunto-verdade da bicondicional, será considerada a seguinte expressão: p(x) ↔ q(x) ⇔ (p(x) → q(x)) ∧ (q(x) → p(x)), e daí segue-se que o conjunto-verdade V (^) p ↔ q da sentença aberta p(x) ↔ q(x) em A coincide com o conjunto-verdade da sentença aberta em A: (p(x) → q(x)) ∧ (q(x) → p(x)) que é a interseção dos conjuntos-verdade das condicionais p(x) →q(x) e q(x) →p(x) em A, ou seja, Vp → q interserção Vq →p das sentenças abertas em A: Em símbolos: V (^) p ↔q = Vp → q ∩ V (^) q → p = (V~p U Vq) ∩ (V (^) ~q U Vp) = (CAVp U Vq) ∩ (C (^) AVq U Vp ) Exemplo adaptado de Alencar Filho (2002): Dadas as sentenças abertas em N (conjunto dos números naturais): p(x): x > 16, q(x): x < 5 Tem-se: C (^) NVp U Vq = CN {x > 16} U {x < 5} = {x ≤ 16} U {x < 5 } = {x ≤ 16} CN Vq U Vp = CN { x < 5} U {x > 16} = {x ≥ 5} U { x > 16} = {x ≥ 5} finalmente: Vp ↔ q = {x ≤ 16} ∩ {x ≥ 5} = { 5 ≥ x ≤ 16} Note-se nesse exemplo que o conjunto-verdade torna a proposição verdadeira, porém, observe que no caso em questão a proposição é verdadeira porque ambos os lados são falsos, ou seja, F ↔ F.
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7.4.6 Propriedades das sentenças abertas No tocante às propriedades das sentenças abertas, isto é, as propriedades da distribuição, associação etc., tem-se exatamente o mesmo comportamento das proposições normais. 7.5 Quantificadores 7.5.1 Quantificador universal Encontramos em Alencar Filho (2002) que, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A(A ≠ ∅), onde Vp é o conjunto-verdade. Em símbolos: Vp ={x|x ∈ A ∧ p(x)}. Quando V (^) p = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), pode-se escrever de alguma destas maneiras a seguir:
- “Para todo elemento x em A, p(x) é verdadeira”.
- “Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira”. Em símbolos: ∀ x ∈ A, p(x) Simplificadamente, por exemplo: ∀ x, p(x) pois vale a equivalência: (∀ x ∈ A)(p(x)) ⇔ V (^) p = A
Observação Nota-se que p(x) é uma sentença aberta e, por isso, não tem valor lógico V ou F; contudo, a sentença aberta p(x) com o símbolo ∀ antes dela, isto é, (∀ x ∈ A) (p(x)), torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor lógico, que é verdadeiro se Vp = A e falso se Vp ≠ A (ALENCAR FILHO, 2002). A essa operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo ∀ (que é um A invertido), o de quantificador universal. Em particular, seja A um conjunto finito com n elementos a 1 , a 2 ,..., a (^) n, isto é, A = {a 1 , a 2 ,..., a (^) n}, é óbvio que a proposição (∀ x ∈ A)(p(x)) é equivalente à conjunção das n proposições p(a 1 ), p(a 2 ),..., p(an),
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Em símbolos: ∃ x ∈ A, p(x) Simplificadamente, por exemplo: ∃ x, p(x) pois, vale a equivalência: (∃ x ∈ A)(p(x)) ⇔ Vp ≠ ∅
Observação A essa operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo ∃ (que é um E invertido), o de quantificador existencial (ALENCAR FILHO, 2002).. Seja A um conjunto finito com n elementos a 1 , a 2 , e seja a, isto é, A = {a 1 , a 2 ,..., a (^) n }, a proposição (∃ x ∈ A)(p(x)) é equivalente à disjunção das n proposições p(a 1 ), p(a 2 ),..., p(a), ou seja: (∃ x ∈ A) (p(x)) ⇔ (p (a 1 ) ∨ p(a 2 ) ∨ ... ∨ p(a (^) n))
Lembrete Em um universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas. Exemplo adaptado de Alencar Filho (2002): Seja o seguinte conjunto universo finito A = {3, 4, 5} e sendo p(x) a sentença aberta “x é par”, temos: (∃ x ∈ A) (p(x)) = (3 é par ∨ 4 é par ∨ 5 é par) 7.5.3 Quantificador da unicidade Temos em Alencar Filho (2002) uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A(A ≠ ∅) e seja Vp o seu conjunto-verdade composto por apenas um elemento, e somente um elemento. Usa-se a seguinte simbologia:
LÓGICA
∃! ou ∃|, isto é, existe um e somente um. Exemplo adaptado de Alencar Filho (2002): Seja a sentença: “x - 3 = 0”, em que o conjunto universo é o dos numeros naturais N (∃! x ∈ N)(x – 3 = 0) Ou seja, existe um e somente um x em N tal que x – 3 = 0 seja verificada. 7.5.4 Negação de um quantificador Evidentemente, pode-se negar qualquer expressão na qual se use o quantificador universal ou o quantificador existencial. a. ~∀ ou b. ~∃ Em a. se está negando o quantificador universal “todos”; isso quer dizer que há pelo menos um, ou seja, existe ao menos um que não satisfaz a condição proposta. No caso b. se está negando a existência de pelo menos um, e nesse caso quer dizer que não existe nenhum elemento que satisfaça a condição proposta. No caso b. também usa-se o símbolo do E invertido cortado por uma barra inclinada, ou seja, ~∃ equivale a ∃/^ , que quer dizer que não existe nenhum elemento. Exemplos:
- “Todos os carros são bonitos”; neste caso, pode-se usar como o conjunto universo o conjunto de carros produzidos por uma montadora qualquer. Negar essa frase significa dizer: “Nem todos os carros são bonitos.”
- “Pelo menos um aluno tirou nota dez em lógica”; neste caso, o conjunto universo pode ser o conjunto de todos os alunos de uma turma em particular. Negar essa proposição quer dizer: “Nenhum alunos tirou dez em lógica.” 7.5.5 Quantificação com várias variáveis A quantificação de sentenças abertas com várias variáveis possui algumas particularidades que devem ser exploradas.
