Introdução à Teoria dos Conjuntos: Conceitos Básicos e Operações, Exercícios de Estatística Aplicada

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Profª Elisângela da Silva Rodrigues

Campina Grande Outubro 2010

FURNE Fundação Universitária de Apoio ao Ensino, Pesquisa e Extensão

Pertenço a um gênero de portugueses Que depois de estar a Índia descoberta Ficaram sem trabalho. A morte é certa. Tenho pensado nisto muitas vezes. Álvaro de Campos, Opiário

Pertencia em suma à classe de mulheres que, a começar pelo corpo e acabar pela alma, se tornam amantes perfeitas. Lianças com elas jamais se rompem. Quem as ama, ama-as até à morte. Aquilino Ribeiro, A Casa Grande de Romarigães

Dicionário Universal da Língua Portuguesa,

Texto Editora

conjunto: complexo; reunião das partes que

constituem um todo.

coleção: conjunto, reunião de objetos;

compilação; ajuntamento; série; grupo.

Dicionário da Língua Portuguesa

Contemporânea, Academia das Ciências de

Lisboa, Editorial Verbo

conjunto: Reunião de vários elementos que

funcionam como uma unidade; aglomeração;

coleção; grupo; série.

coleção: conjunto de objetos da mesma

natureza; compilação; coletânea.

 Noção intuitiva de conjunto

O conceito de conjunto está na base de toda a Matemática. Antes de nos debruçarmos sobre o conceito de conjunto, começaremos por dar alguns exemplos de conjuntos.

• O conjunto dos números naturais.
• O conjunto das equipes de futebol da divisão de honra.
• O conjunto dos cidadãos portugueses que estão presos.
• O conjunto dos deputados da Assembléia da República Portuguesa.
• O conjunto dos números reais.
• O conjunto dos países da União Européia.

 Noção intuitiva de conjunto

• O conjunto dos números pares.
• O conjunto dos números ímpares.
• O conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4.
• O conjunto dos números primos.
• O conjunto dos números reais que são solução da equação x^4 + x = 0.

 Pertinência – Notação: ∈

Para dizermos que um objeto x pertence a um

conjunto A escrevemos

x ∈ A

Para dizermos que um objeto y não pertence

a um conjunto B escrevemos

y ∉ B

 Pertinência – Notação: ∈

Exemplos de proposições verdadeiras

• O número 5 pertence ao conjunto dos números naturais.
• O número −35 não pertence ao conjunto dos números naturais.
• O número pi não pertence ao conjunto dos números naturais.
• O número raiz de pertence ao conjunto dos números irracionais.
• A China não pertence ao conjunto dos países da União Européia.

 Maneiras de descrever um conjunto

• De maneira explícita: A={água, terra, fogo, ar}.
• Indicando um padrão: P={2, 4, 6, 8, ...}
• Por recursão: Se 2 ∈ S E se n ∈ S, então (n+2) ∈ S

 Maneiras de descrever um conjunto

• Através de uma propriedade que os elementos do conjunto tenham em comum:
• A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}
• S={x|x é solução para x^2 – 4 = 0}

 Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais se tiverem os mesmos elementos. Portanto, sendo A e B dois conjuntos, tem-se

A = B

Se, para todo o objeto x , forem verificadas as seguintes condições:

x ∈ A ⇒ x ∈ B e x ∈ B ⇒ x ∈ A

 Desigualdade de Conjuntos

Se existe elemento de A que não pertence a B ou existe elemento de B que não pertence a A, então diz se que A não é igual a B.

A # B

x ∈ A e x ∉ B ou equivalente x ∈ B e x ∉ A

 Teoremas

Teorema 1 (Prop. Reflexiva)

Qualquer que seja o conjunto A tem-se A ⊂ A.

Teorema 2

O conjunto vazio (∅) está incluído em qualquer conjunto A.

Teorema 3 (Prop. Transitiva)

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B tem-se

A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B

 Teoremas

Demonstração do Teorema 3

Consideremos a proposição “A ⊂ B e B ⊂ A”. Isto significa que todo o elemento de A é elemento de B (porque A é um subconjunto de B) e que todo o elemento de B é elemento de A (porque B é subconjunto de A). Em conclusão os elementos de A são precisamente os elementos de B. Portanto os dois conjuntos são iguais.