EDO Modelo de Epidemia, Trabalhos de Equações Diferenciais Aplicadas

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CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – CEAVI DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA SANITÁRIA – DESA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROFESSOR: JARBAS CLEBER FERRARI

MODELO DE EPIDEMIA

No modelo de epidemia, analisa-se o fato de propagação de uma doença. Matematicamente, deve-se considerar que:  (^) Uma fração “” de uma população possui uma certa doença;  (^) Considerando que, a população total seja 1, no caso, um número inteiro, a fração da população que não possui a doença é dada por:  (^) Como constitui-se de uma epidemia, a doença possui uma taxa de transmissão, onde a taxa “” é proporcional à “”.

Onde: =. Taxa de crescimento da epidemia em relação ao tempo

Onde =. Taxa de crescimento natural (constante)

Onde =. Fração da população não contaminada

Assim, =. Observa-se que:

É uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem separável

∫ 𝟏 𝒙 ( 𝟏 − 𝒙 ) 𝒅𝒙 (^) Resolvendo a integral por frações parciais 1 𝑥 ( 1 − 𝑥 ) = 𝐴 𝑥

𝐵 1 − 𝑥 1 𝑥 ( 1 − 𝑥 ) = 𝐴 ( 1 − 𝑥 )+ 𝐵𝑥 𝑥 ( 1 − 𝑥 ) 1 = 𝐴 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥

Onde A = B = 1

∫ 𝑑𝑥 𝑥 ( 1 − 𝑥 ) =∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 +∫ 1 1 − 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ( 1 − 𝑥 )

=ln (^ 𝑥 )^ − ln ( 1 − 𝑥 )+ c

Logo, ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ( 1 − 𝑥 ) =∫ 𝑘𝑑𝑡 É: ln ( 𝑥 ) − ln ( 1 − 𝑥 ) + 𝑐 1 = 𝑘𝑡 + 𝑐 2 Simplificando:

ln

(

)

𝑘𝑡

a) A proporção de indivíduos enfermos e sãos como função do tempo. 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 = 10 % ⇔ 1 10

𝑘𝑡 1 10 1 − 1 10 = 𝐴𝑒 𝑘 0 𝟏

1 10 . 10 9 = A 𝐴 = 1 9 𝑥 1 − 𝑥 = 1 9 𝑒 𝑘𝑡

1 4 = 1 9 𝑒 7 𝑘 9 4 = 𝑒 7 𝑘

ln

(

)

= 7 𝑘 𝑘 =ln

(

)

𝑘𝑡 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 𝐴 𝑒 𝑘𝑡

• 1

Após certas manipulações algébricas,

obtém-se, isolando “”: