Elementos de Teoria dos Números, Notas de estudo de Matemática

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Elementos da Teoria dos N´umeros

Mauri Cunha do Nascimento

H´ercules de Araujo Feitosa

Sum´ario

• Introdu¸c˜ao
• 1 Conjuntos, rela¸c˜oes e fun¸c˜oes
  • 1.1 A no¸c˜ao de conjunto - de um conjunto 1.1.1 Rela¸c˜ao de pertinˆencia e a determina¸c˜ao
    • 1.1.2 Tipos de conjuntos
    • 1.1.3 Inclus˜ao e igualdade de conjuntos
    • 1.1.4 Conjunto das partes de um conjunto
      • dos conjuntos 1.1.5 Opera¸c˜oes com conjuntos e a ´algebra
  • 1.2 Rela¸c˜oes
    • 1.2.1 Rela¸c˜oes de equivalˆencia
    • 1.2.2 Rela¸c˜oes de ordem
  • 1.3 Fun¸c˜oes
• 2 Propriedades dos inteiros
  • 2.1 Opera¸c˜oes elementares com inteiros
• 3 Indu¸c˜ao matem´atica
  • 3.1 A boa ordem e os princ´ıpios de indu¸c˜ao
    • Matem´atica 3.2 Aplica¸c˜oes dos princ´ıpios de indu¸c˜ao na
  • 3.3 Fatorial, n´umeros binomiais e triˆangulo de Pascal
  • 3.4 A indu¸c˜ao matem´atica e a indu¸c˜ao de Hume
• 4 Divisibilidade e algoritmo da divis˜ao
  • 4.1 Divisibilidade
  • 4.2 O Algoritmo da divis˜ao de Euclides
• 5 Bases de numera¸c˜ao e representa¸c˜ao 8 SUM ´ARIO
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Representa¸c˜ao de inteiros em uma base
  • 5.3 Contagem e opera¸c˜oes aritm´eticas
  • 5.4 Breves coment´arios
• 6 Crit´erios de divisibilidade
  • 6.1 Alguns crit´erios
• 7 MDC e MMC
  • 7.1 M´aximo divisor comum - MDC
  • 7.2 M´ınimo m´ultiplo comum - MMC
• 8 N´umeros primos
  • 8.1 Sobre os n´umeros primos
  • 8.2 O Teorema Fundamental da Aritm´etica
    • 8.2.1 N´umero de divisores de um inteiro
      • fatora¸c˜ao 8.2.2 O c´alculo do MDC e MMC a partir de
  • 8.3 O crivo de Erat´ostenes
  • 8.4 A Conjectura de Goldbach
• 9 Congruˆencias
  • 9.1 A congruˆencia e o resto da divis˜ao
  • 9.2 O Pequeno Teorema de Fermat
  • 9.3 O Teorema de Euler
  • 9.4 A aritm´etica m´odulo n
    • 9.4.1 Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao em Zn
      • Teorema de Wilson 9.4.2 Propriedades das opera¸c˜oes em Zn e o
  • 9.5 A Prova dos Noves Fora
  • SUM ´ARIO
  • 10 Equa¸c˜oes diofantinas lineares
    • 10.1 Solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diofantinas lineares
  • 11 O ´Ultimo Teorema de Fermat
    • 11.1 Ternas pitag´oricas
    • 11.2 Sobre o Ultimo Teorema de Fermat .´
  • 12 N´umeros triangulares e quadrados perfeitos
    • 12.1 Quadrados
    • 12.2 N´umeros triangulares
  • 13 N´umeros especiais e curiosidades
    • 13.1 N´umeros especiais
    • 13.2 Curiosidades
  • Bibliografia
• ´Indice remissivo
  • Sobre os autores

12 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N ´UMEROS

seriam sempre primos, depois de ter verificado que o resultado era v´alido para n = 0, 1 , 2 , 3 , 4. Um s´eculo depois, Leonhard Euler (1707-1783) mostrou que para n = 5, a conjectura n˜ao va- lia, pois 2^25 + 1 = 4. 294. 967 .297 = 641 · 6. 700 .417. N˜ao sabemos at´e o momento se existe algum n´umero n > 5 tal que 2^2 n + 1 ´e um n´umero primo. Fermat demonstrou resultados interessantes, como o teorema que diz que ‘um n´umero primo p ´e soma de dois quadrados se, e somente se, p = 2’ ou ‘se o resto da divis˜ao de p por 4 ´e igual a 1. Por exemplo, 5 = 2^2 + 1^2 , 13 = 3^2 + 2^2 , por´em 3, 7 e 11 n˜ao se escrevem como soma de dois quadrados. Existem in´umeras conjecturas que envolvem os n´umeros inteiros, muitas delas com enunciados bastante simples, como por exemplo, a que afirma que ‘todo n´umero par maior que 2 ´e soma de dois n´umeros primos’, enunciada por Christian Goldbach (1690-1764), a qual permanece um problema aberto e intrigante.

Estes Elementos da Teoria dos N´umeros s˜ao constitu´ıdos da seguinte maneira.

No Cap´ıtulo 1 apresentamos as no¸c˜oes de conjuntos, rela¸c˜oes e fun¸c˜oes, de modo breve, apenas como suporte para resultados usados em momentos posteriores. Algo semelhante ocorre no Cap´ıtulo 2, em que apresentamos as propriedades dos n´umeros inteiros. E usual o tratamento da teoria dos n´´ umeros sobre os inteiros, embora tamb´em possa ser arquitetada sobre os n´umeros naturais. O Cap´ıtulo 3 inicia propriamente a teo- ria, quando s˜ao introduzidos os princ´ıpios de indu¸c˜ao em duas vers˜oes e s˜ao mostradas as equivalˆencias dessas duas vers˜oes com o princ´ıpio da boa ordem dos n´umeros naturais.

O Cap´ıtulo 4 define o conceito de divis˜ao de inteiros e in- troduz o famoso algoritmo da divis˜ao de Euclides. No cap´ıtulo seguinte, investigamos as bases de numera¸c˜ao. Embora tradicio-

INTRODUC¸ ˜AO 13

nalmente usamos a base dez, isto n˜ao foi sempre unˆanime nas ci- viliza¸c˜oes passadas. Tamb´em o advento das linguagens artificiais e a teoria da computa¸c˜ao mostrou o interesse em aplica¸c˜oes de outras bases, particularmente, a base dois. No Cap´ıtulo 6 trata- mos dos crit´erios de divisibilidade, ou mais especificamente, pro- curamos mostrar algumas caracter´ısticas que um dado n´umero deve ter para, ao ser dividido por um outro n´umero, dar resto zero. As li¸c˜oes escolares tradicionais de estabelecer o m´aximo divisor comum e o m´ınimo m´ultiplo comum s˜ao justificadas no Cap´ıtulo 7. O cap´ıtulo seguinte ´e destinado aos famosos primos, que comparecem como fatores em todos os n´umeros inteiros po- sitivos maiores ou iguais a dois. Esta afirma¸c˜ao pode e deve ser estendida para todos os inteiros, incluindo a´ı os negativos. O Cap´ıtulo 9 desenvolve as congruˆencias e uma pequena ´algebra sobre classes de n´umeros. O cap´ıtulo seguinte traz as equa¸c˜oes diofantinas lineares, uma parte das equa¸c˜oes que estiveram nos interesses do matem´atico grego antigo Diofanto. No Cap´ıtulo 11 discorremos sobre as ternas pitag´oricas com o intuito de apresen- tar o famoso Ultimo Teorema de Fermat e algumas contribui¸´ c˜oes em torno do teorema. O pen´ultimo cap´ıtulo mostra os n´umeros quadrados e triangulares, que tˆem motiva¸c˜ao visual e geom´etrica. Finalmente, no ´ultimo cap´ıtulo apresentamos algumas particu- laridades e curiosidades sobre n´umeros.

1 Conjuntos, rela¸c˜oes e fun¸c˜oes

Nesse cap´ıtulo apresentamos algumas no¸c˜oes gerais, mas fundamentais para desenvolvimentos posteriores, sobre conjun- tos, rela¸c˜oes entre conjuntos, particularmente as rela¸c˜oes de equi- valˆencia e de ordem. Mais detalhes sobre os elementos te´oricos desenvolvidos neste ´ınterim podem ser encontrados em (Feitosa, Paulovich, 2005) e (Feitosa, Nascimento, Alfonso, 2008).

1.1 A no¸c˜ao de conjunto

O ponto de partida para a elabora¸c˜ao de uma teoria ´e dado pela introdu¸c˜ao dos seus conceitos primitivos, que s˜ao conceitos n˜ao definidos.

Assim, para esses elementos de Teoria dos Conjuntos, n˜ao apresentamos defini¸c˜oes para os conceitos de conjunto, elemento e rela¸c˜ao de pertinˆencia.

A id´eia intuitiva de conjunto ´e a de cole¸c˜ao, classe de ob- jetos, agrupamento, etc. Um conjunto ´e determinado pelos seus elementos ou membros.

Os conjuntos s˜ao, em geral, denotados por letras la- tinas mai´usculas A, B, C, ... e os elementos de um conjunto s˜ao geralmente representados por letras latinas min´usculas a, b, c, ..., x, y, z.

Usamos chaves para indicar os elementos do conjunto con- siderado. Quando conhecidos os elementos de um conjunto, a maneira usual de represent´a-lo ´e a seguinte: A = {a, b, c}.

16 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N ´UMEROS

1.1.1 Rela¸c˜ao de pertinˆencia e a determina¸c˜ao de um conjunto A rela¸c˜ao de pertinˆencia ´e fundamental para a teoria dos conjuntos.

Para indicar-se que um elemento a pertence a um conjunto A utilizamos o s´ımbolo ∈ e escrevemos a ∈ A; quando b n˜ao pertence ao conjunto A, utilizamos o s´ımbolo ∈/ e escrevemos b /∈ A.

Exemplo 1.1 Dado o conjunto A = { 1 , 2 , 3 } podemos escrever: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A, 4 ∈/ A, 5 ∈/ A, ....

Ao mudarmos a ordem dos elementos num conjunto, continuamos tendo o mesmo conjunto, isto ´e, { 1 , 2 , 3 }, { 1 , 3 , 2 } e { 3 , 2 , 1 } representam o mesmo conjunto.

Um conjunto pode ser determinado de duas maneiras: extencionalmente, pela listagem de seus elementos, ou inten- cionalmente, atrav´es de alguma propriedade comum de seus elementos.

• extencionalmente:

Exemplo 1.2 A = {a, b, c, d, e}.

Exemplo 1.3 B = {− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }.

Exemplo 1.4 Z = {... − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}.

• intencionalmente:

Exemplo 1.5 A = {x ∈ N : x > 4 }.

18 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N ´UMEROS

1.1.3 Inclus˜ao e igualdade de conjuntos

Esta se¸c˜ao trata da inclus˜ao e igualdade de conjuntos.

Um conjunto A ´e subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos que pertencem a A, tamb´em pertencem a B. Indicamos isto por: A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B).

A express˜ao A ⊆ B tem o significado de ‘A est´a contido em B’ ou ‘A ´e parte de B’ ou, ainda, ‘B cont´em A’. Para todo conjunto A, s˜ao seus subconjuntos o pr´oprio conjunto A e o conjunto vazio ∅. Estes dois subconjuntos s˜ao denominados de subconjuntos triviais.

O conjunto A ´e um subconjunto pr´oprio de B se A ⊆ B e algum elemento de B n˜ao pertence a A. Indicamos a inclus˜ao pr´opria por A ⊂ B.

Exemplo 1.14 Dados os conjuntos A = {− 1 , 0 , 1 } e B = {− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }, como todos os elementos de A tamb´em s˜ao elementos de B e − 2 ∈ B, mas − 2 ∈/ A, podemos escrever: A ⊂ B.

Exemplo 1.15 Se A = { 2 , 3 } e B = {x ∈ R : x^2 − 5 x + 6 = 0}, ent˜ao A ⊆ B e B ⊆ A.

Dois conjuntos A e B s˜ao iguais quando tˆem exatamente os mesmos elementos. A igualdade de conjuntos ´e denotada por A = B. Assim: A = B ⇔ (∀x)((x ∈ A → x ∈ B) e (x ∈ B → x ∈ A)) ⇔ (∀x)(x ∈ A ↔ x ∈ B).

CONJUNTOS, RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 19

A senten¸ca (∀x)(x ∈ A ↔ x ∈ B) tamb´em ´e conhecida como o princ´ıpio da extensionalidade dos conjuntos. Desta maneira, podemos tamb´em definir a igualdade de conjuntos da seguinte maneira: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A e a inclus˜ao pr´opria por: A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ̸= B.

Exemplo 1.16 Dados os conjuntos A = { 0 , 1 , 2 } e B = {x ∈ N : x ≤ 2 }, podemos verificar que A e B possuem os mesmos elementos. Logo, indicamos isto por A = B.

1.1.4 Conjunto das partes de um conjunto

Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A ´e o conjunto P(A), cujos elementos s˜ao todos os subconjuntos de A.

Exemplo 1.17 Dado o conjunto A = { 1 , 2 , 3 }, o conjunto das partes de A ´e o conjunto: P(A) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 }}.

Exemplo 1.18 Se D = {α, β}, ent˜ao P(D) = {∅, {α}, {β}, {α, β}}.

1.1.5 Opera¸c˜oes com conjuntos e a ´algebra dos conjuntos Agora, veremos como compor com os conjuntos de forma a obtermos novos conjuntos. Isto ´e feito a partir das opera¸c˜oes sobre conjuntos. Quatro importantes opera¸c˜oes ser˜ao tratadas: a uni˜ao, a intersec¸c˜ao, a complementa¸c˜ao e a diferen¸ca entre conjuntos.

• A uni˜ao de conjuntos: a uni˜ao de dois conjuntos A e B ´e o conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a A ou a B. Assim: A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

CONJUNTOS, RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 21

Exemplo 1.24 Se A = R e B = Q, ent˜ao A − B ´e o conjunto R − Q dos n´umeros irracionais.

• A complementa¸c˜ao: dados dois conjuntos A e B de maneira que B ⊆ A, o complementar de B com rela¸c˜ao a A ´e o conjunto {AB formado pelos elementos de A que n˜ao pertencem a B. Ou seja: {AB = {x ∈ U : x ∈ A e x /∈ B}.

De acordo com a defini¸c˜ao de complementar, podemos observar que {AB = A − B. Al´em disso, o complementar de um conjunto A em rela¸c˜ao ao universo U ´e representado por AC^ ou A′.

De forma geral, uma estrutura alg´ebrica ´e determinada por um conjunto n˜ao vazio munido de uma ou mais opera¸c˜oes. O n´umero de opera¸c˜oes definidas e as propriedades verificadas pelas opera¸c˜oes caracterizam abstratamente as ´algebras. Dota- remos os conjuntos de uma estrutura alg´ebrica, que chamamos a ´algebra dos conjuntos.

Dado um conjunto qualquer U , o conjunto das partes de U ´e n˜ao vazio. Assim, consideremos A, B, C ∈ P(U ). Com rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de uni˜ao, intersec¸c˜ao e complementa¸c˜ao de conjuntos determinamos uma ´algebra (P(U ), ∪, ∩, ′, ∅, U ), em que valem as seguintes propriedades: Propriedades da uni˜ao: A ∪ A = A [Idempotˆencia] A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade] (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade] A ∪ ∅ = A [Elemento neutro] A ∪ U = U [Elemento absorvente]

22 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N ´UMEROS

Propriedades da intersec¸c˜ao: A ∩ A = A [Idempotˆencia] A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade] (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade] A ∩ U = A [Elemento neutro] A ∩ ∅ = ∅ [Elemento absorvente] Propriedades distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Propriedades da complementa¸c˜ao: A′^ ∩ A = ∅ A′^ ∪ A = U ∅′^ = U U ′^ = ∅ (A′)′^ = A Propriedades de dualidade ou leis de De Morgan: (A ∪ B)′^ = A′^ ∩ B′ (A ∩ B)′^ = A′^ ∪ B′ Propriedades de absor¸c˜ao e diferen¸ca: A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A A − B = A ∩ B′.

Exerc´ıcio 1.1 Verificar as propriedades das opera¸c˜oes com con- juntos.

1.2 Rela¸c˜oes

Agora apresentamos as rela¸c˜oes entre conjuntos. O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B ´e o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e b ∈ B. Assim, A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.

24 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N ´UMEROS

Exemplo 1.26 Seja T o conjunto de todos os triˆangulos de um dado plano. A rela¸c˜ao S definida por ‘t ∼ u ⇔ t ´e congruente a u’ ´e uma rela¸c˜ao reflexiva, sim´etrica e transitiva em T.

1.2.1 Rela¸c˜oes de equivalˆencia

A rela¸c˜ao de equivalˆencia desempenha um papel impor- tante na Matem´atica, como um modo de generalizar a rela¸c˜ao de igualdade em situa¸c˜ao em que indiv´ıduos embora distintos possam executar um papel equivalente.

Uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre um conjunto A ´e uma rela¸c˜ao que ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva.

Exemplo 1.27 A rela¸c˜ao R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre A = {a, b, c}.

Exemplo 1.28 A rela¸c˜ao de igualdade em qualquer conjunto ´e sempre uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.

Exemplo 1.29 A semelhan¸ca de triˆangulos ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.

Exemplo 1.30 A rela¸c˜ao ‘<’ em R n˜ao ´e uma rela¸c˜ao de equi- valˆencia, pois n˜ao ´e sim´etrica: 1 < 2 mas n˜ao ocorre 2 < 1.

Quando R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em um conjunto A e a ∈ A, o conjunto [a] = {x ∈ A : xRa} ´e a classe de equivalˆencia de a.

Tamb´em ´e usual denotar-se a classe de equivalˆencia [a] por ¯a.

CONJUNTOS, RELAC¸ ˜OES E FUNC¸ ˜OES 25

Exemplo 1.31 Se A = { 1 , 2 , 3 } e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, ent˜ao R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia e as suas classes de equivalˆencia s˜ao dadas por: [1] = { 1 , 2 }, [2] = { 1 , 2 } e [3] = { 3 }.

Teorema 1.1 Seja R uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em um con- junto A. Ent˜ao: (i) duas classes de equivalˆencia s˜ao iguais ou disjuntas; (ii) o conjunto A ´e a uni˜ao de todas as classes de equivalˆencia.

Demonstra¸c˜ao: Ver (Feitosa, Nascimento, Alfonso, 2008).

Quando R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em um conjunto A, o conjunto quociente de A pela rela¸c˜ao R ´e o conjunto das classes de equivalˆencia de R: A|R = {[a] : a ∈ A} = {B ∈ P(A) : B = [a], para algum a ∈ A}.

Uma parti¸c˜ao P de um conjunto n˜ao vazio A ´e uma cole¸c˜ao de subconjuntos n˜ao vazios de A, dois a dois disjuntos e cuja uni˜ao ´e igual a A.

Assim, cada membro X de P ´e n˜ao vazio, ou seja, X ̸= ∅. Se X, Y ∈ P e X ̸= Y , ent˜ao X ∩ Y = ∅ e, ∪{X : X ∈ P} = A.

Exemplo 1.32 Se A = { 1 , 2 , 3 , 4 }, s˜ao parti¸c˜oes de A: P 1 = {{ 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }} e P 2 = {{ 1 , 2 }, { 3 , 4 }}, etc.

Exemplo 1.33 O conjunto P = {(−∞, −3], (− 3 , 7], (7, ∞)} ´e uma parti¸c˜ao de R.