Elementos finitos, Notas de estudo de Engenharia Civil

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Álvaro F. M. Azevedo

http://www.fe.up.pt/~alvaro

Portugal

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

1ª Edição Abril 2003

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PREFÁCIO

O Método dos Elementos Finitos (MEF) apresenta actualmente um nível de desenvolvimento que permite a sua utilização pela generalidade dos projectistas de estruturas. Enquanto que no passado muitos dos utilizadores do MEF estavam também envolvidos na respectiva programação em computador, verifica-se hoje em dia que a quase totalidade dos projectistas de estruturas apenas se preocupa com a utilização do correspondente software e com a interpretação dos resultados obtidos. Devido à grande complexidade associada ao desenvolvimento de modernos programas de computador dispondo de uma interface gráfica intuitiva, o desenvolvimento de software tem sido cada vez mais restringido às empresas especializadas. Por este motivo, o utilizador programador quase desapareceu, dando lugar ao mero utilizador. Perante um problema de análise de estruturas e dispondo de um software intuitivo, é perfeitamente acessível a um projectista a obtenção de resultados credíveis, mesmo quando não tem acesso à fonte do código computacional ou quando desconhece as características do modelo que está a utilizar. Será então necessário exigir que um estudante de Engenharia atribua parte do seu tempo à aprendizagem de formulações e metodologias que na vida profissional vai certamente ignorar? Antecedendo a resposta a esta questão, apresentam-se algumas considerações.

Para que possa dar resposta em tempo útil à necessidade de justificação da segurança de uma estrutura, um projectista que não conheça as técnicas correspondentes à formulação do MEF será tentado pela simples utilização de um qualquer software de cálculo. Uma vez que não tem acesso aos modelos que estão programados, nem tem bases para a sua compreensão, procederá à utilização do software de acordo com o treino que recebeu ou com base em sucessivas improvisações. A tentação para aceitar os resultados provenientes do programa é grande, quaisquer que sejam esses resultados, uma vez que considera que o software escolhido tem elevada qualidade. Os potenciais perigos de uma utilização nestas condições são a não percepção de eventuais erros na introdução dos dados, a ausência de correspondência entre o modelo seleccionado e a estrutura que está a ser analisada, o facto de serem desprezadas importantes condicionantes, etc. Na ausência de uma comparação dos resultados provenientes do MEF com os oriundos de outros modelos, existe o sério risco de a segurança de uma estrutura ser justificada com

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Método dos Elementos Finitos - Índice

Método dos Elementos Finitos - Índice

• 1 - INTRODUÇÃO ÍNDICE
• 1.1 - Tipo de análise
• 1.2 - Fundamentos do MEF...............................................................................................
• 1.3 – Breve história do MEF
• 1.4 - Exemplo de aplicação do MEF
• 2 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR DE COORDENADAS
• 2.1 - Simbologia
• 2.2 - Caso geral................................................................................................................
• 2.3 - Caso particular com S e S' coincidentes..................................................................
• 2.4 - Matriz de transformação de uma barra rectilínea no espaço...................................
• 2.5 - Considerações finais
• 3 - MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS E PÓRTICOS...................
• 3.1 - Simbologia
• 3.2 - Referenciais.............................................................................................................
• 3.3 - Graus de liberdade
• 3.4 - Matriz de transformação
• 3.5 - Matriz de rigidez e vector solicitação
• 3.6 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitação
• 3.7 - Introdução das condições de apoio
• 3.8 - Faseamento da análise de um pórtico 3D
• 3.9 - Matriz de rigidez de uma barra de treliça 3D no referencial local..........................
• 3.10 - Matriz de rigidez de uma barra de pórtico 3D no referencial local
• 3.11 - Considerações finais
• 4 - ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS
• 4.1 - Simbologia
• 4.2 - Funções interpoladoras ou funções de forma..........................................................
• 4.3 - Campo de deformações...........................................................................................
• 4.4 - Princípio dos trabalhos virtuais............................................................................... vi
• 4.5 - Matriz de rigidez e vector solicitação
• 4.6 - Elemento finito unidimensional com três nós.........................................................
• 4.7 - Elemento finito unidimensional com substituição de variável
• 4.8 - Considerações finais
• 5 - QUADRATURA DE GAUSS
• 5.1 - Simbologia
• 5.2 - Integração de uma função polinomial.....................................................................
• 5.3 - Integrais múltiplos
• 5.4 - Considerações finais
• 6 - ESTADO PLANO DE TENSÃO
• 6.1 - Simbologia
• 6.2 - Funções interpoladoras ou funções de forma..........................................................
• 6.3 - Campo de deformações...........................................................................................
• 6.4 - Princípio dos trabalhos virtuais...............................................................................
• 6.5 - Matriz de rigidez e vector solicitação
• 6.5.1 - Cálculo de um elemento da matriz de rigidez......................................................
• 6.5.2 - Cálculo do vector solicitação correspondente a uma carga distribuída
• 6.6 - Caso geral com substituição de variáveis
• 6.7 - Algoritmo de cálculo da matriz de rigidez de um elemento isoparamétrico
• 6.8 - Cálculo das tensões e deformações finais.............................................................
• 6.9 - Considerações finais
• 7 - FUNÇÕES INTERPOLADORAS
• 7.1 - Simbologia
• 7.2 - Caso unidimensional.............................................................................................
• 7.3 - Caso bidimensional...............................................................................................
• 7.4 - Procedimento genérico para determinar as funções de forma
• 7.5 - Elementos bidimensionais: famílias Lagrangeana e serendipity
• 7.6 - Propriedades das funções interpoladoras
• 7.7 - Interpolação Hermitiana........................................................................................
• 7.8 - Considerações finais vii
• 8 - ASSEMBLAGEM DE ELEMENTOS FINITOS....................................................
• 8.1 - Simbologia
• 8.2 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitação
• 8.3 - Considerações finais
• 9 - FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES...................................................................
• 9.1 - Simbologia
• 9.2 - Expressões genéricas das forças nodais equivalentes...........................................
• 9.3 - Força concentrada num ponto interior
• 9.4 - Carga distribuída por unidade de comprimento....................................................
• 9.5 - Carga distribuída por unidade de superfície
• 9.6 - Carga distribuída por unidade de volume
• 9.7 - Considerações finais
• 10 - SÓLIDOS, ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO E AXISSIMETRIA
• 10.1 - Simbologia
• 10.2 - Elementos sólidos tridimensionais ( bricks )
• 10.3 - Estado plano de deformação
• 10.4 - Estado axissimétrico
• 10.5 - Considerações finais
• 11 - FLEXÃO DE VIGAS
• 11.1 - Simbologia
• 11.2 - Flexão composta plana........................................................................................
• 11.3 - Considerações finais
• 12 - VIGA DE EULER-BERNOULLI
• 12.1 - Simbologia
• 12.2 - Viga de dois nós sem substituição de variável....................................................
• 12.3 - Viga de três nós sem substituição de variável
• 12.4 - Viga de dois nós com substituição de variável
• 12.5 - Considerações finais viii
• 13 - VIGA DE TIMOSHENKO....................................................................................
• 13.1 - Simbologia
• 13.2 - Viga de dois nós com substituição de variável
• 13.3 - Considerações finais
• ANEXO A - UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA FEMIX 3.1
• A.1 - Instalação
• A.2 - Preparação dos dados
• A.3 - Execução do programa.........................................................................................
• A.4 - Visualização gráfica.............................................................................................
• A.5 - Considerações finais

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objectivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a acções exteriores. Este tipo de cálculo tem a designação genérica de análise de estruturas e surge, por exemplo, no estudo de edifícios, pontes, barragens, etc. Quando existe a necessidade de projectar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e modificações das suas características, com o objectivo de se alcançar uma solução satisfatória, quer em termos económicos, quer na verificação dos pré-requisitos funcionais e regulamentares. As técnicas descritas nesta publicação apenas correspondem à fase de análise do comportamento de uma estrutura cuja geometria, materiais e acções são a priori conhecidos.

Nos cursos de Engenharia Civil e de Engenharia Mecânica é tradicional começar-se por ensinar a análise de estruturas limitada às vigas, pórticos, treliças e grelhas. As estruturas deste tipo recebem a designação de reticuladas, por serem constituídas por barras prismáticas cuja secção transversal apresenta dimensões muito inferiores ao comprimento do seu eixo. As estruturas não reticuladas são, em geral, estudadas como meios contínuos (e.g., paredes, lajes, cascas, sólidos). Nas estruturas reticuladas surgem já muitos conceitos que são comuns à generalidade das estruturas, tais como o de equilíbrio, compatibilidade, tensão, deformação, relação entre tensão e deformação, etc. No âmbito das estruturas reticuladas torna-se particularmente simples explicar o método das forças e o método dos deslocamentos, bem como outras técnicas que, em geral, são difíceis de estender aos meios contínuos.

Antes do aparecimento do MEF, a análise dos meios contínuos era efectuada por resolução directa dos sistemas de equações de derivadas parciais que regem o fenómeno, tendo em consideração as necessárias condições fronteira. Para facilitar a aplicação desta técnica a problemas não elementares, era comum recorrer a séries de Fourier [1.1]. Devido à sua complexidade, estes procedimentos só eram aplicáveis a meios contínuos homogéneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas limitações, era frequente a substituição de derivadas exactas por derivadas

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

Análise dinâmica ou estática

As acções sobre as estruturas são em geral dinâmicas, devendo ser consideradas as forças de inércia associadas às acelerações a que cada um dos seus componentes fica sujeito. Por este motivo, seria de esperar que a análise de uma estrutura teria obrigatoriamente de ter em consideração os efeitos dinâmicos. Contudo, em muitas situações é razoável considerar que as acções são aplicadas de um modo suficientemente lento, tornando desprezáveis as forças de inércia. Nestes casos a análise designa-se estática. Nesta publicação apenas são considerados problemas em que se supõem válidas as simplificações inerentes a uma análise estática.

Análise não linear ou linear

Na análise de uma estrutura sólida, é habitual considerar que os deslocamentos provocados pelas acções exteriores são muito pequenos quando comparados com as dimensões dos componentes da estrutura. Nestas circunstâncias, admite-se que não existe influência da modificação da geometria da estrutura na distribuição dos esforços e das tensões, i.e., todo o estudo é feito com base na geometria inicial indeformada. Se esta hipótese não for considerada, a análise é designada não linear geométrica.

É também frequente considerar que, ao nível do material que constitui a estrutura, a relação entre tensões e deformações é linear. Nos casos em que esta simplificação não é considerada, é necessário recorrer a algoritmos específicos de análise não linear material.

Nesta publicação apenas se aborda o caso da análise linear, quer geométrica, quer material.

Tipo de estrutura

As estruturas podem ser classificadas quanto à sua geometria como reticuladas, laminares ou sólidas. Estas últimas são as mais genéricas, sendo classificadas como sólidas as que não apresentarem características que as permitam enquadrar no grupo das laminares ou das reticuladas.

As estruturas laminares são as que se desenvolvem para ambos os lados de uma superfície média, mantendo-se na sua vizinhança. É o caso de uma lâmina cuja

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

espessura é muito inferior às restantes dimensões. Quando a superfície média é plana, a estrutura laminar pode ser classificada como parede, laje ou casca plana. Uma parede apenas se encontra sujeita a acções paralelas ao seu plano médio. Uma laje pode ter aplicadas forças perpendiculares ao plano médio e momentos cujo vector está contido no plano médio. Uma estrutura laminar plana sujeita a outros tipos de acções é designada casca plana. Quando a superfície média não é plana, tem-se uma casca tridimensional.

As estruturas reticuladas são as constituídas por barras prismáticas, cujas dimensões transversais são muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Neste tipo de estruturas é habitual distinguir os pórticos das treliças, conforme é ou não considerada a compatibilidade de rotações nas extremidades de barras adjacentes.

É possível tratar com grande eficiência uma classe de problemas de análise de estruturas designados axissimétricos. Estes ocorrem quando a estrutura é um sólido de revolução e as acções são todas axissimétricas em relação ao mesmo eixo. Neste tipo de problemas é ainda possível distinguir o caso do sólido de revolução do caso da lâmina de revolução.

Será também tratado como um caso particular a análise de uma estrutura que consiste num sólido cuja geometria a acções se repetem indefinidamente ao longo de um eixo rectilíneo. Trata-se do estado plano de deformação, que pode ser estudado com base numa geometria bidimensional.

1.2 - Fundamentos do MEF

A formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo que seja possível substituir o integral sobre um domínio complexo (de volume V ) por um somatório de integrais estendidos a sub domínios de geometria simples (de volume Vi ). Esta técnica é ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde ao integral de volume de uma função f

∫ =^ ∑∫=

n V (^) i Vi f dV f dV 1 (1)

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

Ao contrário de outros métodos que eram utilizados no passado, o MEF só tem utilidade prática se se dispuser de um computador digital. Este requisito é devido à grande quantidade de cálculos que é necessário realizar, nomeadamente na resolução de grandes sistemas de equações lineares. Assim se compreende que o rápido desenvolvimento do MEF tenha praticamente coincidido com a generalização da utilização de computadores nos centros de investigação. Com a proliferação de micro-computadores ocorrida no final da década de 80 e na década de 90, o MEF chega finalmente às mãos da generalidade dos projectistas de estruturas.

1.4 - Exemplo de aplicação do MEF

Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do MEF, que consiste na análise de uma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita às acções indicadas na Figura 1.1. Nestas condições pode-se admitir que se trata de um meio contínuo, sujeito a um estado plano de tensão [1.5]. Na Figura 1.1 está representada a malha utilizada, que é constituída por 92 elementos finitos quadriláteros, sendo cada um destes elementos definido por 8 nós. Encontram-se também assinalados os 10 nós que estão ligados ao meio exterior.

Depois de completada a análise da estrutura pelo MEF, fica-se a conhecer os valores aproximados dos deslocamentos e das tensões instaladas. Na Figura 1.2 está representada a malha deformada pela acção das forças aplicadas à estrutura. Para permitir uma melhor visualização dos deslocamentos, estes são multiplicados por um factor de ampliação. Como referência, é também representada a malha original indeformada.

Com o tipo de visualização utilizado na Figura 1.3 é possível ter uma percepção imediata dos locais em que as tensões principais apresentam maiores valores, bem como da trajectória das tensões dentro da estrutura. Neste tipo de representação cada segmento de recta está orientado segundo uma direcção principal de tensão e a sua grandeza é proporcional ao valor da correspondente tensão normal. A cor verde indica que se trata de uma tracção e à cor vermelha está associada uma compressão.

Na Figura 1.4, o valor da componente vertical do vector deslocamento é representado, em cada ponto, por intermédio de uma codificação por cores. Consultando a escala

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

lateral, fica-se a conhecer a ordem de grandeza do deslocamento vertical em qualquer ponto da estrutura.

Na Figura 1.5, o tipo de visualização gráfica coincide com o da Figura 1.4, tratando-se também da representação de um campo escalar por intermédio de uma codificação por

cores. O campo representado na Figura 1.5 é o das tensões normais σ y , sendo y o eixo

vertical. Esta componente do tensor das tensões é sempre perpendicular a facetas horizontais.

Fig. 1.1 - Consola curta: malha de elementos finitos e acção exterior.

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

Fig. 1.4 - Consola curta: campo de deslocamentos verticais.

Introdução - Álvaro F. M. Azevedo

Fig. 1.5 - Consola curta: campo de tensões normais segundo um eixo vertical.