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NM8010 Introdução ao Método dos Elementos Finitos aula 1
Profs. Renato, William e Wallace
EMENTA DO CURSO:
Teorema do mínimo do funcional Π e equação de equilíbrio
Propriedades dos Sistemas lineares e métodos de solução
Matriz de rigidez de um sistema elástico: propriedades e métodos de montagem
Elemento de Mola linear 2D
Elemento de Barra linear 2D
Elemento de Viga linear 2D
Elemento de Pórtico linear 2D
Introdução aos elementos de superfície: classificação geral, regra de interpolação,
mapeamento e transformação de coordenadas
Elemento CST 2D
Método de redução de ordem e técnica básica de substruturação
Importância do Método dos Elementos Finitos:
Atualmente o método é amplamente utilizado na engenheira para resolver uma
grande variedade de problemas práticos na mecânica estrutural, térmica, mecânica
de fluídos e magnetismo.
Programação das Aulas:
Semana Matéria
1 Introdução, Teorema de minimização, Equação de Equilíbrio
2 Teorema da Elastostática, Elemento de Mola
3 Exercício – elemento de mola
4 Elemento de barra
5 Elemento de viga
6 Carregamento nodal equivalente, equações de restrição
7 Elemento de pórtico
8 Mapeamento e interpolação 2D
9 Mapeamento e interpolação 2D – Elemento CST
10 Elemento CST
11 Redução de ordem e substruturação
12 Análise harmônica linear
bibliografia básica bibliografia complementar
obs: ambos os livros encontram-se disponíveis na biblioteca
BIBLIOGRAFIA:
[1] Chandrupatla, TR , Belegundu, AD ,’ Introduction to the Finite Elemens in Engineering’,
Prentice-Hall International Editions, 2
nd
ed, 2008.
[2] Cook, RL, Malkus, DS, ‘Concepts and Applications of Finite Element Analysis’, John
Willey & Sons, 4
th
ed, 2004
CRITÉRIO DE APROVAÇÃO:
P
1
, P
2
e P 3
= Avaliações
K = fator de listas de exercícios
N = número de listas aceitas, N = {0, 1 , 2 , 3}
É obrigatório o uso de uma calculadora digital com capacidade matricial e que permita a
solução numérica de sistemas lineares (exemplo: HP 49G e HP50G)
Listas de exercícios e formulários para as provas estarão disponíveis no MOODLE com
antecedência de, no mínimo, 12 dias.
Listas de exercícios devem ser entregues manuscritas na secretaria até a data estabelecida.
Não serão aceitas listas atrasadas.
Matéria de P1, P2 e P3: consultar página do MOODLE
DEFINIÇÃO: TEOREMA DO MÍNIMO DO FUNCIONAL Π
Considere um sistema elástico discreto ou discretizado com graus de liberdade independentes
(a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
). O funcional Π associado a este sistema elástico é dado por:
Onde:
U(a 1
, a 2
,..., a n
) = energia potencial elástica armazenada no sistema
W(a
1
, a
2
,..., a
n
) = trabalho mecânico associado ao sistema
Observe que U(a
1
, a
2
,..., a
n
) ≥ 0 mas W(a
1
, a
2
,..., a
n
) pode ser positivo ou negativo, dependento
do referencial adotado (externo ou interno). Em elementos finitos adota-se que o trabalho
feito sobre sistema (por um agente externo) é negativo enquanto que o trabalho feito pelo
sistema, ao se deformar, é positivo.
W< 0
W> 0
Este sistema elástico, ao se deformar, passa por infinitas configurações (ou estados) a partir
da posição inicial até a posição final em equilíbrio. Isso equivale a dizer que a
1
, a
2
, ... , a
n
na
equação (1) são variáveis contínuas, isto é, variam continuamente entre as posições inicial e
final.
O teorema do mínimo do funcional mostra que, para um sistema com n graus de
liberdade, existem infinitos estados (ou configurações) intermediários entre a posição inicial
e a posição final (ou equilíbrio). Cada estado é representado por um valor diferente do
funcional .
Este teorema mostra que, de todas as infinitas configurações possíveis, a posição de
equilíbrio é representada como um ponto crítico de (a 1
,..., a n
) , ou seja:
e que pode ser colocada na forma simplificada,
onde {a} representa o vetor de graus de liberdade {a}
T
= {a 1
,..., a n
T
Ou seja:
e, como o trabalho deste sistema vem de forças externas, tem-se:
Portanto, o funcional é calculado através da equação (1):
Uma vez que = (x 1
, x 2
, x 3
, x 4
) , para que a posição de equilíbrio seja encontrada, é
necessário obter quatro derivadas parciais:
As equações acima representam um SISTEMA LINEAR de equações nas variáveis x 1
, ... , x 4
onde
os termos K
1
, ... , K
5
são constantes. Tal sistema pode, também, ser expresso na forma
matricial [A] {x} = {B} , onde [A] representa a matriz de coeficientes, {x} o vetor de incógnitas e
{B} o termo independente:
F
F
x
x
x
x
K 0 0 K K
0 K K 0
K K K K 0
K K K K 0 K
3
1
4
3
2
1
3 3 5
4 4
2 2 4 4
1 2 3 2 3
1.1 SISTEMAS LINEARES
Conforme se viu anteriormente, uma das etapas fundamentais da aplicação do MEF envolve
a solução de um sistema linear [A] {X} = {B}.
Assim, é necessário saber quais são as condições que permitem a solução de tais sistemas.
Um sistema linear tem solução única e determinada , se, e somente se:
a) temos o mesmo número de equações e incógnitas → a matriz [A] é quadrada
b) a matriz [A] é inversível, isto é, deve possuir uma inversa [A]
tal que [A] [A]
= [I]
b.1) a condição necessária e suficiente para que [A] seja inversível é que det[A]≠ 0
Observe, no exemplo anterior, que det[A] ≠ 0
0.15 0 solução única
det
No método dos elementos finitos (MEF), a matriz de coeficientes [A] inclui os termos
associados à rigidez do sistema e, portanto, ela é chamada de MATRIZ DE RIGIDEZ e
indicada por [K]. Em problemas dinâmicos ela pode contar termos associados à inércia
(massa) e amortecimento (dissipação).
Na versão direta do MEF, as variáveis primárias x
1
, ... , x
4
são os deslocamentos dos diversos
pontos da estrutura e, portanto, o vetor {x} é chamado de VETOR DE DESLOCAMENTOS,
enquanto que o vetor {B} contém os termos relativos ao carregamento externo.
Notação matemática usual: [A] {X} = {B}
onde
[A] = matriz de coeficientes
{X} = vetor de incógnitas
{B} = vetor independente
Notação do MEF: [K] {X} = {F} (EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO)
onde
[K] = matriz de rigidez
{X} = vetor de deslocamentos
{F} = vetor de carregamentos
ou seja:
m 5 5 4
m 4 4 2 3
m 3 3 1 4
m 2 2 1 2
m 1 1 1
F K x
F K x x
F K x x
F K x x
F K x
EQUILÍBRIO
nó 4 :F F 0
nó 3 :F F 0
nó 2 :F F 0
nó 1 :F F F F 0
m3 m 5
m4 3
m2 m 4
1 m 1 m 2 m 3
3 1 4 5 4
3 4 2 3
2 1 2 4 2 3
1 1 1 2 1 2 3 1 4
nó 4 : 0 K x x K x
nó 3 : F K x x
nó 2 : 0 K x x K x x
nó 1 : F K x K x x K x x
Finalmente, reagrupando os termos em função de x 1
, x 2
, x 3
e x 4
obtém-se :
que é o mesmo sistema de equações obtido anteriormente.
Podemos também dizer que o primeiro método caracteriza uma abordagem lagrangeana
(em termos de energia) enquanto que o segundo método caracteriza uma abordagem
newtoniana (em termos de equilíbrio). Ambos os métodos conduzem aos mesmos
resultados.
Newton – Equilíbrio Nodal Lagrange – Versão direta do MEF
0
F
0
F
x
x
x
x
K 0 0 K K
0 K K 0
K K K K 0
K K K K 0 K
3
1
4
3
2
1
3 3 5
4 4
2 2 4 4
1 2 3 2 3
K
1
-K
1
.
x
1
=
F
1
-K
1
K
1
+ K
2
-K
2
x 2
F
2
-K
2
K
2
x
3
F
3
K
1
-K
1
.
x 1
=
F
1
-K
1
K
1
+ K
2
-K
2
x 2
F
2
-K
2
K
2
+ K
3
-K
3
x 3
F
3
-K
3
K
3
x 4
F
4
3
2
1
1 1 2 2 3 3
2
2 2 3
2
1 1 2
x
x
x
K x -x Fx Fx Fx onde x
K x - x
0
x
equilíbrio
4
3
2
1
1 1 2 2 3 3 4 4
2
3 3 4
2
2 2 3
2
1 1 2
x
x
x
x
K x -x Fx Fx Fx Fx onde x
K x - x
K x - x
0
x
equilíbrio
Finalmente, deseja-se obter a equação de equilíbrio do sistema elástico abaixo, mas sem
calcular Π(x
1
, ... ,x
5
Inicialmente, devemos observar que a regra de formação para um sistema elástico em série é
que a matriz de rigidez [K] é obtida através da superposição de uma unidade fundamental ,
que, neste caso, se repete várias vezes:
