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a igual distância de P,, ou seja, r = NA s2, então a contribuição do anel ao potencial em P, é dg/r, ou o2ns ds// - Para obter a contribuição de todo o disco, devemos integrar sôbre todos os anéis do disco: (0,30) = É — [eds 2ro| P+s r VP +8 Aconteceu que a integral obtida foi elementar; fazendo u = y? + s? E, (21) ela toma a forma |u”!2 du. Colocando os limites, obtemos: P(0,7,0)=270 [32 +42-v] para y>0 (22) Um pormenor merece comentário: o resultado que escrevemos na Eq. 22 vale para todos os pontos da região positiva do eixo y. Ôbviamente decorre da simetria física do sistema (não há nenhuma diferença entre uma face do disco e a outra), que o potencial deve ter o mesmo valor para y negativo e positivo e isso se reflete na Eq. 21, onde aparece apenas y?. Mas ao escrever a Eq. 22, fizemos uma escolha de sinal ao tomar a raíz quadrada de y? e como decorrência ela vale apenas para y positivo. À expressão correta para y < 0 é obtida pela escolha da outra raiz, e então: d(0,0)=270[ 2 +a? +v] para y<0 (23) Em vista disso, não nos deve surpreender o fato de encontrar uma singularidade de q(0, y, 0) em y = 0. De fato, a função tem uma mudança abrupta de inclinação nesse ponto, como vemos na Fig. 2.8, que representa o potencial em função de y. O potencial no centro do disco é (0, 0, 0) = 2n9a. Êsse é o trabalho necessário para trazer uma carga unitária e positiva do infinito, por qualquer caminho e deixá-la em repouso no centro do disco. O comportamento de (0, y, 0) para valores muito grandes de y é interessante. Para y >a a Eq. 22 pode ser aproximada da se- guinte forma: Então, (0,7,0) = “e para y>a (25) na?g é a carga total q no disco e a Eq. 25 é exatamente a expressão do potencial devido a uma carga puntiforme dessa magnitude. Como deveríamos esperar, a uma distância considerável do disco (relativamente ao seu diâmetro), não importa muito de que forma 43 Fig. 2.8 Um gráfico do potencial sôbre o eixo. A curva pontilhada é o potencial de uma carga puntiforme q = ra?o. Fig. 29 Cálculo do potencial em um ponto Po situado no bordo de um disco uniforme- mente carregado. a carga está distribuída; em primeira aproximação interessa apenas a carga total. Na Fig. 2.8 desenhamos na forma tracejada a função na?o/y. Você pode perceber que a função potencial no eixo do disco aproxima-se bastante rápidamente da sua forma assintótica. Não é tão fácil calcular o potencial em pontos genéricos fora do eixo de simetria, porque a integral definida que se obtém não é tão simples. É uma integral chamada integral elíptica. Essas funções são bem conhecidas e tabeladas*, mas não há razão para discutir aquí os pormenores matemáticos peculiares a um problema especial. Um outro cálculo, bastante simples, pode ser instrutivo. Podemos obter o potencial num ponto P, (Fig. 2.9) situado na borda do disco. Para isso, consideremos o segmento de um anel centrado em P>. Como você vê na Fig. 2.9, a carga dêsse segmento é dg = o: 2r0 dr. Sua contribuição para o potencial em P, é dg/r = 200 dr. Da geo- metria do triângulo retângulo da Fig. 2.9, vem » = 2a cos 8, de modo que dr = — 2a sen 0d). Isso nos permite usar O como variável de integração. Quando O varia de 7/2 até zero, percorremos todo o disco. Então: dg o ps fr -[ 200(-2a sen O do) m/2 n/2 x/2 (26) -| 4oab sen O do = dea[sen 9-0 cos o| = 4a jo foram mencionadas no Vol 1. em c E s , 'onexão com o tratamento exato ên- dulo simples (Vol 1, cap. 7. Tópico Avançado 1) déipêm 44 [EE | O segundo têrmo tem o sinal menos, porque o vetor representa- tivo da superficie de trás da caixa está orientado no sentido negativo do eixo y. O fluxo através das paredes laterais da caixa pode ser feito tão pequeno quanto se queira, pela redução da espessura da caixa*. Isso não altera a carga envolvida, que permanece igual a GA. No limite, então, a lei de Gauss nos permite escrever: = 4194 (30) ou = 4no (1) Na Eq. 31 temos um resultado geral que vale para qualquer dis- tribuição superficial de cargas, uniforme ou não. Quando o é a den- sidade superficial de carga num ponto qualquer de uma película de cargas, haverá nesse local uma mudança abrupta, ou desconti- nuidade, na componente do campo elétrico, perpendicular a essa película. A magnitude dessa descontinuidade é 4x0.No nosso pro- blema q é constante sôbre o disco. Além disso, pelo fato de que os campos nos dois lados devem ser simétricos, não havendo outra fonte de campo, devemos ter E,, = - E, ,centão E,, = |E,.| = 2rg sôbre todo o disco. Na Fig. 2.11 mostramos algumas linhas de campo dêsse sistema, e também, assinaladas em tracejado, as intersecções das superfícies equipotenciais com o plano yz. Perto do centro do disco essas super- fícies têm o aspecto de uma lente, enquanto que a distâncias muito maiores do que a elas se aproximam da forma esférica, como no caso das superfícies equipotenciais em tôrno de uma carga pun- tiforme. A Fig. 2.11 ilustra uma propriedade geral das linhas de campo e superfícies egiiijpotenciais. Uma linha de campo que passa por determinado ponto e a superfície egiiipotencial que passa por êsse ponto, são perpendiculares entre si, tal como num mapa topográfico de um terreno montanhoso, a inclinação é maior nas direções per- pendiculares às linhas de nível dêsse mapa. Isso deve acontecer, porque se o campo em cada ponto tivesse uma componente paralela à superfície equipotencial que passa por êsse ponto, seria necessário realizar trabalho para mover uma carga de prova sôbre uma super- fície de potencial constante. *Esta afirmação é verdadeira desde que o campo elétrico radial não seja infinito. Sabemos que o campo radial é finito em quase todo o disco porque há sômente uma diferença de potencial finita entre o centro ea borda. De fato, há um lugar onde o campo radial torna-se infinito, e é exatamente na borda do disco. Deixaremos as fronteiras de nossa caixa fora dessa região, onde se assinala também uma descontinuidade em E, cem o. 46 e de potencial «, guperieê de potenci “Onstante Fig. 2.11 O campo elétrico do disco uniformemente carregado. As curvas contínuas são as linhas ampo. As curvas tracejada interseções, com o plano da figura, de superfícies de potencial constante. sugere uma verificação disto num caso especial simples e, se você estiver interessado, o Problema 1.30 o encaminhará para uma prova geral. Na realidade, cargas superficiais não se encontram numa camada de espessura nula e densidade volumétrica infinita, e desta forma o nosso modêlo intermediário é mais realístico do que o caso limite. Por exemplo, uma carga na superfície de um metal pode estar dis- tribuída através de uma camada de vários angstroms de profundi- dade. O importante é que se a espessura desta camada é muito pe- quena quando comparada com as outras dimensões do sistema, ela pode ser considerada como uma camada de espessura nula, caracterizada apenas pela densidade de carga por unidade de área, para fins de cálculo de todos os efeitos em grande escala. Por outro lado, a distribuição real das cargas em profundidade pode ser im- portante para fenômenos atômicos superficiais tais como a pas- sagem de elétrons de um material a outro através da inter-face. Voltando à questão com a qual iniciamos esta secção, vemos agora que a fôrça que atua sôbre um elemento de carga dq de uma superfície eletrizada é 2x0: dg e uma vez que a carga total na porção de área dA é dg = adA. obtemos para fôórça no elemento de área dA: dF = 2n9º dA (32) A fórça por unidade de área é então simplesmente 2x6? sendo diri- gida para fora devido à repulsão das cargas. Naturalmente se as cargas não se afastam entre si, essa fôrça deve ser neutralizada por alguma outra de origem atômica ou molécular, não incluída em nossas equações, e que faz com que as cargas permaneçam na esfera. Se tivéssemos cletrizado um balão de borracha, a repulsão elé- trica calculada, 2x9? por unidade de área, tenderia a fazer expandir o balão. Inversamente, seria necessário fornecer trabalho ao sis- tema para reduzir o diâmetro de tal distribuição de cargas, mantendo a carga total constante. Suponha que desejamos diminuir a esfera de raio ro para o raio ro — dr, como na Fig. 2.14. Esquecendo tôdas as outras fórças e considerando o trabalho que temos de realizar apenas contra as fórças elétricas, verificamos que devemos aplicar uma fôrça de 2x6? dinas por unidade de área, dirigida para dentro. Esta fórça atua através a distância dr e assim o trabalho realizado sôbre o sistema por essas fórças externas é dw (dnro?)(2n6º) dr = 87262ro? dr (33) Êsse trabalho pode ser expresso também em função da carga total Q, pois Q = 4nro?o: , Qidr dw= a (34) 49 ta) E=4mo (b) E=47g te) E=470 Fig. 2.13 A variação total do campo numa camada de carga só depende da carga total por unidade de área. Fig. 2.14 Contração de uma camada esférica ou um balão eletrizado. ERGIA ASSOCIADA 4 UM CAMPO ELÉTRICO Note que o unico resultado de diminuir o raio da esfera, no que concerne ao campo elétrico, é criar uma intensidade de campo de 4x9 no espaço entre as duas superfícies esféricas de raios (rp — dr) € ro respectivamente, onde anteriormente o campo era nulo. Nos outros pontos do espaço, o campo permanece exatamente como antes. Podemos dizer que o campo foi criado nessa região às custas do trabalho dW. Essa energia dW pode ser expressa em função do nóvo volume dv ocupado pelo campo, da seguinte forma: dw Êste é um exemplo de um teorema geral que não provaremos agora: A energia potencial U de um sistema de cargas, que representa o tra- balho requerido para a formação dêsse sistema, pode ser calculada a partir do próprio campo elétrico, atribuindo a energia (E2/87) dv a cada elemento de volume dv, e integrando sôbre todo o espaço em que exista campo elétrico. 1 8z | tado o campo é uma grandeza escalar, evidentemente: E? = E-E. Dessa forma podemos calcular o trabalho requerido para formar a pelicula esférica de carga vista na Fig. 2.14, no seu estado original, como segue: E=0O/r, r>r E=0,r
a parara = 2npy parar
