Movimento em duas e três dimensões – UBM posição e deslocamento: vetor posição: É um vetor que liga um ponto de referência à partícula. j+zk Xi; yj e zk são componentes vetoriais de r. X, y, z são as componentes escalares, e fornecem a localização da partícula ao longo dos eixos de coordenadas em relação à origem. Exemplo: Coordenadas (-3,0 m; 2,0 m; 5,0 m) DESLOCAMENTO: Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia (de r 1 para r (^) 2, num intervalo de tempo), o deslocamento da partícula, ∆r da partícula será dado por: Exemplo:

= [9 – (-3)] + [2 - 2] + [8 - 5] = (12,0 m) i + (3,0 m) k VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA VELOCIDADE MÉDIA : Exemplo: Dado ∆r = (12,0 m) i + (3,0 m) k, calcule a velocidade média para t = 2 s.

V (^) M = (6 m/s) i + (1,5 m/s) k

VELOCIDADE INSTANTÂNEA ACELERAÇÃO MÉDIA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Exemplo: Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi detectado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por: x = - 0,31 t^2 + 7,2 t + 28 e y = 0,22 t^2 – 9,1 t + 30.

a. No instante t = 15 s, qual é o vetor posição r na notação de vetores unitários e em notação de módulo. x = - 0,31 (15) 2 + 7,2 (15) + 28 = 66 m y = 0,22 (15) 2 – 9,1 (15) + 30 = - 57 m r = (66 m) i + (- 57 m)j = 87 m b. Determine a velocidade v do coelho no instante t = 15 s. Derivadas das componentes do vetor posição: V (^) X = - 2. 0,31 t + 7,2 = - 0,62 t + 7,2 para t = 15 s V (^) X = - 2. 0,31 (15) + 7,2 = - 0,62 (15) + 7,2 = - 2,1 m/s V (^) Y = 2. 0,22 t – 9,1 = 0,44 t – 9,1 para t = 15 s V (^) Y = 2. 0,22 (15) – 9,1 = 0,44 (15) – 9,1 = - 2,5 m/s V = (- 2,1 m/s) i + (- 2,5 m/s) j c. Determine a aceleração a no instante t = 15 s. V (^) X = - 0,62 t + 7, aX = - 0,62 m/s^2 V (^) Y = 0,44 t – 9, aY = 0,44 m/s^2

a = (- 0,62 m/s^2 ) i + (0,44 m/s 2 ) j d. Módulo da aceleração: = 0,76 m/s^2 EXERCÍCIOS:

Um pósitron sofre um deslocamento ∆r = 2,0 i – 3,0 j + 6,0 k e termina com o vetor posição r 2 = 3,0 j
- 4,0 k, em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron?
O vetor posição de um elétron é r = (5,0 m) i – (3,0 m) j + (2,0 m) k. Determine o módulo de r.
O vetor posição de um íon é inicialmente r = 5,0 i – 6,0 j + 2,0 k e 10 s, depois passa a ser r = 2,0 i + 8,0 j – 2,0 k, com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média V (^) M durante 10 s?
A posição de um elétron é dada por r = 3t i – 4t 2 j + 2 k, com t em s e r em metros. a. Qual é a velocidade v(t) do elétron em notação de vetores unitários? b. (^) Quanto vale v(t) no instante t = 2s? MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL O lançamento oblíquo também pode ser analisado como dois movimentos independentes. O estudo deste tipo de movimento foi de fundamental importância para o desenvolvimento da balística, uma vez que o alcance definia o acerto ou o erro de um alvo. Podemos interpretar o lançamento oblíquo como sendo um lançamento vertical para cima, sob a ação da gravidade, e como um movimento uniforme na direção horizontal. Enquanto o projétil sobe, seu movimento é retardado, tornando-se acelerado durante a descida. Desprezando a resistência do ar, a velocidade de chegada no solo é exatamente igual, em módulo, à de arremesso. O alcance - distância que o projétil atinge na horizontal - e a altura máxima dependem dos componentes Vx e Vy da velocidade de lançamento. À medida que o valor de Vx aumenta, o valor de Vy diminui, o que faz com que diminua o tempo que o projétil permanece no espaço. O alcance depende de ambos os componentes e é máximo para um ângulo de lançamento igual a 45º. Deve-se decompor a velocidade inicial , em uma velocidade horizontal ( Vx ) e uma velocidade vertical ( Vy ). Com isso, podemos dividir o movimento obliquo em dois movimentos : um horizontal ( uniforme ) e o outro vertical ( queda livre ).

onde t é apenas o tempo de subida ou descida. Obs. : t total = 2.t subida

V (^) y - velocidade final do corpo no movimento vertical [ m/s ] Voy - velocidade inicial do corpo no movimento vertical [ m/s ] V (^) x - velocidade no movimento horizontal (Vx é constante) [ m/s ] h - altura percorrida ( o quanto o corpo anda ) [ m ] A = x = alcance ( distância horizontal percorrida ) [ m ]

OBS.:

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do corpo se anula (V (^) y=0), pois é o ponto em que o corpo inverte o sentido de seu movimento e nesse ponto a altura atingida pelo corpo é máxima.

V V (^) 0yx=V = V (^) 0x 0 = V. sen 0. cos θ θ

2- Um corpo é lançado horizontalmente do alto de uma torre e atinge o solo horizontal com velocidade de 37,5 m/s formando 53° com a horizontal. A altura da torre é de: Obs.: Despreze as resistências ao movimento. Dados: g=10m/s^2 , cos 53°=0,6 e sen 53°=0,8. a) 20 m b) 30 m c) 40 m d) 45 m e) 50 m

3- Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 2 m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do ar e determine: a. O tempo gasto para atingir o solo. b. A altura da mesa.

4- Calcular o alcance de um projétil lançado por um morteiro com velocidade inicial de 100 m/s, sabendo-se que o ângulo formado entre o morteiro e a horizontal é de 30 0. Adotar g = 10 m/s^2.

5- Um canhão, em solo plano e horizontal, dispara uma bala, com ângulo de tiro de 30^0. A velocidade inicial da bala é 500 m/s. Sendo g = 10 m/s 2 o valor da aceleração da gravidade no local, qual a altura máxima da bala em relação ao solo, em km?

Considere g = 10 m/s^2 a) 1,25 m b) 0,5 m c) 0,75 m d) 1,0 m e) 1,2 m