Matrizes Inversas: Conceitos e Aplicações, Slides de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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DEFINIÇÃO

Aplicação dos conceitos de matrizes e determinantes na Álgebra Linear.

PROPÓSITO

Definir matrizes e determinantes e aplicar seus conceitos nos problemas da Álgebra Linear.

OBJETIVOS

MÓDULO 1

Aplicar a definição e representação de matrizes

MÓDULO 2

Aplicar as operações básicas das matrizes

MÓDULO 3

Calcular determinantes de uma matriz

Fonte: Por benjaminec / Shutterstock. Apesar de ter um caráter organizacional, a matriz também é um objeto matemático de grande relevância. Sua importância aumentou atualmente com o avanço da era computacional, sendo um elemento muito empregado pelos computadores, que têm grande habilidade de trabalhar com linhas e colunas.

VAMOS AGORA DEFINIR FORMALMENTE UMA MATRIZ

Sejam m e n dois inteiros positivos e Mm,n o conjunto de todos os pares ordenados (i,j), tais que 1 ≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n. Define-se M como uma matriz, m x n ( m por n ), com elementos aij que pertencem a um conjunto específico. Assim, a matriz M, m x n, será uma tabela com m.n elementos, disposta em m linhas e n colunas.

M =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n

............ am 1 am 2... amn

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 ATENÇÃO Matriz é um agrupamento (conjunto) de elementos ordenados em uma forma retangular com linhas e colunas. Dizemos que aij é o elemento (entrada ou termo) da matriz M na posição i,j. Outra forma de representar o elemento da matriz M que se encontra na linha i e coluna j é (M)ij = aij. Além da representação apresentada, uma matriz M, m x n, pode ser representada de uma forma mais compacta como: M = aij ] mxn , com i , j , m e n inteiros positivos e 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;

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Os elementos serão localizados pelos valores de i e j , que serão denominados de ordem. Por exemplo: o elemento que se encontra na coluna de ordem 2 e linha de ordem 3 da matriz N vale 45. Os elementos das matrizes podem ser oriundos de qualquer conjunto de dados quantitativo ou qualitativo. No caso dos quantitativos, podem ser números reais ou complexos. Para o caso da Álgebra Linear, abordada neste tema, os elementos serão números reais. A simbologia adotada utiliza letras maiúsculas para se denotar uma matriz e letras minúsculas para os elementos de uma matriz. Por exemplo:

[ ]

[

P 8,3 7,5 6,4 8,9 6,

Organize os dados em uma matriz, denominada de N, em que cada coluna representa a média de uma matéria, na ordem, Matemática, Português e Ciências, e cada linha, seguindo a ordem da matrícula, representa o aluno; responda: a) Qual é o tamanho da matriz? b) Qual é a linha de ordem 3? c) Qual é a coluna de ordem 2? d) Que elemento se encontra na quarta linha e segunda coluna? e) Qual é o elemento n1,3? Atenção, pois a matriz pedida é diferente da ordem da tabela apresentada. Solução: Coletando os dados na tabela se tem: N =

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A) A matriz N terá tamanho de 5 x 3, isto é, 5 linhas e 3 colunas. B) Sua linha de ordem 3 será [8,1 7,5 7,1], que corresponde à nota do aluno de matrícula nº 3.

[ ]

C) Sua coluna de ordem 2 será

cujos elementos correspondem às médias obtidas em português pelos cinco alunos. D) O elemento que se encontra na quarta linha e segunda coluna é o 6,4, que corresponde à nota obtida em português pelo aluno de matrícula nº 4. E) Por fim, o elemento n1 x 3 corresponde ao elemento da primeira linha e terceira coluna, que tem o valor 8,9, correspondendo à nota em Ciências do aluno de número de matrícula 1. As matrizes cujas entradas são números reais serão objetos de um espaço vetorial. Assim, pode-se definir um espaço vetorial cujos elementos são matrizes m x n com elementos (entradas) reais. Logo, será um conjunto, não vazio, fechado para adição e multiplicação por um real e atenderá a todas as propriedades de espaço vetoriais, já estudadas.

MATRIZES

Em outras palavras, são uma classe de objetos matemáticos que apresentam propriedades algébricas.

CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES

[ ]

Para o caso da matriz quadrada de ordem n, os elementos do tipo a 11 ,a 22 ,…,ann formam a diagonal principal da matriz. Os elementos a1n,a2(n-1),…,an1 formam a diagonal secundária da matriz. Repare que os elementos da diagonal secundária têm i + j = n +1. A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada é denominada de traço da matriz. MATRIZ NULA Matriz nula será aquela na qual todos elementos são iguais a zero. O =

, com O3x MATRIZ OPOSTA Matriz oposta será a matriz obtida pela multiplicação de todos os termos de uma matriz por (– 1). MATRIZ DIAGONAL Matriz diagonal será a matriz quadrada na qual todos os elementos, fora da diagonal principal, são nulos. D =

, com D 3 ou D3x MATRIZ IDENTIDADE Matriz identidade é uma matriz diagonal, com todos os termos da diagonal principal iguais a um. Assim, será uma matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos zero. I =

, com I 3 ou I3x

[ ]

[ ]

[ ]

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Matriz triangular superior é a matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i > j se tem aij = 0 D =

, triangular superior de ordem 4 ou 4 x 4 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Matriz triangular inferior é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são nulos D =

, triangular inferior de ordem 4 ou 4 x 4 MATRIZ SIMÉTRICA Matriz simétrica é uma matriz quadrada com elementos aij = aji, isto é, os termos situados simetricamente em relação à matriz principal são iguais. S =

, com S 3 ou S3x MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Matriz antissimétrica é uma matriz quadrada com elementos aij = -aji, assim, todos os termos simétricos em relação à matriz principal são números reais simétricos entre si, e os elementos da diagonal principal serão nulos.

[ ]

[ ]

[ ]

TEORIA NA PRÁTICA

Um pesquisador coletou alguns dados referentes à temperatura média diária de quatro cidades durante uma semana. Cidade/Dia da Semana Seg Qua Dom Ter Sab Sex Qui Diamantina 18,9 18,9 19,0 19,1 19,2 19,3 19, Amarantes 23,1 23,5 24,0 23,8 23,8 23,6 23, Cuíca 18,1 17,9 17,8 17,7 17,8 18,0 18, Bom Pastor 32,3 32,1 32,0 31,9 32,0 32,2 32,

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Obs.: Temperaturas medidas em graus Celsius. Organize os dados em uma matriz, denominada de T, em que cada coluna representa as temperaturas médias diárias de uma cidade, pela ordem alfabética das cidades, e cada linha, seguindo a ordem do dia da semana, iniciando no domingo: a) Qual é o tamanho da matriz? b) Qual é a linha de ordem 4? c) Qual é a coluna de ordem 3?

d) Que elemento se encontra na quarta linha e segunda coluna? e) Qual é o elemento t2,4?

3. MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO APRESENTA UMA CARACTERÍSTICA DA MATRIZ 𝐶 =

• 3 0 1

A) É uma matriz quadrada. B) Os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1. C) O elemento c2,1 vale 2. D) É uma matriz antissimétrica.

4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA MATRIZ QUE TEM AS SEGUINTES CARACTERÍSTICAS:

QUADRADA, TRIANGULAR INFERIOR E TRAÇO IGUAL A 7.

A)^300

B)

C)

D)

5. DETERMINADA MATRIZ É TRIANGULAR SUPERIOR DE ORDEM 3. SABE-SE QUE OS ELEMENTOS DA

MATRIZ SEGUEM AS SEGUINTE REGRAS

𝑚𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, se 𝑖 = 𝑗

𝑚𝑖𝑗 = 𝑖 + 2 𝑗, se 𝑗 > 𝑖

DETERMINE O VALOR DA SOMA M1,3 + M2,2 + M3,1:

A) 11

B) 9

C) 21

D) 13

6. DETERMINADA MATRIZ B É UMA MATRIZ OPOSTA À MATRIZ A. SABE-SE QUE A MATRIZ A É UMA MATRIZ

SIMÉTRICA DE ORDEM 3. ALGUNS ELEMENTOS DE A SÃO DEFINIDOS POR

𝑎𝑖𝑗 = 2 𝑖 - 𝑗 , para 𝑖 = 𝑗

𝑎𝑖𝑗 = 𝑗 - 2 𝑖 + 2 , para 𝑖 > 𝑗

DETERMINE O VALOR DO TRAÇO DA MATRIZ B MAIS O ELEMENTO B 13.

A) 4

B) -

C) -

D) 3

GABARITO

1. Qual o tamanho da Matriz 𝐵 =

5. Determinada matriz é triangular superior de ordem 3. Sabe-se que os elementos da matriz seguem as seguinte regras 𝑚𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, se 𝑖 = 𝑗 𝑚𝑖𝑗 = 𝑖 + 2 𝑗, se 𝑗 > 𝑖 Determine o valor da soma m1,3 + m2,2 + m3,1: A alternativa "A " está correta. Se a matriz é triangular superior de ordem 3, então tem tamanho 3 x 3 e todos os elementos abaixo da diagonal principal, isto é, j < i, são nulos. Pela regra dos elementos m1,3 = 1 + 2.3 = 7, m2,2 = 2 + 2 = 4 e m3,1 = 0 Assim, m1,3 + m2,2 + m3,1 = 7 + 4 + 0 = 11.

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6. Determinada matriz B é uma matriz oposta à matriz A. Sabe-se que a matriz A é uma matriz simétrica de ordem 3. Alguns elementos de A são definidos por 𝑎𝑖𝑗 = 2 𝑖 - 𝑗 , para 𝑖 = 𝑗 𝑎𝑖𝑗 = 𝑗 - 2 𝑖 + 2 , para 𝑖 > 𝑗

Determine o valor do traço da matriz B mais o elemento b 13. A alternativa "B " está correta.

GABARITO

VERIFICANDO O APRENDIZADO