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Universidade do Minho Escola de Engenharia
MESTRADO INTEGRADO
EM ENGENHARIA MECÂNICA
Órgãos de Máquinas II
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Elaborado e revisto por Paulo Flores, José Gomes, Nuno Dourado e Filipe Marques - 2017
T.07 – ENGRENAGENS CÓNICAS
1. Introdução
2. Geração do Dente
3. Nomenclatura
4. Traçado Aproximado de Tredgold
5. Relações Geométricas
6. Parâmetros de Desempenho
7. Hipoides
8. Revisão de Conhecimentos
9. Referências Bibliográficas
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T.07 – ENGRENAGENS CÓNICAS Órgãos de Máquinas II
Relação de Transmissão e Ângulo de Conicidade Nas engrenagens cónicas as relações de transmissão são, em geral, mais baixas do que nas engrenagens cilíndricas, podendo atingir, no máximo valores da ordem de 6:1. Na maioria dos casos, as engrenagens cónicas funcionam em transmissões cujos eixos de rotação fazem entre si um ângulo de 90º. Embora não seja tão frequente, há também situações práticas em que os eixos das rodas apresentam um ângulo inferior ou superior a 90º. O diferencial dos automóveis é indubitavelmente o mais popular e conhecido exemplo de aplicação de engrenagens cónicas, tal como o que se ilustra na figura 2. Fig. 2 Diferencial de um automóvel Universidade do Minho Escola de Engenharia
- Introdução
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Superfícies Primitivas, Cones Primitivos Nas engrenagens cónicas as superfícies primitivas têm a forma cónica e rolam sem escorregar uma em relação à outra. As superfícies primitivas nas engrenagens cónicas são frequentemente denominadas de cones primitivos, tal como os que se mostram na figura 3. Para que duas rodas cónicas funcionem corretamente, os seus eixos devem cruzar-se no mesmo vértice, o ponto S representado na figura 3. Durante o movimento relativo de duas rodas cónicas, o qual é teoricamente do tipo esférico, cada ponto da engrenagem permanece à mesma distância do vértice S. Fig. 3 Representação dos cones primitivos de uma engrenagem cónica.
Cone primitivo
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- Geração do Dente
S
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Universidade do Minho Escola de Engenharia Perfil Exato e Perfil Aproximado As engrenagens cónicas em evolvente esférica têm relativamente pouco interesse prático em virtude da dificuldade em obter rodas com o perfil exato. Na verdade, os perfis dos dentes assim obtidos apresentam um flanco curvo com um ponto de inflexão, (ver figura 5a). (a) (b) Fig. 5 Perfis de dentes de rodas cónicas Por isso, na prática prefere-se o perfil piramidal ou trapezoidal para a forma dos dentes das engrenagens cónicas, em detrimento do perfil exato (ver figura 5b). Na figura 6 representa-se uma secção de uma engrenagem cónica quando esta é intersetada por uma superfície esférica cujo centro é coincidente com o vértice virtual dos eixos das rodas. Os perfis dos dentes que se obtêm deste modo correspondem aos perfis exatos dos dentes. Daqui pode inferir-se que o perfil dos dentes aumenta com o aumento da superfície esférica considerada. Pode observar-se que nas rodas cónicas a geometria de contacto deve ser examinada numa superfície esférica. Fig. 6 Secção esférica de engrenagem cónica
- Geração do Dente
S
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Universidade do Minho Escola de Engenharia Engrenamento Octoide A figura 7 diz respeito ao engrenamento de duas rodas cónicas em que a forma dos dentes não é gerada em evolvente esférica. Na verdade, neste engrenamento existe um pequeno desvio em relação ao perfil exato, em virtude das superfícies dos dentes serem constituídas por faces planas. Como consequência, a linha de ação ou de engrenamento apresenta a forma de oito , sendo, por isso, o perfil denominado de octoide. Neste tipo de perfil de dente se considera uma roda coroa, a qual apresenta uma relação semelhante à cremalheira no caso das engrenagens cilíndricas. Neste tipo de engrenamento, roda coroa roda cónica, as faces dos dentes são planas que cruzam com o centro da esfera teórica, como se mostra na figura 7b. (a) (b) Fig. 7 Representação do engrenamento de duas rodas cónicas
- Geração do Dente
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Universidade do Minho Escola de Engenharia Engrenagens Cónicas de Dentes Inclinados e Curvos Fig. 10 Fig. 11 A figura 12 mostra uma engrenagem cónica de dentes espirais ou curvos. Fig. 12
- Geração do Dente
S
S
S ’
S ’
Evolvente esférica Perfil piramidal
S
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Universidade do Minho Escola de Engenharia Parâmetros Geométricos Na figura 13 estão representados os principais parâmetros geométricos e termos utilizados na caraterização de uma engrenagem cónica. Listam-se de seguida alguns parâmetros e termos associados às rodas cónicas: S – ângulo de conicidade d – ângulo de cone primitivo d a – ângulo de cone de coroa d f – ângulo de cone de raiz n – ângulo de altura do dente n a – ângulo de saliência n f – ângulo de raiz R – geratriz primitiva Rm – geratriz média b – largura do dentado m – módulo exterior da engrenagem Fig. 13 Nomenclatura fundamental de uma engrenagem cónica
- Nomenclatura
S
Círculo médio Cone exterior Cone de pé Cone primitivo Cone de cabeça Cone interior d S Diâmetro de pé, df Diâmetro primitivo, d Diâmetro de cabeça, da
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Roda Cilíndrica Equivalente O traçado de Tredgold baseia-se no facto de um cone tangente a uma esfera, no ponto primitivo de uma engrenagem cónica, apresentar uma superfície muito próxima da de uma esfera, quando aquela está na vizinhança do ponto primitivo (ver figura 14a). O cone referido é denominado de cone complementar e pode ser planificado. O perfil dos dentes de rodas cónicas, quando definido na parte de trás do cone ou cone complementar, é idêntico ao que se obtém para uma roda cilíndrica com um diâmetro primitivo equivalente, tal como se representa na figura 14b. (a) (b) Fig. 14 (a) Representação do traçado aproximado de Tredgold; (b) Representação da roda cilíndrica equivalente
Cone primitivo
Ponto primitivo
Superfície esférica^ Cone complementar
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- Traçado Aproximado de Tredgold
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r
re
Universidade do Minho Escola de Engenharia Roda Cilíndrica Equivalente A figura 15 ilustra uma engrenagem cónica e a correspondente engrenagem cilíndrica equivalente formada a partir dos respetivos cones complementares. A engrenagem equivalente é construída a partir dos raios equivalentes representados na figura 15. Os raios equivalentes correspondem à geratriz dos cones complementares. Fig. 15 Engrenagem cónica e engrenagem cilíndrica equivalente Da análise da figura 15 observa-se que os raios equivalentes são dados por
- Traçado Aproximado de Tredgold
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re 1
d 1 d 2
r 1
r 2
re 2
1 1 1 cos d r re 2 2 2 cos d r re
Universidade do Minho Escola de Engenharia Relação de Transmissão Considere-se a figura 16, relativa à representação esquemática de um engrenamento cónico, cujas velocidades de rotação são, respetivamente, w 1 e w 2. Ainda nesta figura está representado o eixo instantâneo de rotação, SI , da engrenagem, em que I denota o ponto primitivo exterior Por definição, a velocidade linear do ponto primitivo é dada por Fig. 16 Engrenamento cónico ou seja Atendendo a que e resulta que
- Relações Geométricas
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v 1 v 2 IA w 1 IB w 2 1 2 2 1 z z IA IB i w w IA SI sen d 1 IB^ SI^ sen^ d 2 1 2 1 2 2 1 sen sen z z i d d w w
B
S
S d 1 d 2
w 2 w
w 1
I
A
Universidade do Minho Escola de Engenharia Posições Relativas dos Cones Primitivos Conforme se trate de engrenagens exteriores ou interiores, o estabelecimento do valor do ângulo formado entre os eixos das rodas permite distinguir cinco posições relativas dos cones primitivos de duas rodas cónicas. A figura 17 ilustra esquematicamente estas cinco situações distintas. (a) (b) (c) (d) (e) Fig. 17 Posições relativas dos cones primitivos em engrenagens cónicas: (a) Engrenagem exterior, S=90º; (b) Engrenagem exterior, S<90º; (c) Engrenagem exterior, S>90º; (d) Engrenagem interior, S<90º; (e) Engrenagem interior com roda plana, S>90º
- Relações Geométricas
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S d^1 d 2 S^ S^ d 1 d 2
S
S
S d 1 d 2
S
S d 1 d 2 =90º S d 2 d 1
Universidade do Minho Escola de Engenharia Posições Relativas dos Cones Primitivos Para engrenagens exteriores em que S>90º tem-se que Para engrenagens interiores em que S<90º tem-se que Para engrenagens interiores em que S>90º, sendo a roda plana, tem-se que
- Relações Geométricas
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cos( 180 ) sen(180 ) tg 2 1 2 Σ z z Σ d d 1 Σ d 2 2 1 2 sen sen tg z z Σ Σ d d 1 d 2 Σ d 2 90 º d 1 Σ d 2
Universidade do Minho Escola de Engenharia Proporções dos Dentes Nas engrenagens cónicas as proporções dos dentes são estabelecidas na extremidade exterior dos dentes sobre as circunferências primitivas
- Relações Geométricas
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ha m hf 1 , 25 m z a d n 2 sen tg z f d n 2 , 5 sen tg d d n d n 2 cos sen cos sen ( ) a a a d (^) a d d h d d n d n 2 cos sen cos sen( ) f f f d (^) f d d h 2 2 2 1 2 sen r r d R d 2 b Rm R
