Equação Logística Discreta, Notas de estudo de Matemática

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Equação Logística Discreta



Estudo do Comportamento



Discreta da equação



Ponto Estacionário

 (^) Séries temporais que apresentam dinâmica caótica convergem para os assim chamados atratores estranhos (ou caóticos). Quando isso ocorre, as séries passam a apresentar uma hipersensibilidade em relação às condições iniciais, que resulta de não- linearidades presentes no sistema que lhes dão origem, as quais amplificam exponencialmente pequenas diferenças nas condições iniciais. Nessas circunstâncias, o comportamento do sistema, mesmo no curto prazo, torna- se imprevisível, no sentido de que o exame das séries temporais correspondentes por um tempo arbitrariamente longo não permite predizer sua evolução posterior. Uma segunda característica é a de que, embora imprevisível, um sistema na região caótica não apresenta comportamento explosivo, mas estacionaridade, no sentido de que sua dinâmica se dá segundo padrões que tendem à repetição de forma aperiódica.

Introdução

Equação Logística Discreta



Um modelo matemático que se

tornou clássico em dinâmica

populacional sugerido por Verhulst,

onde a taxa de crescimento

populacional depende do número de

indivíduos da própria população

(densidade dependente), possui um

modelo similar para equações de

diferenças não lineares, que é dada

por:

 (^) O modelo logístico discreto, dado pela equação, é um dos mais simples exemplos de equações de diferenças não lineares e se pode notar a complexidade de seu desenvolvimento quando variamos o parâmetro r (Bassanezi, 2002). A formulação de modelos matemáticos com equações de diferenças ganhou força a partir dos trabalhos desenvolvidos por May (1976), sobre a dinâmica populacional de certos insetos que têm gerações que se sobrepõem e seus elementos são gerados periodicamente.  (^) Ao variarmos o parâmetro r a partir do valor 3, quando ocorre a primeira bifurcação do estado de equilíbrio (oscilação de período 2), como na figura a, teremos novas bifurcações à medida que r cresce, entre os valores 3 e 4, que é conhecido como regime caótico.

Figura (a): Bifurcação

Figura (b): Caos

 A solução de é uma expressão que relaciona Xn e a condição inicial X0, para cada estágio n. Geralmente, não é possível obter tal solução diretamente quando se trata de equações não lineares. Na maioria dos casos, o que se procura fazer é analisar estas equações através de seus pontos de equilíbrio. No contexto das equações de diferenças tem- se a estabilidade do processo quando não ocorre variação do estágio n para o estágio n+1, isto é, quando temos:

 Da 1ª equação, tem-se um ponto de equilíbrio x* quando:

Figura 1: Ponto fixo x* = Xn+1 = f(Xn)

No gráfico da figura 1 podemos observar dois pontos fixos de f:  x = 0 e x, com características bem distintas; dado qualquer valor inicial x0, a seqüência Xn obtida por recorrência, se afasta de x = 0 e se aproxima de x. Dizemos que x = 0 é um ponto de equilíbrio instável e x* é assintoticamente estável. A estabilidade de um ponto de equilíbrio x* pode ser determinada analiticamente pelo valor do módulo de:

 O parâmetro λ é denominado autovalor do equilíbrio x* da equação. Conforme os valores de λ, temos:  a) Se 0 < |λ| < 1, x* é, localmente, λ|λ| < 1, x* é, localmente, < 1, x* é, localmente, assintoticamente estável (atrator), isto é, se xn está próximo de x, então xn converge para x. Mais ainda, se 0 < λ < 1 a convergência é monótona (1ª Figura) se - < λ < 0 a convergência é oscilatória (2ª figura).

 Figura:  (a) λ > 1, x* é ponto de equilíbrio instável;  (b) λ < -1, x* é ponto de equilíbrio oscilatoriamente instável.  c) Se |λ| < 1, x* é, localmente, λ|λ| < 1, x* é, localmente, = 1, o ponto de equilíbrio x* é neutralmente estável , ou simplesmente estável. Neste caso, a seqüência xn, a partir de algum n, oscila em torno do ponto x* que é denominado centro de um ciclo limite – ver na próxima figura, quando, λ = -1, x* é ciclo limite.