Lista de Exercícios de Geometria Analítica
Equações de retas e plano
1. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas das retas:
(a) que passa por 𝐴= (1,2) e𝐵= (3,−1).
(b) que passa por 𝑃= (1,−2,3) e𝑄= (−1,−1,1).
(c) que passa por 𝑄= (1,1) e é perpendicular a reta 𝑦= 2𝑥+ 2.
(d) que passa por 𝑂= (0,0,0) e é paralela a reta ⎧
⎨
⎩
𝑥= 2 −3𝑡
𝑦= 2
𝑧= 8𝑡
, 𝑡 ∈ℝ
Res: (a) (𝑥, 𝑦) = (1,2) + 𝑡(2,−3), 𝑡 ∈ℝ,{𝑥= 1 + 2𝑡
𝑦= 2 −3𝑡,𝑦=−3
2𝑥+7
2.
Res: (b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,−2,3) + 𝑡(−2,1,−2), 𝑡 ∈ℝ,⎧
⎨
⎩
1−2𝑚
−2 + 𝑚
3−2𝑚
, 𝑚 ∈ℝ,𝑥−1
−2=𝑦+2 = 𝑧−3
−2.
Res: (c) (𝑥, 𝑦) = (1,1) + 𝑡(1,−1
2),𝑡∈ℝ,{𝑥= 1 + 𝑡
𝑦= 1 −1
2𝑡,𝑡∈ℝ𝑦=−1
2𝑥+3
2,.
Res: (d) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0) + 𝑡(−3,0,8), 𝑡 ∈ℝ,⎧
⎨
⎩
𝑥=−3𝑡
𝑦= 0
𝑧= 8𝑡
, 𝑡 ∈ℝ,−𝑥
3=𝑧
8e𝑦=0.
2. Determine as equações geral, vetorial e paramétricas dos planos:
(a) que passa por 𝐴= (1,−1,0),𝐵= (2,−2,3) e𝐶= (2,0,3).
(b) que passa por 𝐴= (1,2,3),𝐵= (0,0,1) e𝐶= (2,−1,−2).
(c) que passa por 𝑃= (1,−1,0) e é paralelo ao plano 𝜋: 2𝑥+𝑦−2𝑧−2 = 0.
Res: (a) 3𝑥+ 0𝑦−𝑧−3 = 0 e(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,−1,0) + 𝑡(1,−1,3) + 𝜆(1,1,3), 𝜆, 𝑡 ∈ℝe
⎧
⎨
⎩
𝑥= 1 + 𝑡+𝜆
𝑦=−1−𝑡+𝜆
𝑧= 0 + 3𝑡+ 3𝜆
𝑡, 𝜆 ∈ℝ.
Res: (b) 𝑥−7𝑦+ 4𝑧−4=0 e(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) + 𝑡(1,2,2) + 𝜆(1,−3,−5), 𝜆, 𝑡 ∈ℝe
⎧
⎨
⎩
𝑥= 1 + 𝑡+𝜆
𝑦= 2 + 2𝑡−3𝜆
𝑧= 3 + 2𝑡−5𝜆
𝑡, 𝜆 ∈ℝ.
Res: (c) 2𝑥+𝑦−2𝑧−1=0 e(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,0) + 𝑡(1,0,1) + 𝜆(1,−2,0), 𝜆, 𝑡 ∈ℝe
⎧
⎨
⎩
𝑥=𝑡+𝜆
𝑦= 1 −2𝜆
𝑧=𝑡+𝜆
𝑡, 𝜆 ∈ℝ.
4. Dadas as retas
𝑟:𝑥−2
2=𝑦
2=𝑧e𝑠:𝑥−2=𝑦=𝑧,
obtenha uma equação geral para o plano determinado por 𝑟e𝑠.Res: 𝑥−𝑦−2 = 0.
5. Sejam 𝑃(4,1,−1) e𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 + 𝑡, 4−𝑡, 1+2𝑡).
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