Equações diferenciais (edo), Notas de estudo de Matemática

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EquaçõEs difErEnciais para

licEnciatura Em matEmática

EquaçõEs difErEnciais para licEnciatura Em matEmática

Universidade Federal de Minas Gerais Reitor: Clélio Campolina Diniz Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton

Pró-reitoria de Graduação Pró-Reitora: Antônia Vitória Soares Aranha Pró-Reitora Adjunta: Carmela Maria Polito Braga Coordenador do Centro de Apoio à Educação a Distância: Fernando Fidalgo Coordenadora da Universidade Aberta: Ione Maria Ferreira Oliveira editora UFMG Diretor: Wander Melo Miranda Vice-Diretora: Silvana Cóser

Conselho editorial Wander Melo Miranda (presidente) Flávio de Lemos Carsalade Heloisa Maria Murgel Starling Márcio Gomes Soares Maria das Graças Santa Bárbara Maria Helena Damasceno e Silva Megale Paulo Sérgio Lacerda Beirão Silvana Cóser

ASSISTÊNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Euclídia Macedo EDITORAÇÃO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro REVISÃO E NORMALIZAÇÃO Alexandre Vasconcelos de Melo REVISÃO DE PROVAS Alexandre Vasconcelos de Melo PROJETO GRÁFICO E CAPA Eduardo Ferreira FORMATAÇÃO Sérgio Luz PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac

editora UFMG Av. Antônio Carlos, 6.627 - Ala direita da Biblioteca Central - Térreo Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MG Tel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409- www.editora.ufmg.br - [email protected]

© 2010, REGINALDO J. SANTOS © 2010, EDITORA UFMG Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor.

Santos, Reginaldo J. Equações diferenciais para licenciatura em matemática / Reginaldo J. Santos. – Belo Horizonte : Editora UFMG, 2010. 109 p. : il. (Educação a Distância)

ISBN: 978-85-7041-847-

1. Equações diferenciais lineares. I. Título. II. Série.

CDD: 512. CDU: 519.

S237e

Elaborada pela DITTI – Setor de Tratamento da Informação Biblioteca Universitária da UFMG

PrÓ-reitoria de GradUaÇÃo Av. Antônio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6º andar Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MG Tel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409- www.ufmg.br - [email protected] - [email protected]

Este livro recebeu apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC.

Ao se falar em Educação a Distância (EAD), é preciso ressaltar a possi-

bilidade que essa modalidade de ensino promove de inserção social

pela disseminação de meios e processos de democratização do conheci-

mento. A meta é não só elevar os índices de escolaridade, mas também

oferecer uma educação de qualidade, disponibilizando uma formação

inicial e/ou continuada, em particular, a professores que não tiveram

acesso a esse ensino.

Não se pode ignorar que é fundamental haver, sempre, plena conexão

entre educação e aprendizagem. A modalidade a distância é um tipo

de aprendizagem que, em especial na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), já está concretizada como um ensino de qualidade.

Hoje, a aprendizagem tornou-se, para todos os profissionais dessa

universidade envolvidos no programa de Educação a Distância, sinô-

nimo de esforço e dedicação de cada um.

Este livro objetiva desenvolver conhecimentos essenciais para o seu

estudo. Os alunos estudarão o material nele contido e muitos outros,

que lhe serão sugeridos em bibliografia complementar. É importante

terem em vista que essas leituras são de extrema importância para,

com muita dedicação, avançarem em seus estudos.

Cada volume da coletânea está dividido em aulas e, em cada uma delas,

trata-se de determinado tema, que é explorado em diferentes formas

• textos, apresentações, reflexões e indagações teóricas, experimenta-

ções ou orientações para atividades a serem realizadas pelos alunos. Os

objetivos propostos em cada uma das aulas indicam as competências e

habilidades que os alunos, ao final da disciplina, devem ter adquirido.

Espera-se que, assim, eles se tornem autônomos, responsáveis, críticos

e decisivos, capazes, sobretudo, de desenvolver a própria capacidade

intelectual. Os alunos não podem se esquecer de que toda a equipe

de professores e tutores responsáveis pelo curso estará, a distância ou

presente nos polos, pronta a ajudá-los. Além disso, o estudo em grupo,

a discussão e a troca de conhecimentos com os colegas serão, nessa

modalidade de ensino, de grande importância ao longo do curso.

Agradeço aos autores e à equipe de produção pela competência, pelo

empenho e pelo tempo dedicados à preparação deste e dos demais

livros do EAD. Espero que cada um deles possa ser valioso para

os alunos, pois tenho a certeza de que vão contribuir muito para o

sucesso profissional de todos eles, em seus respectivos cursos, na área

da educação em geral, no País.

Ione Maria Ferreira de Oliveira

Coordenadora do Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB/UFMG)

Assessora do Centro de Apoio de Educação a Distância (CAED)

de setembro de 2009 a abril de 2010

sumário

apresentação 9

pré-requisitos 11

aula 1 | Equações diferenciais de 1ª Ordem - 1ª parte 13 1.1 Introdução às Equações Diferenciais................................ 13 1.1.1 Classificação............................................ 15 1.1.2 Soluções de Equações Ordinárias............................ 16 1.1.3 Equações Ordinárias de 1ª Ordem............................ 16 Exercícios................................................... 19 1.2 Equações Lineares de 1ª Ordem................................... 20 1.2.1 Equações em que p ( t ) = 0................................. 20 1.2.2 Equações Lineares - Caso Geral.............................. 20 1.2.3 Como chegar ao fator integrante

12 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ OES DIFERENCIAIS DE 1˜ A.^ ORDEM - 1 A.^ PARTE

1.2.3 Como chegar ao fator integrante μ (t) = e

∫

p(t)dt ?

Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante μ (t) = e

∫ p(t)dt.

Comparando-se as equac¸ ˜oes (1.7) e (1.8) na p´agina 21 vemos que o fator integrante μ (t) deve ser uma func¸ ˜ao que satisfaz a equac¸ ˜ao diferencial

d μ dt

= p(t) μ (t).

Esta ´e tamb´em uma equac¸ ˜ao linear, mas com q(t) = 0. Supondo-se μ (t) ̸= 0, vamos multiplicar esta equac¸ ˜ao por 1/ μ (t), obtendo a equac¸ ˜ao

1 μ (t)

d μ dt

= p(t).

Como (^) μ (^1 t) = (^) dd μ (ln | μ (t)|) , a equac¸ ˜ao anterior pode ser reescrita como

d d μ (ln | μ (t)|) d μ dt = p(t).

Mas pela Regra da Cadeia esta equac¸ ˜ao ´e equivalente a

d dt (ln^ | μ (t)|) =^ p(t),

que ´e uma equac¸ ˜ao do tipo (1.4) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os membros obtendo

ln | μ (t)| =

∫ p(t)dt + C 1.

Aplicando-se a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto, obtemos

μ (t) = ±e c^1 e

∫ p(t)dt (^) = Ce ∫ p(t)dt.

Como estamos interessados em apenas um fator integrante, podemos to- mar C = 1, e obtermos μ (t) = e

∫ p(t)dt.

?............ 24 Exercícios................................................... 25

aula 2 | Equações diferenciais de 1ª Ordem - 2ª parte 27 2.1 Equações Separáveis............................................ 27 Exercícios................................................... 33 2.2 Aplicações................................................... 34 2.2.1 Dinâmica Populacional.................................... 34 2.2.2 Datação por Carbono 14................................... 40 2.2.3 Misturas................................................ 41 2.2.4 Lei de Resfriamento de Newton.............................. 44 2.2.5 Juros.................................................. 45 Exercícios................................................... 50

aula 3| Equações diferenciais de 1ª Ordem - 3ª parte 53 3.1 Análise Qualitativa............................................. 53 3.1.1 Equações Autônomas..................................... 53 3.1.2 Campo de Direções....................................... 57 Exercícios................................................... 59 3.2 Existência e Unicidade de Soluções................................ 60 Exercícios................................................... 64

• aula 4 | Equações diferenciais lineares de 2ª Ordem - 1ª parte
  • 4.1 Equações Homogêneas
    • 4.1.1 Soluções Fundamentais
    • 4.1.2 Fórmula de Euler
    • 4.1.3 Obtendo uma Segunda Solução
    • 4.1.4 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes
    • Exercícios
• aula 5 | Equações diferenciais lineares de 2ª Ordem - 2ª parte
  • 5.1 Equações Não Homogêneas
    • 5.1.1 Equações Não Homogêneas com Coeficientes Constantes
    • Exercícios
• aula 6 | Equações diferenciais lineares de 2ª Ordem - 3ª parte
  • 6.1 Oscilações
    • 6.1.1 Oscilações Livres
    • 6.1.2 Oscilações Forçadas
    • Exercícios
• referências
• Índice remissivo
• sobre o autor

pré-requisitos^1

Exponenciais e Logaritmos

• x = eln^ x^ = ln(e x^ ).
• e a+b^ = e a^ e b^ e ln(ab) = ln a + ln b.
• ln ab = ln a − ln b e b ln a = ln a b.

N ´umeros Complexos

• Se z = a + ib ∈ C, ent˜ao i^2 = −1, a parte real e a parte imagin´aria de z s˜ao os n ´umeros reais

{z} = a e {z} = b.

• Se z 1 = a + ib, z 2 = c + id ∈ C, ent˜ao

z 1 + z 2 = (a + c) + i(b + d), z 1 z 2 = (ac − bd) + i(ad + bc).

• As ra´ızes da equac¸ ˜ao do 2o.^ grau ax^2 + bx + c = 0 com ∆ = b^2 − 4 ac < 0 s˜ao

x1,2 =

−b 2 a

2 a

i.

Trigonometria

• cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen asen b.
• sen (a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a.

Deriva¸c˜ao

d dx

( α y(x) + β z(x)) = α

dy dx

• β

dz dx

d dx

(y(x)z(x)) =

dy dx

z(x) + y(x)

dz dx

d dx

x n^ = nx n−^1.

d dx

sen x = cos x,

d dx

cos x = −sen x.

d dx

e u(x)^ =

du dx

e u(x).

AULA 1

Equações diferenciais de 1ª Ordem

1ª parte

ObjEtivOs

Ao terminar esta seção você deverá ser capaz de:

• Compreender o que é uma equação diferencial e o que é solução de uma equação diferencial.
• Classificar uma equação diferencial quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
• Saber o que é uma solução de uma equação diferencial de 1ª ordem e de um problema de valor inicial.

Cap´ıtulo 1

Equa¸c ˜oes Diferenciais de 1

a

Ordem - 1

a.

Parte

1.1 Introdu¸c˜ao `as Equa¸c ˜oes Diferenciais

Uma equac¸ ˜ao alg´ebrica ´e uma equac¸ ˜ao em que as inc ´ognitas s˜ao n ´umeros, enquanto uma equa¸c˜ao diferencial e uma equac´ ¸ ˜ao em que as inc ´ognitas s˜ao func¸ ˜oes e a equac¸ ˜ao envolve derivadas destas func¸ ˜oes. Numa equac¸ ˜ao diferencial em que a inc ´ognita ´e uma func¸ ˜ao y(t), t e a vari´´ avel indepen- dente e y e a vari´´ avel dependente. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.1. O movimento de um pˆendulo simples de massa m e compri- mento l e descrito pela equac´ ¸ ˜ao diferencial

d^2 θ dt^2

g l

sen θ = 0.

Nesta equac¸ ˜ao a inc ´ognita ´e a func¸ ˜ao θ (t). Assim, θ ´e a vari´avel dependente e t e a vari´´ avel independente.

14

EquaçõEs difErEnciais para licEnciatura Em matEmática 2 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ OES DIFERENCIAIS DE 1˜ A.^ ORDEM - 1 A.^ PARTE

Figura 1.1 - Pˆendulo Simples

Figura 1.2 - Sistema massa-mola

Exemplo 1.2. Um sistema massa-mola composto de um corpo de massa m preso a uma mola com constante el´astica k, sujeita a uma forc¸a de re- sistˆencia Fr = − γ v = − γ dxdt e uma forc¸a externa Fext(t) = F 0 cos( ω t), ´e descrito pela equac¸ ˜ao diferencial

m d^2 x dt^2

• γ

dx dt

• kx = F 0 cos( ω t).

Nesta equac¸ ˜ao a inc ´ognita ´e a func¸ ˜ao x(t). Assim, x e a vari´´ avel depen- dente e t ´e a vari´avel independente.

Exemplo 1.3. Numa regi˜ao do plano em que n˜ao h´a cargas el´etricas o potencial el´etrico u(x, y) em cada ponto (x, y) da regi˜ao satisfaz a equac¸ ˜ao diferencial ∂^2 u ∂ x^2

∂^2 u ∂ y^2

16

EquaçõEs difErEnciais para licEnciatura Em matEmática 4 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ OES DIFERENCIAIS DE 1˜ A.^ ORDEM - 1 A.^ PARTE

3. Quanto `a linearidade uma equac¸ ˜ao diferencial pode ser linear ou n˜ao linear. Ela ´e linear se as inc ´ognitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equac¸ ˜ao, isto ´e, as inc ´ognitas e suas derivadas aparecem em uma soma em que cada parcela ´e um produto de al- guma derivada das inc ´ognitas com uma func¸ ˜ao que n˜ao depende das inc ´ognitas. Por exemplo, uma equac¸ ˜ao diferencial ordin´aria linear de ordem n e uma equac´ ¸ ˜ao que pode ser escrita como

a 0 (t)y + a 1 (t)

dy dt

• a 2 (t)

d^2 y dt^2

+... + a (^) n(t)

d n^ y dt n^

= f (t).

As equac¸ ˜oes diferenciais ordin´arias que n˜ao podem ser colocadas nessa forma s˜ao n˜ao lineares. As equac¸ ˜oes dos Exemplos 1.2, 1.3 e 1.4 s˜ao lineares, e a equac¸ ˜ao do Exemplo 1.1 ´e n˜ao linear.

1.1.2 Solu¸c ˜oes de Equa¸c ˜oes Ordin´arias

Uma solu¸c˜ao (particular) de uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de ordem n em um intervalo I e uma func´ ¸ ˜ao y(t) definida no intervalo I tal que as suas derivadas de ordem at´e n est˜ao definidas no intervalo I e satisfazem a equac¸ ˜ao neste intervalo.

Exemplo 1.5. Considere a equac¸ ˜ao

ay′′^ + by′^ + cy = 0, com a, b, c ∈ R, a ̸= 0 tais que b^2 − 4 ac = 0.

Vamos mostrar que y(t) = e−^ 2 ba t^ e soluc´ ¸ ˜ao desta equac¸ ˜ao.

y′(t) = −

b 2 a

e−^ 2 ba t , y′′(t) =

b^2 4 a^2

e−^ 2 ba t .

Substituindo-se y(t), y′(t) e y′′(t) no primeiro membro da equac¸ ˜ao, obtemos

ay′′^ + by′^ + cy = a

b^2 4 a^2

e−^ 2 ba t^

• b

b 2 a

e−^ 2 ba t

• ce−^ 2 ba t

b^2 4 a

b^2 2 a

• c

e−^ 2 ba t

−b^2 + 4 ac 4 a

e−^ 2 ba t^ = 0,

pois, por hip ´otese, b^2 − 4 ac = 0. Assim, y(t) = e−^

b 2 a t^ e soluc´ ¸ ˜ao da equac¸ ˜ao.

1.1.3 Equa¸c ˜oes Ordin´arias de 1 a^ Ordem

As equac¸ ˜oes diferenciais ordin´arias de 1 a.^ ordem s˜ao equac¸ ˜oes que podem ser escritas como F(t, y, y′) = 0. Vamos estudar equac¸ ˜oes de 1 a.^ ordem, que podem ser escritas na forma

dy dt

= f (t, y). (1.1)

17

aula 1

1.1. INTRODUC¸ AO ˜ AS EQUAC` ¸ OES DIFERENCIAIS˜ 5

Uma solu¸c˜ao (particular) de uma equa¸c˜ao diferencial (1.1) em um inter- valo I e uma func´ ¸ ˜ao y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y′(t) est´a definida no intervalo I e satisfaz a equac¸ ˜ao (1.1) neste intervalo. O problema (^)   

dy dt

= f (t, y) y(t 0 ) = y 0.

e chamado´ problema de valor inicial (PVI). Uma solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1.2) em um intervalo I e uma func´ ¸ ˜ao y(t) que est´a definida neste intervalo, tal que a sua derivada tamb´em est´a definida neste intervalo e satisfaz (1.2). Quando resolvemos uma equac¸ ˜ao diferencial ordin´aria de 1a.^ ordem obte- mos uma fam´ılia de soluc¸ ˜oes que dependem de uma constante arbitr´aria. Se toda soluc¸ ˜ao particular puder ser obtida da fam´ılia de soluc¸ ˜oes que encontramos por uma escolha apropriada da constante, dizemos que a fam´ılia de soluc¸ ˜oes ´e a solu¸c˜ao geral da equac¸ ˜ao.

Exemplo 1.6. A equac¸ ˜ao dy dt

= e^3 t

pode ser resolvida por integrac¸ ˜ao direta obtendo

y(t) =

∫ e^3 t^ dt =

e^3 t 3

+ C,

que ´e a soluc¸ ˜ao geral da equac¸ ˜ao diferencial dada. Para encontrarmos a soluc¸ ˜ao do PVI   

dy dt

= e^3 t y(1/3) = e/

substitu´ımos t = 1/3 e y = e/3 na soluc¸ ˜ao geral encontrada, obtendo C = 0. Assim, a soluc¸ ˜ao do PVI ´e

y(t) =

e^3 t 3

v´alida para −∞ < t < ∞, que ´e o maior intervalo em que a soluc¸ ˜ao e sua derivada est˜ao definidas.

19

aula 1

1.1. INTRODUC¸ AO ˜ AS EQUAC` ¸ OES DIFERENCIAIS˜ 7

Exerc´ıcios

1. Classifique as equac¸ ˜oes abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade. (a) yy′^ + t = 0. (b) x^2 y′′^ + bxy′^ + cy = 0.
2. Determine qual ou quais das func¸ ˜oes y 1 (x) = x^2 , y 2 (x) = x^3 e y 3 (x) = e−x^ s˜ao soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao (x + 3 )y′′^ + (x + 2 )y′^ − y = 0.
3. Sejam a, b, c ∈ R. Mostre que (a) y(t) = e rt, com r raiz de ar + b = 0, ´e soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao ay′^ + by = 0. (b) y(t) = e rt, com r raiz de ar^2 + br + c = 0, ´e soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao ay′′^ + by′^ + cy = 0. (c) y(x) = x r, com r raiz de r^2 + (b − 1 )r + c = 0, ´e soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao x^2 y′′^ + bxy′^ + cy = 0.
4. Determine os valores de r para os quais a func¸ ˜ao y(t) e soluc´ ¸ ˜ao das equac¸ ˜oes: (a) y(t) = r t^2 − 3

e y′^ + ty^2 = 0.

(b) y(t) =

r t^2 + 1

e y′^ − 2 ty^2 = 0.

(c) y(t) = r t^2 + 1

e y′^ − 6 ty^2 = 0.

(d) y(t) =

r t^2 + 2

e y′^ − ty^2 = 0.

Exercícios

20

EquaçõEs difErEnciais para licEnciatura Em matEmática 8 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ OES DIFERENCIAIS DE 1˜ A.^ ORDEM - 1 A.^ PARTE

1.2 Equa¸c ˜oes Lineares de 1 a^ Ordem

As equa¸c ˜oes (diferenciais ordin´arias) lineares de 1 a.^ ordem s˜ao equac¸ ˜oes que podem ser escritas como

dy dt

• p(t)y = q(t). (1.3)

1.2.1 Equa¸c ˜oes em que p(t) = 0

Se a func¸ ˜ao p(t) = 0, a equac¸ ˜ao (1.3) torna-se

dy dt

= q(t), (1.4)

que ´e facilmente resolvida integrando-se os dois lados. Assim, a soluc¸ ˜ao geral desta equac¸ ˜ao ´e dada por

y(t) =

∫ q(t)dt + C.

Exemplo 1.7. A equac¸ ˜ao dy dt

= sen( 2 t)

pode ser resolvida por integrac¸ ˜ao direta obtendo-se a soluc¸ ˜ao geral

y(t) =

∫ sen( 2 t) dt = − cos( 2 t) 2

+ C.

Na subsec¸ ˜ao 1.2.2 e na sec¸ ˜ao 1.3 veremos t´ecnicas de se encontrar soluc¸ ˜oes de equac¸ ˜oes de 1a.^ ordem que se baseiam em transformar a equac¸ ˜ao inicial em uma equac¸ ˜ao do tipo (1.4).

1.2.2 Equa¸c ˜oes Lineares - Caso Geral

Vamos considerar equac¸ ˜oes da forma

dy dt

• p(t)y = q(t). (1.5)

ObjEtivOs

Ao terminar esta seção você deverá ser capaz de:

• Identificar uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
• Calcular o fator integrante de uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
• Encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
• Resolver um problema de valor inicial correspondente a uma equação diferencial linear de 1ª ordem.