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Este material aborda as técnicas de resolução dos vários tipos de equações diofantinas lienares.
Tipologia: Teses (TCC)
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Não perca as partes importantes!
Instituto de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática: PROFMAT/SBM
Orientador: Prof. Dr. Martinho da Costa Araújo
Trabalho financiado pela Capes
Cuiabá - MT Abril de 2013
Este exemplar corresponde à redação final da dis- sertação devidamente corrigida e defendida por Giseli Duardo Maciano Campos e aprovada pela comissão julgadora.
Cuiabá, 14 de maio de 2013.
Prof. Dr. Martinho da Costa Araújo Orientador
Banca examinadora:
Prof. Dr. Martinho da Costa Araújo (UFMT) Prof. Dr. Eunice Cândida Pereira (UFMT) Prof. Dr. Roy Wilhelm Probst (UTFPR)
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT da Uni- versidade Federal de Mato Grosso, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Dissertação de Mestrado defendida em 15 de abril de 2013 e aprovada pela banca examinadora composta pelos Professores Doutores
Prof. Dr. Martinho da Costa Araújo
Prof. Dr. Eunice Cândida Pereira
Prof. Dr. Roy Wilhelm Probst
Dedicatória As minhas avós, in memórian.
"A busca por novos conhecimentos nos motiva e encaminha para um futuro promissor".
Giseli Maciano
Uma equação diofantina linear é uma equação algébrica linear, com a restrição adicional de que as suas variáveis são números inteiros. Neste trabalho tratamos das equações diofantinas lineares de n variáveis e suas soluções. Além disso, mostraremos aplicações destas equações na resolução de alguns problemas relacinados com os números inteiros.
Palavras chave: Máximo divisor comum; Algoritmo de Euclides; Equações diofantinas; Resolução de problemas.
Dentre as atribuições de um professor, está, a de explorar o ensino de matemá- tica em situções cotidianas, que incentivem o aluno a desenvolver seu pensamento, com problemas que permitam ao mesmo elaborar uma forma particular de pensar. Encontrar uma solução e compará-la com soluções já existentes, é uma delas. Neste trabalho apresentaremos um método para encontrar soluções de equações, chamadas de equações diofantinas linares, que foram estudadas por Diofanto, e em sua ho- menagem receberam o nome de equações diofantinas, conforme cita GALEÃO [2009/2010] e UFCG [2012]. Diofante foi um matemático e filósofo grego, teve uma influência maior sobre a teoria moderna dos números do que qualquer outro algebrista grego não geométrico. Um inovador com notações, o primeiro a usar símbolos na resolução de problemas algébricos. Criador de um método para encontrar soluções para determinadas equações algébricas. Os detalhes da vida deste matemático grego são completamente desconhecidos havendo-se conservado suas obras que, transmitidas pelos eruditos árabes, chegaram à Europa graças a sua tradução para o latim, no século XVI. Sabe-se que viveu na "Idade de Prata"(250-350a.C.) da Universidade de Alexan- dria, que foi o centro da atividade matemática, dos dias de Euclides (morreu por volta de 300 a.C.) aos de Hipatia (morreu em 415 a.C.). Alexandria era um centro muito cosmo- polita, e a matemática que se originou dali não era toda de mesmo tipo, conforme consta em BOYER [2003]. A principal obra de Diofante foi um grande tratado chamado Arithmetica (250- 275 a.C.), uma publicação em 13 livros, dos quais sete desapareceram, sem dúvida a maior obra da Antiguidade sobre o tema. Um clássico da ciência alexandrina sobre teoria dos números, caracterizado pelo alto grau de habilidade matemática e de engenhosidade, des- vinculado da matemática grega convencional e voltado para a resolução exata de equações
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daí, substituindo F na primeira equação, segue que,
D 6 +^
que resulta em D = 84. Disso concluímos que Diofante viveu 84 anos. Uma interessante aplicação do conceito de máximo divisor comum (mdc) e do algoritmo da divisão é observado na resolução das equações diofantinas lineares. Apesar do aluno do ensino fundamental ter em seu conteúdo programático a definição e aplicação do mdc, muitos alunos terminam o ensino básico sem conhecer soluções de equações diofantinas lineares básicas. Tendo analisado alguns livros de matemática para o ensino básico, tais como, DANTE [2012], RIBEIRO [2010], GOULART [2008] e PAIVA [2004], observamos a de- ficiência de tal conteúdo, então propomos este trabalho, que mostra algumas aplicações dessas equações em problemas relacionados com o nosso cotidiano. Em POMMER [2008], Pommer propõe o estudo das equações diofantinas lineares com duas variáveis. Neste, propomos, uma complementação, mostrando, soluções de equações com mais variáveis. Mostraremos neste trabalho, como resolver no conjunto dos números inteiros as equações diofantinas lineares com mais de duas variáveis e indutivamente estenderemos o conceito para n variáveis. Para cumprir com o objetivo supracitado, desenvolvemos este trabalho da seguinte forma: No capítulo 1, apresentaremos ferramentas básicas usadas para a resolução das equações diofantinas lineares. No capítulo 2, mostraremos como encontrar soluções de equações diofantinas lineares com n variáveis. No capítulo 3, aplicaremos os conhecimentos e técnicas, apresentadas nos capítu- los anteriores, na interpretação e resolução de problemas que envolvem números inteiros.
Para compreender de forma clara o objeto de estudo deste trabalho, que são as equações diofantinas lineares e suas aplicações, é importante entender os pré-requisitos que apresentaremos a seguir, pois para resolver qualquer tipo de equação, é fundamental ter habilidade na aplicação das técnicas de resolução. Tendo analisado LIMA [2006], SANTOS [1998] e MUNIZ NETO [2012] e tomando como base tais bibliografias, apresentaremos algumas propriedades.
Vamos considerar o conjunto dos números naturais como sendo,
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ...}
ou seja, o conjunto dos números inteiros positivos incluindo o zero, e
N∗^ = N − { 0 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ...}
o conjunto dos números inteiros positivos. Uma demonstração da construção dos números naturais, encontra-se em HEFEZ [2011].
(i) a ∈ S,
(ii) ∀ n ∈ S, a ≤ n.
É imediato verificar que, se S possui um menor elemento, este é único. De fato, se a e a′^ são menores elementos de S, então a ≤ a′^ e a′^ ≤ a, o que implica que a = a′.
Euclides, em Elementos, utiliza, mesmo sem demonstrar, o fato de que é sempre possível efetuar a divisão de a por b, com resto. Logo vamos esclarecer este fato.
Teorema 1.1 Se a e b são dois inteiros, com b > 0 , então existem inteiros q e r únicos, tais que a = bq + r com 0 ≤ r < b.
Prova Considere o conjunto S = {a − bt : t ∈ Z}. Seja S˜ = {a − bt : t ∈ Z e a − bt ≥ 0 }, ou seja, o conjunto de inteiros não negativos de S. Note que se a ≥ 0 , então para t = 0 segue que a ∈ S˜. Se a < 0 , então para t = a obtemos a − ba ∈ S e a − ba = a(1 − b) ≥ 0 , ou seja, novamente a ∈ S˜. Logo S 6 = ∅. Pelo Princípio da Boa Ordem, S˜ tem um elemento mínimo r ∈ S˜ tal que r ≥ 0 e a − bq = r para algum q ∈ Z. Afirmamos que r < b, de fato, suponha que r ≥ b, fosse maior ou igual que b, então teríamos 0 ≤ r − b = a − bq − b = a − b(q + 1) ∈ S˜ por outro lado a − b(q + 1) = a − bq − b < a − bq = r, o que contradiz a escolha de r ser o elemento mínimo de S˜ , portanto a = bq + r com 0 ≤ r < b. Para provar a unicidade dos inteiros q e r, vamos supor que existem inteiros q 1 e r 1 tais que a = bq 1 + r 1 com 0 ≤ r 1 < b
então bq 1 + r 1 = bq + r =⇒ r 1 − r = bq − bq 1 = b(q − q 1 ) =⇒ b | (r 1 − r).
Como −b < −r ≤ 0 e 0 ≤ r 1 < b temos que −b < r 1 − r < b, logo os múltiplos e b que estão entre −b e b é 0. Portanto (r 1 − r) = 0, ou seja r 1 = r. Consequentemente b(q − q 1 ) = 0 com b 6 = 0, assim (q − q 1 ) = 0, ou ainda q = q 1.
Corolário 1.2 Se a e b são dois inteiros, com b 6 = 0, então existem inteiros q e r únicos tais que a = bq + r com 0 ≤ r < |b|.
Prova Nada temos a provar se b > 0. Caso b < 0 , então |b| > 0 , pelo Teorema 1.1, existem inteiros q 1 e r 1 únicos tais que
a = |b| q 1 + r 1 com 0 ≤ r 1 < |b|.
Como |b| = −b, segue que
a = b (−q 1 ) + r 1 com 0 ≤ r 1 < |b|
ou seja, existem e são únicos os inteiros q = (−q 1 ) e r = r 1 tais que
a = bq + r com 0 ≤ r < |b|.
Nas condições do teorema acima, os números q e r são chamados, respectivamente, de quociente e de resto da divisão de a por b. A demonstração do teorema fornece um algoritmo para calcular o quociente e o resto da divisão de um número por outro, por subtrações sucessivas.
Definição 1.2 Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b, todo inteiro d 6 = 0, tal que d | a e d | b.
Desta definição segue que para a, b, m e n inteiros com d | a e d | b, então d | am + bn.
Exemplo 1 Os números 1, 3, 5 e 15 são divisores comuns de 30 e 45.
A definição que se segue, segundo HEFEZ [2011], é a definição dada por Euclides nos Elementos e se constitui em um dos pilares da sua aritmética.
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Sejam a e b inteiros, não nulos silmutaneamente. Queremos determinar o mdc (a, b) = (a, b). Note que:
(i) se a 6 = 0, então mdc (a, 0) = |a|
(ii) se a 6 = 0, então mdc (a, a) = |a|
(iii) se b | a, então mdc (a, b) = |b|
Além disso, mdc (a, b) = mdc (|a| , |b|), logo para determinar mdc (a, b), basta considerar a e b inteiros positivos distintos, ou seja, a > b e b - a. Assim pelo Algoritmo da Divisão a = bq 1 + r 1 com 0 < r 1 < b. Temos duas possibilidades:
(1) r 1 | b, então r 1 = mdc (b, r 1 ) = mdc (b, a − bq 1 ) = mdc (b, a) = mdc (a, b) (2) r 1 - b, então podemos efetuar a divisão de b por r 1
b = r 1 q 2 + r 2 com 0 < r 2 < r 1.
Novamente temos duas possibilidades: (3) r 2 | r 1 , então r 2 = mdc (r 1 , r 2 ) = mdc (r 1 , b − r 1 q 2 ) = mdc (r 1 , b) = mdc (a − bq 1 , b) = mdc (a, b) (4) r 2 - r 1 , então podemos efetuar a divisão de r 1 por r 2
r 1 = r 2 q 3 + r 3 com 0 < r 3 < r 2.
Continuando desta forma, este procedimento não pode continuar indefinidamente, pois se isso ocorresse teríamos uma sequência infinita de inteiros positivos b > r 1 > r 2 > r 3 > r 4 > · · · · · · , que não possui um menor elemento, o que não é possível pelo Princípio da Boa Ordem. Logo para algum n, temos que rn | rn− 1 , ou seja,
rn+1 = 0 e
rn = mdc (rn− 1 , rn) = mdc (rn− 2 , rn− 1 ) = · · · = mdc (r 1 , r 2 ) = mdc (b, r 1 ) = mdc (a, b).
Na prática usamos o algoritmo efetuando cada divisão e colocando os números envolvidos nos respectivos diagramas da seguinte forma:
(i) a = bq 1 + r 1 com 0 < r 1 < b q 1 a b r 1 (ii) b = r 1 q 2 + r 2 com 0 < r 2 < r 1. q 1 q 2 a b r 1 r 1 r 2 (iii) rn− 2 = rn− 1 qn + rn com 0 < rn < rn− 1 e rn− 1 = rnqn+1 + rn+1 com rn+1 = 0.
q 1 q 2 q 3 q 4 ... qn− 1 qn qn+ a b r 1 r 2 r 3 ... rn− 2 rn− 1 rn r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 ... rn
O algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (mdc) entre dois números inteiros positivos, consiste em efetuar sucessivas divisões, até que se encontre resto igual a zero, onde o valor do último divisor, representa o valor do mdc procurado. Para calcular o mdc(a, b) devemos primeiramente analisar os valores de a e b, com a, b ∈ Z+, podemos supor a ≤ b.
Teorema 1.4 O máximo divisor comum de inteiros a e b, não nulos simultaneamente, se escreve como combinação linear de a e b, seja mdc(a, b) = am + bn para alguns inteiros m e n.
