PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
4113E-04 Equações Diferenciais
4113U-04 Equações Diferenciais para Engenharia Química
Equações Diferenciais Exatas
Introdução: Resolva a equação diferencial . Note que essa equação não é homogênea nem
separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não são aplicáveis. No
entanto, observe que existe a função com a propriedade e . Podemos escrever a equação
diferencial como , isto é . Portanto sua solução é .
Definição: Uma equação diferencial da forma é chamada exata se a expressão do lado
esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal que a diferencial
total de U(x, y) é . Nesse caso, a solução da equação é U(x, y) = C.
Exemplo: Mostre que a equação diferencial é exata.
O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação
diferencial dada é exata.
Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas
numa região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que
seja uma equação diferencial exata é .
Exemplo 1: Resolva a equação diferencial
Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .
Fatores Integrantes: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial que
não é exata em uma equação exata multiplicando-se a equação por um fator integrante
apropriado. Para investigar a possibilidade de implementar essa idéia, vamos multiplicar a
equação por uma função e depois tentar escolher de modo que a equação resultante seja
exata.
Vamos determinar condições sobre M e N para que a equação tenha um fator integrante
dependendo apenas de x. Suponha que é uma função só de
x, temos . Assim para que é necessário que . Se depende apenas de x, então existe um fator
integrante que depende, também, só de x ; além disso pode ser encontrada resolvendo-se
a equação diferencial separável .
Um procedimento semelhante pode ser usado para determinar sob que condições a equação
tem um fator integrante que depende apenas de y.
Exemplo: Encontre um fator integrante para a equação e, depois, resolva a equação.
Exercícios: Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata, Se for, resolva.
Resposta
Resposta
