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Geometria Espacial
- Pontos: A, B, C, ...
- retas: r, s, t, ...
- planos: α, β, γ,...
Axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.
Postulados sobre pontos e retas P 1 ) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P 2 ) Por um ponto no espaço podem ser traçadas infinitas retas.
P 3 ) Por dois pontos distintos no espaço passa uma única reta.
P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
P 5 ) Dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à ela.
Postulado sobre retas e planos P 6 ) Por uma reta passa uma infinidade de planos.
Postulados sobre pontos e planos P 7 ) Por três pontos do espaço não situados na mesma reta passa um único plano.
P 8 ) Dado um plano do espaço, existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não pertencem a ele.
Teorema 1. Se uma reta tem dois pontos em comum com um plano, então ela está contida nesse plano.
Posições relativas entre reta e plano: Sejam r uma reta e α um plano. Então
(1) r^ e^ α^ não têm ponto em comum ( r^ é paralela ao plano).
(2) r^ e^ α^ têm um único ponto em comum ( r^ é secante ao plano).
(3) r e^ α^ têm dois pontos em comum ( r está contida no plano).
Teorema 2. Por uma reta e um ponto não pertencente a ela passa um único plano.
Teorema 3. Por duas retas concorrentes passa um único plano.
Postulado 9. Se dois planos possuem um ponto em comum então eles possuem pelo menos mais um ponto em comum.
Interseções de dois planos Sejam α e β planos. Então
- α e β não têm ponto em comum.
- α e β têm um ponto em comum. Nesse caso os planos têm pelo menos uma reta em comum, podendo ser coincidentes se tiverem um ponto comum não situado na reta comum.
Posições relativas de dois planos
- α e β não têm ponto em comum (paralelos).
- α e β têm dois pontos em comum e, portanto, têm uma reta em comum (secantes).
- α e β têm três pontos não colineares em comum (coincidentes).
Teorema 4. Todo plano divide o espaço em dois semi-espaços que têm a seguinte propriedade: se dois pontos A e B estão em um mesmo semi-espaço, então o segmento AB está contido neste semi-espaço e não corta o plano; se os dois pontos A e B estão em semi- espaços distintos, o segmento AB corta o plano.
Triedos: Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico , ou simplesmente triedro.
Ângulo poliédrico: Considere n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem
três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros: Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.
Critério para paralelismo de reta e plano Teorema 8. Um plano α e uma reta r não contida nele são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α e que é paralela a r.
Critério para paralelismo de planos Teorema 9. Se os planos α e β são paralelos então α é paralelo a cada reta de β.
Teorema 10. Se o plano α é paralelo a duas retas concorrentes contidas no plano β , então
α e β são paralelos.
Unicidade do plano paralelo Teorema 11. Por um ponto P não pertencente a um plano α passa um único plano paralelo a α.
Teorema 12. Se uma reta corta um plano α , então ela corta também qualquer plano paralelo a α.
Teorema 13. Se um plano corta uma reta r , então ele corta qualquer reta paralela a r.
Teorema 14. Se um plano α corta um plano β segundo uma reta r , então ele corta um
plano paralelo a β segundo uma reta paralela a (^) r.
Teorema 15. Dois segmentos de retas paralelos compreendidos entre planos paralelos são iguais.
Teorema 16. Um feixe de planos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duas retas secantes quaisquer.
Definição. Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é ortogonal a toda reta contida no plano.
Observação. Se as retas r e s são ortogonais e t é paralela a r , então s é ortogonal a t.
Teorema 17. A reta (^) r é perpendicular ao plano α se, e somente se, (^) r é perpendicular às retas de α que passam pelo ponto de interseção da reta e do plano.
