Equações polinomiais, Slides de Matemática

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 3º ano

Equações Polinomiais

“A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual à soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?”, http://2.bp.blogspot.com/-Yr2wUq1eG0E/ T9lFT4WDsPI/AAAAAAAAkeY/ QpOcWTVbcO8/s1600/professora+3d.gif

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)  (^) Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou imaginária).  (^) A equação 2x – 6 = 0 admite a raiz real 3.  (^) a equação x^2 + 4 = 0 admite as raízes imaginárias 2i e –2i.  (^) A equação x^4 – 81 = 0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginária – 3i, entre outras.

FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO  (^) Uma consequência imediata do T.F.A. é o teorema a seguir. Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas (reais ou imaginárias).  (^) Portanto, uma equação tem sempre tantas raízes quanto for o seu grau.

DEMONSTRAÇÃO  (^) Pelo T.F.A., p(x) admite uma raiz complexa k

p(k 1 ) = 0 e que p(x) é divisível por (x – k 1 ). ⇒ p(x) = (x – k 1 ).q 1 (x) (1) q 1 (k 2 ) = 0 e que q 1 (x) é divisível por (x – k 2

⇒ q 1 (x) = (x – k 2 ).q 2 (x) (2)  (^) Pelo T.F.A., q 1 (x) admite uma raiz complexa k 2

 (^) Substituindo (2) em (1), concluímos que ⇒ p(x) = (x – k 1 ).(x – k 2 ).q 2 (x)

DEMONSTRAÇÃO  (^) Aplicando esse raciocínio n vezes, o último quociente, de grau zero, é justamente o coeficiente dominante a 0. Concluímos que: p(x) = a 0 .(x – k 1 ).(x – k 2 ).(x – k 3 ). ... (x – kn)  (^) O polinômio tem exatamente n raízes complexas k 1 , k 2 , k 3 , ... kn reais ou imaginárias;  (^) Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1º grau do tipo (x – k i ), em que k i , representa cada uma das raízes do polinômio.

EXEMPLO 2  (^) Quais são os graus das equações (x – 1)^2 = 0, (x – 1)^5 = 0. A partir do grau, quantas raízes complexas tem cada uma delas? Quais são as raízes, em cada caso? (x – 1) 2 = 0 é de 2º grau. (x – 1) 2 = (x – 1).(x – 1) = 0 ⇒ a equação admite duas raízes iguais a 1. (x – 1) 5 = 0 é de 5º grau. (x – 1) 5 = (x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1) = 0 ⇒ a equação admite cinco raízes iguais a 1.

EXEMPLO 3  (^) Escrever o polinômio p(x) = (x^2 – 3x)(x^2 – 9) como produto de fatores de 1º grau e identificar seu grau e suas raízes. Fatorando as expressões entre parênteses, p(x) =(x 2

• 3x)(x 2 - 9) = x(x – 3)(x + 3)(x – 3) O polinômio é de 4º grau e suas raízes são os valores que anulam cada um dos seus quatro fatores: x = 0 ou x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 3 ou x = –3 ou x = 3 ⇒ raízes são 0, 3 , –3 e 3.

EXEMPLO 5  (^) Fatorar o polinômio p(x) = x^2 – 5x + 6. Primeiro vamos resolver a equação x 2

• 5x + 6 = 0 a partir da fórmula de Baskhara. As raízes são x’ = 2 e x” = 3 e o coeficiente dominante de p(x) é 1. p(x) = a 0 .(x – k 1 ).(x – k 2 ) ⇒ p(x) = 1.(x – 2)(x – 3) ⇒ p(x) = (x – 2)(x – 3)

EXEMPLO 6  (^) Mostrar que p(x) = x^3 – x^2 – 5x – 3 é divisível por x – 3. Em seguida, escrever p(x) como produto de fatores de 1º grau e identificar suas raízes. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir p(x) por x – 3. ⇒ p(x) = (x – 3)(x 2

• 2x + 1) ⇒ p(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 1)

= (x – 3)(x + 1) 2 ⇒ raízes de p(x) são 3 , –1 e –1.

EXEMPLO 1  (^) Em p(x) = –3(x + 1)^6 (x – 3)^2 (3x + 2), indicar as raízes e a multiplicidade de cada uma delas. (x + 1) 6 = 0 ⇒^ raiz^ –1^ (multiplicidade 6) (x – 3) 2 = 0 ⇒^ raiz^3 (multiplicidade 2) 3x + 2 = 0 ⇒^ raiz^ –2/3^ (multiplicidade 1)

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS  (^) No ensino fundamental, aprendemos métodos algébricos simples para resolução de equações de 1º e 2º graus.  (^) A resolução de equações de 3º grau ou grau superior, no entanto, é mais complicada. Em geral, são necessárias informações adicionais que permitem a obtenção de suas raízes.  (^) Existem algumas regras especiais que ajudam a identificar raízes inteiras ou racionais de uma equação.

EXEMPLO 3  (^) Dado o polinômio p(x) = x^5 – 6x^4 + 13x^3 – 14x^2 + 12x – 8. Identificar a multiplicidade da raiz 2. Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso. 2 1 2 5

Obtivemos resto zero nas três primeiras divisões ⇒ 2 é raiz tripla.

REGRA 1  (^) Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz inteira e não-nula, essa raiz é um divisor (positivo ou negativo) do termo independente.