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• EQUAÇÕES POLINOMIAIS
1. Definição e grau de uma equação polinomial
É um polinômio igualado a zero.
Exemplos
A equação é de 3° grau. Os números , , e são os coeficientes da equação. O número é o coeficiente líder. O número é o termo independente.
A equação é de 4° grau. Os números , , , e são os coeficientes da equação. O número é o coeficiente líder. O número é o termo independente.
2. Raiz, zero ou solução de uma equação polinomial
É um valor de que satisfaz a equação.
Exemplos
• O número é raiz da equação. Pois substituindo por , obtemos.
• O número é raiz da equação. Pois substituindo, obtemos.
• O número NÃO é raiz da equação. Pois substituindo por ,
obtemos.
3. Conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação
polinomial
É o conjunto formado por todas as raízes da equação. Resolver uma equação polinomial significa determinar todas as suas raízes, ou seja, determinar o seu conjunto solução.
Exercícios de Aula
1) Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
2) Verifique se é raiz da equação.
3) Verifique se é raiz da equação.
OBSERVAÇÕES
O grau da equação polinomial determina quantas raízes ela possui.
Duas equações polinomiais são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
4. Extração de uma raiz de uma equação polinomial através da
redução de seu grau
Devemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para diminuir o grau e deixar a equação com uma raiz a menos.
Exercícios de Aula
4) Resolver a equação sabendo que é uma de suas raízes.
5) Resolva sabendo que é uma de suas raízes.
6) Resolva a equação , sabendo que e são duas de suas raízes.
7) Os números e são duas raízes da equação , em que ,. Determine
os valores de e.
OBSERVAÇÃO
Um polinômio , de coeficiente líder , grau e raízes , , , ..., pode ser decomposto como um produto de fatores do primeiro grau:
Exercício de Aula
8) (Unit) Na decomposição do polinômio em fatores do 1º grau, um
dos fatores é. Um outro fator dessa decomposição é:
a)
b)
c)
d)
e)
5. Multiplicidade de uma raiz
É o número de vezes que um valor de é raiz de uma equação polinomial.
Raiz com multiplicidade 1F 0 E 0Raiz simples. Raiz com multiplicidade 2F 0 E 0Raiz dupla. Raiz com multiplicidade 3F 0 E 0Raiz tripla.
Exercícios de Aula
9) Resolva a equação , sabendo que é raiz dupla.
10) Resolva a equação , sabendo que é raiz tripla da equação.
11) Verifique qual a multiplicidade da raiz , na equação.
12) Considerando a equação , qual é a multiplicidade da raiz?
6. Relações de Girard
Equação de 2° grau
a) Soma das raízes:
b) Produto das raízes:
Equação de 3° grau
a) Soma das raízes:
b) Soma dos produtos das raízes duas a duas:
c) Produto das raízes:
Se um número complexo () é raiz de uma equação polinomial de COEFICIENTES REAIS, então o seu conjugado também é raiz dessa equação.
OBSERVAÇÕES
• O número de raízes complexas de uma equação polinomial de
coeficientes reais é sempre par.
• Uma equação polinomial de coeficientes reais e grau ímpar possui
(pelo menos) uma raiz real.
Exercícios de Aula
22) Resolva a equação , sabendo que é uma de suas raízes.
23) (FUVEST) Consideremos a equação , em que e são números reais.
O número é uma raiz dessa equação. Calcule, então, e.
24) Resolva a equação , sabendo que é uma de suas raízes.
25) Resolver a equação , sabendo que é uma de suas raízes.
26) Qual é o menor grau de uma equação polinomial de coeficientes
reais que admite , e como raízes?
27) Qual é o menor grau de uma equação polinomial de coeficientes
reais que admite os números como raiz tripla, como raiz dupla e 5 como raiz simples?
8. Raízes Irracionais
Se um número irracional é raiz de uma equação polinomial de COEFICIENTES RACIONAIS, então o seu “conjugado” (fator racionalizante) também é raiz dessa equação.
OBSERVAÇÕES
• O número de raízes irracionais de uma equação polinomial de
coeficientes racionais é sempre par.
• Uma equação polinomial de coeficientes racionais e grau ímpar
possui (pelo menos) uma raiz racional.
Exercício de Aula
28) Qual o menor grau de uma equação polinomial de coeficientes
inteiros que admite a raiz , com multiplicidade 3?
9. Pesquisa das raízes racionais
Se uma equação polinomial de COEFICIENTES INTEIROS , com , admitir uma raiz racional, ela terá a forma (com , inteiros e primos entre si), onde é divisor de e é divisor de.
OBSERVAÇÕES
• Se , então as possíveis raízes racionais da equação são inteiras e
são divisores de.
• Se = 1, então as possíveis raízes racionais da equação são –1 e 1.
Exercícios de Aula
29) Quais as raízes racionais de?
30) Quais as raízes inteiras de?
10. Teorema de Bolzano
Se uma função contínua , definida em um intervalo , tal que e (ou vice-versa), então existe um número , tal que , ou seja, é raiz da função.
OBSERVAÇÕES
Suponha um polinômio , definido em um intervalo , onde :
• Temos um número ímpar de raízes reais no intervalo se, e somente
se,.
• Temos um número par de raízes reais (incluindo a possibilidade de
não existir nenhuma raiz real) no intervalo se, e somente se,.
Exercício de Aula
31) Determine real, de modo que a equação possua um número ímpar
de raízes reais entre e.
