Baixe Escoamento Laminar e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
I. INTRODUÇÃO :
Esta experiência visa o estudo de escoamentos em regime laminar de um fluido em conduto cilíndrico horizontal e as grandezas ou efeitos envolvidos. Deste modo analisaremos as perdas de carga distribuída ocorridas ao longo de uma tubulação para diversas vazões através da construção de gráficos das linhas piezométricas e de energia. O estabelecimento do regime laminar foi feito tal como a experiência de Reynolds, ou seja, com a injeção de um líquido colorido em qualquer ponto da secção de entrada de modo que este formasse um filete reto ao longo do conduto.
II. OBJETIVOS :
Este trabalho tem como seu principal objetivo o estudo do escoamento de um fluido (água) em um tubo de vidro em regime laminar. Para isto, iremos: -Traçar a linha piezométrica e a de energia para cada vazão, indicando a perda de carga; -Determinar a perda de carga distribuída em função da vazão ( hf = hf (Q) ); -Traçar o gráfico de f = f (Re) em papel dilog; -Traçar o diagrama de velocidades para a instalação do laboratório e determinar a velocidade máxima, sendo o número de Reynolds igual a 1000.
III. FUNDAMENTOS TEÓRICOS :
Escoamento laminar é definido como aquele no qual o fluido se move em camadas (lâminas), uma escorregando sobre a adjacente havendo somente troca de quantidade de movimento molecular. Qualquer tendência para instabilidade ou turbulência é amortecida por forças viscosas de cisalhamento que dificultam o movimento relativo entre camadas adjacentes. No escoamento turbulento as partículas fluidas estão dotadas de agitação turbulenta, e possuem componentes transversais à corrente principal. Osborne Reynolds, estudando a semelhança entre os dois escoamentos, descobriu que o adimensional ρVD/μ (onde ρ é a massa específica, V a velocidade característica, D um comprimento característico e μ a viscosidade) deveria ser igual para caracterizar dois escoamentos dinamicamente semelhantes. Reynolds injetou na corrente líquida transparente um filete de líquido colorido e de mesma densidade na seção de entrada do conduto de vidro circular horizontal. Para vazões pequenas o filete de tinta era uma linha reta em todo o tubo, indicando regime laminar. Com o aumento da vazão, ou seja da velocidade do fluido, o adimensional, hoje denominado número de Reynolds, aumenta e chega-se a uma condição onde o filete de tinta ondula e subitamente desaparecia, difundindo-se totalmente no tubo. Neste caso, há o rompimento do movimento ordenado do escoamento laminar devido ao violento intercâmbio da quantidade de movimento, tornando-se turbulento. Em tubulações industriais, quando o número de Reynolds é inferior a 2000, considera-se escoamento laminar. Analisaremos a seguir um escoamento laminar em um tubo cilíndrico. Consideremos as seguintes hipóteses: -escoamento isotérmico, laminar, permanente e dinamicamente estabelecido; -fluido incompressível; -tubo horizontal de secção constante e propriedades uniformes;
-ausência de máquinas e singularidades no sistema. Sejam as seções 1 e 2 do tubo:
Figura 01: Trecho da tubulação.
Da equação da continuidade: Q 1 = Q 2 ==> ρV 1 S 1 = ρV 2 S 2 ==> V 1 = V 2 onde: Q - vazão em massa; V - velocidade média; S - área da secção.
Aplicando a equação de Bernoulli entre as secções 1 e 2: H H Q
1 2 V dV H H VC
− = m ⋅
(^1) ⋅ (^) ∫ (^1) ⋅ ⋅ ⋅ − + 2
(^2) 1 2
t
onde: H 1 - carga total média em 1; γ - peso específico do fluido; H 2 - carga total média em 2; ρ - massa específica do fluido; H m - carga devido à máquina; V - velocidade; ΔH1,2 - perda de carga entre as secções.
Pelas hipóteses, não temos máquina e o regime é permanente. Deste modo, teremos: H 1 - H 2 = ΔH1, H P^ V g
1 1 1 1 z
2 1 2
α ( ) H P V
g
2 2 2 2 z
2 2 2
onde: p 1 - pressão estática em 1; α 1 - coeficiente da energia cinética em 1; p2 - pressão estática em 2; α 2 - coeficiente da energia cinética em 2; V 1 - velocidade média em 1; z 1 - cota em 1; V 2 - velocidade média em 2; z 2 - cota em 2. g - aceleração gravitacional;
Como V 1 = V 2 , e z 1 = z 2 : Utilizando a equação do cálculo universal de perda de carga distribuída: ΔH f^ L V 2 g D
2 1 2, = ⋅^ ⋅ ⋅ ⋅ onde: ΔH1,2 = hf - perda de carga; f - coeficiente de perda de carga distribuída; L - comprimento do tubo; V - velocidade média no conduto; g - gravidade;
Com estes dados podemos traçar a linha piezométrica e de carga ou de energia. (Figura 02).
Figura 02: Distribuição dos piezômetros e as linhas piezométricas e de energia. Num escoamento laminar pode-se provar que: f 64 Re
= onde: Re - número de Reynolds.
Re = ρ⋅^ V D⋅^ = V D⋅
ΔH V D L V
2 g D
L V
2 g D
2 1 2 2 , = 64 64 ⋅ ⋅ ⋅^
= ⋅^ ⋅^ ⋅
Como ν, L, D, g são constantes, ΔH1,2 varia linearmente com a velocidade, e consequentemente com a vazão. A perda de carga distribuída também é indicada por hf.
Distribuição de velocidades : Pode ser provado que a distribuição de velocidades em um escoamento laminar obedece:
v(r) V r R
= má x − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
2
onde: V (^) máx - velocidade máxima; r - raio variável de 0 a R; R - raio do conduto.
A velocidade média é então: V 1 S
v(r)dS S
= (^) ∫ dS = r.dθ.dr S = π.R^2
V
R
v 1- r R
rd dr = v R
1- r R 2 má x rdr
R (^2) má x 2
2
⋅
⎝⎜^
(^1) ∫ ∫ 0 2 ∫ ⋅ 2 0 0
2 π
θ π
π
π π
V 2 v R
r 2
r 4 R
2 v R
R
R
v 2
má x 2
2
0
R (^4) 2 0
R má x 2
(^2 2) má x = ⋅^ − ⋅
= ⋅^ ⎡ −
O coeficiente de energia cinética será:
π = ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ =
⎣⎢^
S
v V
dS 1 S
v 1 r R v 2
dS =^1 S
r R
dS = 8 R
r R
rd dr
3
S
má x
2
S má x S^2
R 2
3 2 3 2 3 2 1 0 1
→ ⋅^ ⇒
R
r R
rdr = -^16 R
u R r
rdu = -8u
u = 1- r R
du = - 2 r R
dr dr = - R r
du
2
R 2
3 2 4
2 2 2
2
2 3 0 1
0 1
0
Portanto, α = 2.
IV. EQUIPAMENTO :
O equipamento utilizado é constituído por: (Figura 03) -um reservatório contendo água a nível constante; -um recipiente contento tinta; -uma agulha injetora de tinta; -uma tubulação de vidro horizontal de diâmetro (7,01 ± 0,05) mm; -quatro piezômetros graduados ao longo do tubo de vidro; -um registro regulador de vazão na extremidade de saída do fluido; -uma proveta; -uma régua para medir a distância entre os piezômetros.
Figura 03: Esquema do equipamento utilizado.
T - tempo gasto para recolher o respectivo volume de água.
A partir dos dados obtidos experimentalmente calculamos as vazões, a velocidade da água, a altura cinética, a perda de carga, o coeficiente f e o número de Reynolds (Tabela 03), para o levantamento dos gráficos hf = hf (Q), f = f (Re) e as linhas piezométricas e de energia (Ver Gráficos). Dados: g = 9,78622 m/s^2 ; D = (7,01 ± 0,05)10 -3^ m; ν = 10 -6^ m^2 /s; L = (363.90 ± 0,09)10-2^ m; C = 64.
Cálculo da Vazão Q:
Q t
σ Q = Q σ σ t t
⎝⎜^
⎠⎟^ +
⎝⎜^
Cálculo da Velocidade V:
σ V = V σQ σ
Q
S
S
⎝⎜^
⎠⎟^
(^2 ) V Q S
onde a área da seção S é dada por:
S = D
S = (7,01 10^ )
2
-3 2
σ^ σ
σ
S = 2 S D
D
S = 2 S
S = (3,86 ± 0,06) 10 -5^ m^2
Cálculo da Energia Cinética:
Ec V^ σ
2 g
2 = ⋅ ⋅
α σEc 2 Ec V
V
= ⋅ onde : α = 2
Cálculo da Carga Experimental hf:
hf = h 1 - h 4 σ h =f σh 12 +σh 42
onde: h 1 - altura manométrica em 1; h 4 - altura manométrica em 4;
Coeficiente de Perda de Carga Distribuída Experimental f:
σ f f σD σ σ σ
D
h h
L
L
V
V
f f
f 2 g D h L V
f = (^2)
Fórmula teórica da Perda de Carga hf':
h ' f ' L V 2 g D
f
2 = ⋅^ ⋅ ⋅ ⋅ onde f 'é a perda de carga distribuída teórica:
f ' 2 g D h ' L V
f = (^2)
σ f' f σD σ σ σ D
h ' h '
L
L
V
V
f f
f ' também pode ser dado por:
f ' C Re
então: h ' C Re
L V
2 g D
f
2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
h ' C^ L 2 g D
f = ⋅^ ⋅^ ⋅ 2 ⋅ ⋅
υ V σ h ' h σD σ σ D
L
L
V
V
f = f' ⎛⎝⎜ 2 ⋅ ⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
2 2 2
Número adimensional de Reynolds Re:
σ Re = Re ⎛⎝⎜ σ^ D⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜ σ ⎞⎠⎟ D
V
V
2 2 Re = V D⋅
Tabela 03 Medida Q(10-^6 m^3 /s) V(10-^3 m/s) (^) αV 2 /2g(10-^3 m) hf (10-^2 m) f(10-^2 ) Re hf' (10-^2 m) f '(10-^2 ) 1 5,00±0,11 129,5±3,4 1,71±0,09 3,20±0,07 7,2±0,4 908±25 3,14±0,10 7,0±0, 2 3,67±0,10 95,0±2,9 0,92±0,06 2,00±0,07 8,4±0,6 666±21 2,30±0,08 9,6±0, 3 2,20±0,09 57,0±2,5 0,332±0,029 1,20±0,07 13,9±1,5 400±18 1,38±0,06 16,0±1, 4 1,33±0,09 34,5±2,3 0,122±0,016 0,80±0,07 25,3±4,1 242±17 0,84±0,06 26,4±4, 5 0,80±0,09 20,7±2,3 0,044±0,010 0,40±0,07 35,1±9,9 145±16 0,50±0,06 44±
a) Gráfico 1 Linha de energia obtida pelas alturas manométricas de h 1 e h 4. Descontando da linha de energia a energia cinética α.V^2 /2.g , obtém-se a linha piezométrica. A perda de carga hf se encontra na tabela 03.
b) Gráfico 2 O gráfico da função hf = hf (Q) obtido através dos dados da tabela 03 é uma curva retilínea o que se pode ser justificado através de uma comparação com a curva de hf '= hf '(Q). Como hf ' varia linearmente com a velocidade e a área do conduto é constante, hf 'será proporcional a Q.
h ' C^ L V 2 g D
C L
2 g D S
f = ⋅^ ⋅^ ⋅ 2 ⋅ ⋅
= ⋅^ ⋅^2 ⋅Q
υ υ (^) onde C, ν, L, D, São constantes.
VII. CONSIDERAÇÕES FINAIS :
Este experimento permitiu verificar o escoamento em regime laminar em condutos forçados para Re<800, uma vez que o valor 769 foi o maior valor do número de Reynolds que registramos para que o filete de tinta permanecesse uma reta, sem turbulência aparente. Com o auxílio dos piezômetros conseguimos observar o decréscimo de carga ao longo da tubulação horizontal de vidro com o tempo para uma determinada vazão fixa. Foi possível também estudar as curvas dos gráficos hf = hf (Q), f = f(Re) e do perfil de velocidade do fluido na tubulação. No gráfico de hf = hf (Q), verificamos que a perda de carga distribuída varia diretamente proporcional à vazão em volume. Certas condições experimentais, tais como: -não ter uma boa precisão na escala de leitura dos piezômetros, visto que erros de milímetros poderiam acarretar vários erros facilmente. -dificuldade na leitura dos piezômetros, pois esses não se apresentavam muito transparentes, dificultando a determinação do menisco. -má precisão na leitura dos piezômetros que não se encontravam muito próximos da escala (régua). Prejudicaram a coleta dos dados e portanto a obtenção dos valores propostos não foram de boa qualidade. Construímos também um novo gráfico de hf = hf (Q), com a perda de carga sendo calculada pela fórmula teórica para fins de comparação. No gráfico de f = f(Re), no papel dilog verificamos que f varia inversamente proporcional ao número de Reynolds segundo uma expressão do tipo f = C/Re. Quanto ao gráfico do perfil da velocidade, obtivemos uma parábola também segundo às nossas expectativas visto que a equação geral é do segundo grau.
BIBLIOGRAFIA :
-Streeter, Victor Lyle / Evan Benjamin, Wylie; Mecânica dos Fluidos; 7ª ed.; McGraw Hill; São Paulo; 1982.
-Fox, Robert W. / McDonald, Alan T.; Introdução à Mecânica dos Fluidos; 3ª ed.; Ed. Guanabara S.A.; 1988.
-Bydlowski, Jayme/ Nagata, Minoro/ Tavares, Miriam/ Oliveira Jr., Silvio de; Guia de Laboratório - Mecânica dos Fluidos; Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
