Introdução à Mecânica dos Fluidos: Escoamento em Dutos, Trabalhos de Mecânica dos fluidos

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ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES

EM DUTOS

Curso de Extensão para a

Companhia de Gás do Estado do Rio Grande do Sul - SULGÁS

Prof. Sidney Stuckenbruck, Ph.D

Porto Alegre 13-14 de Abril de 2012

ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES

EM DUTOS

Curso de Extensão para a

Companhia de Gás do Estado do Rio Grande do Sul - SULGÁS

Prof. Sidney Stuckenbruck, Ph.D [email protected]

Porto Alegre

13-14 de Abril de 2012

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A ciência da mecânica dos fluidos envolve a compreensão dos seguintes tópicos:

! Propriedades de fluidos

! Aplicações das leis básicas da mecânica

! Aplicações das leis da termodinâmica

! Análises de experimentos

Dimensões e Unidades

Dimensão é a medida pela qual uma variável física é expressa quantitativamente. Unidade é a forma particular de atribuir um número à dimensão. Portanto, comprimento é uma dimensão associada com variáveis tais como diâmetro, comprimento e espessura, enquanto metro e milímetro são unidades numéricas para expressar comprimento. Em mecânica dos fluidos, utilizam-se somente quatro dimensões primárias, das quais todas as outras podem ser derivadas. Essas dimensões e suas unidades estão indicadas na Tabela 1 para o Sistema Internacional (Sistème International d’Unités), SI, e Britânico (British Gravitational Units), BG. Todas as outras variáveis podem ser

expressas em termos de {M}, {L}, {T} e { 2 }. Por exemplo, a dimensão de força é obtida

a partir da segunda lei de Newton,

Logo, {F}= {MLT }. Portanto, definimos a unidade de força (newton) como,-

Tabela 1: Dimensões primárias e unidades nos sistemas SI e BG Dimensão primária Unidade SI Unidade BG Fator de conversão massa {M} kilograma (kg) slug 1 slug= 14,5939 kg comprimento {L} metro {m} pé {ft} 1 ft= 0,3048 m tempo {T} segundo {s} segundo {s} 1 s= 1 s temperatura { 2 } Kelvin {K} Rankine {ºR}^ 1K = 1,8 ºR

Fluido

Fluido é uma substância que se deforma continuamente quando sujeito a uma tensão cisalhante, não importando quão pequena seja. Uma força cisalhante é a componente da força, atuando tangencialmente a uma superfície. Na Fig. 1 uma substância é colocada entre duas longas placas paralelas e próximas uma da outra. A placa inferior é fixa enquanto uma força F é aplicada na placa superior. Quando a força causa o deslocamento da placa superior conclui-se que a substância entre as placas é um fluido. A experiência mostra que o fluido em contato imediato com as placas mantém a velocidade deslas. Experimentos indicam que, mantidas outras quantidades constantes, a

tensão cisalhante J é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade transversal, ou

seja, à taxa de deformação angular do fluido,

Figura 1: Distribuição de velocidade entre placas paralelas

A constante de proporcionalidade : é denominada viscosidade absoluta do fluido, e a

Eq. (3), a lei de Newton para a viscosidade.

Viscosidade

Em muitos problemas de escoamento a razão entre a viscosidade absoluta e a massa

específica : / D é encontrada, sendo definida como viscosidade cinemática <,

Figura 2: Viscosidade dinâmica em função da temperatura para alguns fluidos.

Velocidade e Aceleração

A solução de problemas em mecânica dos fluidos envolve a determinação de variáveis e propriedades do fluido em função da posição e do tempo. Ao contrário da mecânica dos sólidos, raramente existe interesse nas trajetórias individuais das partículas. Determinar o campo de velocidade V(x,y,z,t) constitui um problema central da mecânica dos fluidos. Em geral, a velocidade é uma função vetorial, com três componentes u, v, w nas direções i, j, k do sistema de coordenadas, cada uma definida por um campo escalar, função de x,y,z,t; i.e.,

Por outro lado, a aceleração é igualmente uma variável fundamental, uma vez que está associada à força por meio da segunda lei de Newton. A aceleração é obtida da derivada total da velocidade, Eq. (6),

Mas, o deslocamento local de uma partícula está relacionado com as componentes da velocidade,

Combinando essas duas equações obtém-se,

O primeiro termo no lado direito é denominado aceleração local , que é nulo num regime permanente. Os três últimos são chamados de aceleração convectiva , que aparece quando a partícula desloca-se por uma região com velocidade variável, como num bocal convergente. Pode-se escrever a Eq. (9) numa forma compacta utilizando algumas propriedades da análise vetorial. A aceleração convectiva pode ser escrita como o produto escalar da velocidade V com o operador gradiente,

Figura 2b: Variação de temperatura por um balão em ascensão

Figura 3: Velocidade através de uma superfície arbitrária.

Energia do Sistema

A energia de um sistema é composta de todas as formas comumente entendidas de energia, tais como cinética, potencial e elétrica. Na maioria dos problemas de mecânica dos fluidos, admite-se que energias devidas aos efeitos elétricos, magnéticos e de tensão superficial, por exemplo, são desprezíveis. Desta forma, a energia total por unidade de massa atuando num sistema fluido é usualmente composta de três partes: energia interna (molecular), energia cinética e energia potencial , assim representada,

A energia interna û é função da pressão e temperatura para uma substância pura simples, enquanto as energias cinética e potencial são propriedades cinemáticas.

Gases a pressões moderadas para alta não se comportam como ideais e são denominados gases reais. Nesses casos, a equação de estado é escrita incluindo-se o fator de compressibilidade Z , que representa o desvio da idealidade do gás. Logo,

Z varia com a pressão e temperatura e pode ser medido e tabulado para cada gás, ou deduzido teoricamente.

Líquidos

Líquidos são praticamente incompressíveis e apresentam um único, aproximadamente constante, calor específico. Portanto, uma relação de estado idealizada para líquidos é

Nas condições padrão ( p= p atm e T = 20º C), os valores para água: D = 998,2 kg/m^3

e cp = 4180 J/kg-K. A massa específica de líquidos decresce ligeiramente com a temperatura, crescendo moderadamente com a pressão.

Densidade Relativa

Outra variável freqüentemente utilizada em engenharia é a densidade relativa , (, que é a

razão da massa específica do líquido para a massa específica da água (no caso de líquidos) nas condições padrão. Gases utilizam o ar como referência para cálculo da densidade

relativa. Na indústria de petróleo, é comum expressar a densidade relativa do óleo, ( o , em

termos do grau API (American Petroleum Institute) pela fórmula,

Por exemplo, um óleo API 32 possui uma densidade ( o =141,5/(131,5+32)= 0,

(portanto, massa específica D o = 0,865×998,2 = 863,4 kg/m.^3

FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

Distribuição de Pressão Hidrostática

Se o fluido encontra-se estacionário, ou com velocidade constante referida a um referencial, então a condição de equilíbrio de forças reduz-se à distribuição hidrostática,

A Fig. 4 mostra um sistema de coordenadas para representar a distribuição de pressão num meio líquido estacionário. Neste caso, utiliza-se a coordenada-z apontando para cima da superfície terrestre, portanto, contra a ação da gravidade, e origem na interface gás-líquido. As coordenadas x e y encontram-se num plano paralelo à interface. Pode-se escrever para o vetor g ,

onde g é o valor da gravidade local. Desta form a obtém-se as seguintes equações para a pressão,

As duas primeiras indicam que p é independente de x e y (plano paralelo à superfície livre). Portanto, a distribuição de pressão é dada pela integral da terceira equação, ou

necessárias para resolver problemas comuns, envolvendo transferência de energia através de fluidos, destacam-se as leis de conservação de massa, de quantidade de movimento linear e de energia. Para um grande número de problemas de escoamento, especialmente em dutos, é conveniente escrever as equações fundamentais de conservação para uma certa região nas vizinhanças do objeto ou equipamento em estudo. Este ponto de vista do analista (ou projetista) sugere a necessidade de uma análise para um volume de controle. A transformação de referências é possível através de uma fórmula de conversão de sistema para volume de controle. A fórmula difere ligeiramente, dependendo se o volume de controle é fixo, deformável ou se encontra em movimento. A Fig. 5 ilustra essas três situações. O volume de controle fixo mostrado na Fig. 5a envolve uma região estacionária de um bocal. Destaque-se que a superfície de controle é um conceito abstrato que não intercepta o escoamento de forma alguma. No caso particular, o volume de controle expõe as tensões nos parafusos do flange que contribui para as forças atuando sobre o fluido (o sistema). A Fig. 5.b ilustra um volume de controle em movimento. Aqui o para-quedas é o objeto de interesse, não o ar, de forma que a superfície de controle acompanha o para- quedas na mesma velocidade deste. Se a velocidade for constante, o movimento relativo tem o padrão de regime permanente, o que simplifica o estudo. Por último, a Fig. 5c mostra um volume de controle deformável. Movimentos relativos nos contornos tornam-se relevantes e a taxa de variação do volume tem que ser considerada na análise.

Figura 5: Volumes de controle: a) fixo - análise de tensões num bocal; b) em movimento - análise de forças de arraste; c) deformável - análise de variação de pressão dentro de um tanque.

Relações Integrais para Volume de Controle

Conservação de Massa

Para um volume fixo,

onde D é a massa específica, ú o volume, V a velocidade do fluido, e os subscritos vc e sc

nas integrais referem-se ao volume e superfície de controle, respectivamente. Se o volume tem um número finito de entradas e saídas, e o regime for permanente,

Esta equação garante que, em regime permanente, o fluxo de massa entrando ( in ) no volume de controle é igual ao fluxo de massa saindo ( out ). Finalmente, se o fluido for

incompressível (D= constante), os fluxos volumétricos (vazões) de entrada e saída têm que

ser iguais,

Conservação de Quantidade de Movimento

Para um volume fixo,

O termo referente à integral de superfície nesta equação é denominado fluxo de quantidade de movimento. De novo, para regime permanente e um número finito de entrada e saídas, a equação reduz-se a

como válvulas, curvas, expansões, etc.

Para massa específica constante (D 1 = D 2 = D), a equação simplifica-se para,

Para perdas ao longo de dutos, é usual utilizar-se a clássica equação de Darcy- Weisbach para w , i.e.,f

onde f é o coeficiente de atrito de Darcy (função do número de Reynolds e da rugosidade relativa), L a distância entre as duas seções, e D o diâmetro interno do duto. Deve ser lembrado que w s foi definido acima como,

onde a representa a energia total transferida por unidade de tempo (potência). Para o

sistema SI, a unidade de é J/s= watt e de w é m /s = J/kg= watt-s/kg. s^2

A Equação de Bernoulli

Uma equação muito útil na solução de problemas de escoamento pode ser obtida para fluido não-viscoso, sem perdas e sem trabalho atuando sobre ou pelo sistema. Neste caso, para regime permanente, a integral da equação de quantidade de movimento ao longo de uma linha de corrente produz a consagrada equação de Bernoulli,

A equação estipula que a soma das energias por unidade de massa devido à pressão, à energia cinética e ao potencial gravitacional, mantém-se constante ao longo da linha de corrente. Portanto, para dois pontos quaisquer ao longo da linha de corrente de um fluido

incompressível,

Ou seja, a equação de Bernoulli é mais restritiva do que a equação da energia, não devendo ser aplicada entre pontos onde perdas de energia por atrito possam ser significativas, nem quando qualquer forma de transferência de energia ocorre, como por turbina, bomba ou compressor.

Linha Piezométrica e Linha de Energia

Uma interpretação gráfica para a equação de energia pode ser útil na análise dos diversos termos que a compõem. Para tanto divide-se a Eq. (38) por g. Todos os termos passam a representar alturas , ou energia por unidade de peso (e não de massa) [J/kg-m/s^2 = N-m/kg-m/s = m]. A equação assume então a forma,^2

onde h = W /g s s e h = W /gf f representam, respectivamente, a altura correspondente ao trabalho realizado pelo fluido, e a perda de altura devido ao atrito viscoso entre 1 e 2. A linha de energia (LE) representa a altura da energia total, ou da constante de

Bernoulli, h = o z + p/Dg + V /2g^2. Para escoamento não-viscoso, sem trabalho e

transferência de calor, a LE mantém uma altura constante. A linha piezométrica (LP), também denominado gradiente hidráulico , representa a altura correspondente à elevação

local mais a altura de pressão z + p/Dg ; isto é, a linha de energia menos a altura de

velocidade V /2g^2 (energia cinética). A linha piezométrica é altura que o fluido subiria num piezômetro conectado ao escoamento. A Fig. 6 ilustra a LE e a LP para um escoamento sem atrito entre dois pontos 1 e 2

num duto. Os tubos piezométricos medem a altura de pressão estática z + p/ D g ; ou seja,

a LP. Os tubos de pitot medem as alturas de pressão correspondentes às velocidades de