Baixe Esforcos Combinados e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Índice
2.2. Efeitos combinados da força axial e da flexão (Formula de Navier Generalizada)
- Introdução
- Esforços Combinados
- 2.1. Caraterísticas dos Esforços Combinados
- 2.2.1. Determinação de tensões principais
- 2.2.2. Determinação de linha neutra
- 2.3. Flexão Obliqua
- 2.3.1. Efeitos combinados da flexão e a torsão
- 2.4. Determinação dos deslocamentos
- 2.4.1. Passos a seguir para usar fórmula de Mohr
- 2.5. Critérios de desenho e revisão
- 2.6. Noção de problemas hiperstaticos
- Critérios de Resistência
- 3.1. Critério de máxima tensão normal (RANKINE e LAMÉ)
- 3.2. Critério da deformação linear (PONCELET e SAINTVENANT)
- 3.3. Critério da máxima tensão cortante (TRESCA)
- 3.4. Critério da máxima energia de distorção (von MISES)
- 3.5. Critério de MOHR-COULOMB
- Considerações Finais
- Referenciais Bibliográficas.....................................................................................
- ANEXO
1. Introdução
Até este momento já estudamos três tipos de solicitações simples em uma barra, estes são: tração ou compreensão, momento fletor e cortante. Em todos estes casos, na secção transversal da barra a ação das cargas, se analisa somente uma força interior (força axial, cortante, momento fletor ou momento torsor). Na flexão transversal plana, e nas secções da barra, surgem simultaneamente duas forcas interiores (momento fletor e cortante), por onde as tensões normais produzidas pelo momento fletor são máximas, as tenções tangenciais causadas por esforços pela cortante são nulas e vice-versa, por isso que se analisa a cortante e o momento fletor por separado.
O presente trabalho surge no âmbito da avaliação da cadeira de Resistência dos Materiais, do curso de Licenciatura em Engenharia Civil na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Zambeze. Este foi levado a cabo por um grupo de estudantes do curso supracitado, e tem como pano de fundo ou tema, Esforços Combinados e Critérios de Resistência, e tem como objetivos elevar o espirito investigador dos estudantes, o trabalho poderá servir como um potencial referencial nas futuras pesquisas académicas feitas por estudantes ou pela comunidade em geral.
Dada a importância do trabalho, para assegurar as veracidades dos conteúdos aqui expostos, foi privilegiada a metodologia de pesquisa bibliográfica e pesquisas já feitas sobre o mesmo tema em forma de documentos escritos, os mesmos estão devidamente citados nas referências bibliográficas, caso o leitor ache necessário aprofundar a leitura de forma mais detalhada.
Na verdade, na prática existem casos muito mais complicados que o citado acima, por exemplo quando numa secção transversal atuarem simultaneamente varias forças interiores que se devem considerar em conjunto durante os cálculos, estamos falando da combinação de três ou mais forcas interiores numa única estrutura.
Da figura 1 temos que, no plano há dois eixos e consequentemente um plano. Desta forma, existem duas forças (cisalhamento e axial) e um momento. No espaço há três eixos e três planos e, desta forma, existem três forças (duas de corte e uma axial) e três momentos (duas dobras e uma torção).
2.2.Efeitos combinados da força axial e da flexão (Formula de Navier Generalizada)
A seguir podemos observar uma barra solicitada por uma força axial e momento fletor em 𝑋 e em 𝑌. Por baixo de cada barra está as expressões para calcular as tensões normais para cada caso.
Se as três solicitações atuarem em simultâneo e com isso aplicarmos o principio de superposição.
Figura 1: Esforços
Então se tem: 𝜎 = 𝑁𝐴 + 𝑀 𝐼𝑥𝑥 𝑦 + 𝑀 𝐼𝑦𝑦 𝑥 ⟹(Formula de Navier Generalizada)
𝑁 – Força axial que tem na secção onde vai se calcular 𝜎;
𝐴 – Área da secção transversal;
𝑀𝑥 – Momento fletor em que x que tem na secção onde vai se calcular 𝜎;
𝐼𝑥 – Inercia da secção transversal a respeito desse x ;
𝑌 – Distância do centro ao ponto de onde se vai calcular 𝜎, medida no eixo y ;
𝑀𝑦 – Momento fletor em y que tem na secção onde se vai calcular 𝜎.
𝐼𝑦 – Inercia da secção transversal a respeito do eixo de y ;
𝑋 – Distância do centro ao ponto que se vai calcular 𝜎, a medida no eixo x.
Para definir os sinais é importante definir qual é o primeiro quadrante. Se sugere utilizar um sentido ou um primeiro quadrante no qual não coincide com o da matemática, por ser geralmente conveniente e empregue para os momentos fletor se esclarece que realmente se pode tomar como primeiro quadrante qualquer dos 4, mas se recomenda usar um permanente.
Definido o primeiro quadrante os momentos (𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦), serão positivos, se tracionar esse primeiro quadrante e negativo se comprimir. As coordenadas nos mesmos sempre serão positivas, então usar o representado abaixo e “ x ” é positivo para a direita e “ y ” para baixo. O axial ira com seu sinal tradicional usando (+), a tração e (-) na compreensão. Os valores de A , Ix, Iy, sempre serão positivos por ter/ser características geométricas.
Então se procede ao cálculo do angulo forma com a horizontal (beta), que se torna positivo se é medido a favor do sentido horário (saindo da horizontal ate a linha neutra), e negativo quando é medido contra o ponteiro do relógio (igualmente saindo da horizontal).
𝜎 = 𝑁𝐴 + 𝑀 𝐼𝑥𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑀 𝐼𝑦𝑦 𝑥 = 0 então 𝑦𝑥 = − 𝑀 𝐼𝑦𝑦 ∗ (^) 𝑀𝐼𝑥𝑥
Caso de tração ou compreensão excêntrica quando a carga axial se encontra aplicada fora do centroide na secção transversal, se translada a mesma ao centro e se colocam momentos que geram esse movimento. Então se esta no mesmo caso anterior da secção combinada de axial com um ou dois momentos fletores, empregando-se igualmente a expressão de Navier generalizada. E isso se representa abaixo:
𝑀𝑥 = 𝑃 ∗ 𝑦𝑝; 𝑀𝑦 = 𝑃 ∗ 𝑥𝑝; 𝑁 = 𝑃
Já foram desenvolvidos métodos para determinar as distribuições de estresse em um membro submetido a carga axial interna, força de cisalhamento, momento de flexão ou momento de torção. No entanto, a seção transversal de um membro geralmente está sujeita a vários desses tipos de cobranças simultaneamente e, consequentemente, o método de sobreposição, se aplicável, pode ser usado para determinar a distribuição resultante do estresse causado pelas cargas. Em aplicações, primeiro a distribuição do estresse devido a uma carga é determinada e, em seguida, essas distribuições são superpostas para determinar a distribuição resultante do estresse. Existem quatro combinações possíveis de cargas: (1) axial e dobrada, (2) axial e torção, (3) torção e flexão, e (4) axial, torção e flexão. Começará pelo caso (1) combinação de estresse axial e de flexão, uma vez que é o mais simples como os esforços normais intervêm σ. Em todos os outros casos, envolve esforços normais e nítidos, o que requer mais estudos.
2.3.Flexão Obliqua
A flexão oblíqua aparece quando as cargas que atuam sobre o elemento estão contidas em um plano que inclui o eixo longitudinal, mas a este não pertencem os eixos principais de
inércia da secção, ou seja, a barra de cargas transversais aplicadas no centroide, a sua direção para ele, (mas não longitudinalmente que provoquem o axial) e que não
coincidem com nenhum dos dois eixos principais de inércia da secção transversal. Isso se ilustra na figura abaixo.
A carga que produz a flexão obliqua se decompõe em duas, de forma que coincidam com os dois eixos principais da inércia. Dai em diante a solução do problema é similar a quando atuam dois momentos fletores e se emprega a expressão que se segue para o cálculo das tensões:
𝑥
𝑦
2.3.1. Efeitos combinados da flexão e a torsão
2.3.1.1.Critérios de Resistência
A torção fletora é o fenómeno da qual de forma simultânea atuam momentos fletores e torsões na secção transversal de um elemento.
Para a análises da torção há que diferenciar se a secção transversal é de forma circular ou não.
2.3.1.2.Análises para determinação de 𝝈 e 𝝉 em secções Retangulares com Flexão em um só plano, existe ou não axial σ = 𝑁𝐴 + 𝑀𝑊
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑊𝑡𝑜𝑟𝑝 ou 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑀 𝑊𝑡𝑜𝑟𝑝. ɳ
𝑊𝑝 = 𝛼 × 𝑎 × 𝑏^2
2.3.1.4.Critérios de Resistência
A torsão fletora origina estados tensionais complexos e não é possível comparar as tensões normais máximas com a permissível, já que a experiência tem demostrado que embora as tensões 𝜎 1 , 𝜎 2 e 𝜎 3 não tenham alcançado seu valor limite (cada uma por separada é menor que a tensão permisivel ), porém a combinação das três pode fazer falhar a estrutura.
Obter mediante ensaios o estado biaxial ou triaxial perigoso não é fácil, pelo que surgem os Critérios de Resistência. Todos perseguem o mesmo objetivo, a busca da tensão equivalente ( 𝜎𝑒𝑞 ), deste estado combinado, com um da tracção axial e se compara com a tensão permissível da referida tração axial.
Os critérios de resistência que será representado aqui é o terceiro e o quinto.
O terceiro critério é dado por:
𝜎𝑒𝑞 = 𝜎 1 − 𝜎 3
𝜎𝑒𝑞 = √𝜎^2 + 4. 𝜏^2 ≤ [𝜎]
O quinto critério é dado por:
𝜎𝑒𝑞 = √𝜎^2 + 3. 𝜏^2 ≤ [𝜎]
2.4.Determinação dos deslocamentos
No plano existem dois eixos e um plano. Desta forma há duas forças (cortante e axial) e um momento. Para determinar os deslocamentos usando a forma de Mohr se tem:
∆𝑘𝑚 = ∑ ∫ 𝑀𝑘 𝐸. 𝐼^. 𝑀𝑚
𝑙
0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑉𝑘 𝐺. 𝐴^. 𝑉𝑚
𝑙 𝜇 0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑁𝑘 𝐸. 𝐴^. 𝑁𝑚
𝑙
0
No espaço existem 3 eixo e 3 planos e desta forma há 3 forças (2 cortantes e uma axial) e 3 momentos (2 fletores e 1 torsor). Para determinar os deslocamentos usando a fórmula
de Mohr, considerando o eixo Z como o longitudinal (ou seja, o axial e o 𝑀𝑡𝑜𝑟 são desse eixo), então ficaria:
∆𝑘𝑚 = ∑ ∫ 𝑀𝑘𝑥 𝐸. 𝐼^. 𝑀𝑚𝑥
𝑥
𝑙
0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑀𝑘𝑦 𝐸. 𝐼^. 𝑀𝑚𝑦
𝑦
𝑙
0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑀𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐺. 𝐼^. 𝑀𝑚𝑡𝑜𝑟
𝑝
𝑙
0
𝑙
0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑉𝑘𝑥 𝐺. 𝐴^. 𝑉𝑚𝑥
𝑙 𝜇 0
𝑑𝑙 + ∑ ∫ 𝑉𝑘𝑦 𝐺. 𝐴^. 𝑉𝑚𝑦
𝑙 𝜇 0
O quinto e o sexto termos têm valores desprezíveis, porque de comum não se consideram. Segundo se a força axial tem um valor considerável se usa o quarto término.
∆𝑘𝑚 ∶ Deslocamento linear e angular de um ponto K devido a acção das cargas externas Pm;
𝑃𝑘 : carga unitaria quando se calcula o deslocamento lenear;
𝑀𝑘 : Momento unitário quando se calcular o deslocamento angular;
𝑀𝑘𝑥 𝑒 𝑉𝑘𝑥 : ações interiores no eixo X devido a aplicação de 𝑃𝑘 ou 𝑀𝑘;
𝑀𝑘𝑦 𝑒 𝑉𝑘𝑦 : ações interiores no eixo Y devido a aplicação de 𝑃𝑘 ou 𝑀𝑘;
𝑁𝑘 𝑒 𝑁𝑚: força axial devido a aplicação de 𝑃𝑘 e 𝑃𝑚 respetivamente;
𝑀𝑚𝑥 𝑒 𝑉𝑚𝑥 : ações interiores no eixo X devido a aplicação de 𝑃𝑚;
𝑀𝑚𝑦 𝑒 𝑉𝑚𝑦: ações interiores no eixo Y devido a aplicação de 𝑃𝑚;
𝐸. 𝐼 : rigidez da secção transversal e a flexão;
𝐸. 𝐴 : rigidez ao afeito longitudinal produzido pelas forças axiais;
𝐺. 𝐴 : rigidez ao afeto transversal produzido por forças cortanes;
Corresponde com o maior valor medularmente entre
Para obter 𝜎𝑚𝑎𝑥 em secções simétricas os três termos da equação de Navier generalizada sempre se adicionam pelo que se pode calcular de forma direta somando os mesmos, sem determinar previamente
2.6.Noção de problemas hiperstaticos
Neste caso de espaço, para determinar GH:
O encastramento equivale a seis secções, três esforços e três momentos. A articulação equivale a três reações, três forcas. O apoio simples equivale a uma reação no sentido do mesmo, uma forca.
Para se utilizar o método das forcas, os passos a seguir são similares aos casos de Axial e Flexão só diferenciando-se as expressões para determinar os coeficientes e os termos independentes.
3. Critérios de Resistência
Os podem encontrar se sob diferentes estados mecânicos, dependendo das solicitações a que são sujeitas. Em situações em que as solicitações são pequenas o material trabalha elasticamente. A mediada que as cargas vão aumentando vão aparecendo deformações residuais consideráveis que levam a uma outra classificação do seu estado, neste caso estado plástico. Se aparecem trincas locais, o material atinge o estado de rotura.
O estado mecânico num ponto, depende do estado tensional naquele ponto.
Chamam-se estado tensional limite o caso em que o material passa de um estado mecânico a outro.
Em materiais dúcteis, o estado limite é o caso em que aparecem deformações excessivas em quanto que em materiais frágeis se da com o começo da rotura.
O estado limite pode ser considerado como uma característica do material.
O estado tensional no ponto mais solicitado é comparado com o estado tensional limite do material, chegando deste forma a conclusão da segurança ou não da estrutura.
No caso de tração ou compressão uni-axial, este problema se resolve facilmente pelo ensaio do material à tração ou compressão onde se escolhe no diagrama tensão- deformação o ponto característico do estado tensional limite: Materiais dúcteis: (^) lim = esc Materiais frágeis: lim = rot
Em caso de estado triplo de tensão dado pelas tensões principais 1 2 3. Para cada combinação de 1 2 3 e para cada material tem que realizar se ensaios para determinar o estado tensional limite. Devido a infinidade de combinações é impossível se realizar o método anterior, devidas as dificuldades técnicas que surgiriam durante os ensaios.
E devido a estas dificuldades, surgiu a necessidade de se desenvolverem métodos gerais para se determinar o grau de perigo de um estado tensional quando se dispõe de um número limitado de ensaios mecânicos do material. E a estes diversos métodos são chamados de critérios de resistência.
Pode-se generalizar o conceito de coeficiente de segurança: dado um determinado estado tensional. Aumentando proporcionalmente todas as componentes de tensão, chega-se cedo ou tarde a um estado tensional limite. Então, coeficiente de segurança é o número que indica quantas vezes se deve aumentar todas as componentes do estado tensional dado para que ele se converta em um estado limite.
Se em dois estados tensionais, os coeficientes de segurança são iguais, estes dois estados são considerados igualmente perigosos.
O problema agora é determinar a que tensão de tração (ou de compressão) deverá ser submetida uma barra para que o seu estado tensional seja igualmente perigoso ao estado tensional dado. Esta tensão de tração é chamada de tensão equivalente sq.
Esta teoria fixa que só satisfazem à condição de segurança os estados de tensão representados por círculos de Mohr situados entre as paralelas AA e BB.
Em um sistema de coordenadas max x min , teremos
De acordo com esta teoria, a segurança do estado tensional é satisfeita pelos pontos no interior do retângulo, tendo como desvantagem a não consideração da influencia simultânea das tensões e
Esta teoria é aplicável a materiais frágeis (com uma das tensões principais de tração).
3.2.Critério da deformação linear (PONCELET e SAINTVENANT)
Este critério é aplicado para matérias frágeis, estabelece que a rotura de uma amostra sujeita a qualquer combinação de cargas ocorre quando a deformação normal máxima em qualquer ponto atinge a deformação limite determinada em um teste de tração simples.
Seja o elemento submetido às tensões principais e
A segurança do estado tensional normalmente é determinada por pontos no interior de um losango.
Esta teoria não é confirmada experimentalmente
3.3.Critério da máxima tensão cortante (TRESCA)
"A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da tensão limite detração, determinada no ensaio de tração simples".
Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, deslizamento devido, principalmente às tensões cortantes.
O círculo de Mohr para tração uni-axial será:
No caso geral:
eq =
Segundo este critério, se a tensão de cisalhamento atinge o valor limite, o material escoa.
3.4.Critério da máxima energia de distorção (von MISES)
Materiais dúcteis que tenham aproximadamente a mesma resistência à tração e à compressão.
Segundo a teoria, o material resiste até que a energia de distorção alcance um valor limite, constante para cada material.
Para um estado tri-axial de tensão, a densidade de energia de distorção é dada por:
𝑈 0 = 1 + 𝑣6𝐸 [(𝜎 1 − 𝜎 2 )^2 + (𝜎 1 − 𝜎 3 )^2 + (𝜎 2 − 𝜎 3 )^2 ]
Na tracção simples temos:
Igualando as duas energias, teremos:
2𝜎𝑒𝑞^2 = (𝜎 1 − 𝜎 2 )^2 + (𝜎 1 − 𝜎 3 )^2 + (𝜎 2 − 𝜎 3 )^2
ou seja,
𝜎𝑒𝑞 = √(𝜎^1 − 𝜎^2 )
Conforme podemos observar, este critério leva em conta a influência das 3 tensões principais.
No caso particular do estado plano, teremos,
𝜎^2 𝑒𝑞 = 𝜎 12 + 𝜎 32 − 𝜎 12 𝜎 32 ≫ 𝜎𝑙𝑖𝑚^2
Cuja representa-se graficamente pela da figura seguinte.
3.5.Critério de MOHR-COULOMB
Tendo uma máquina de ensaios que permita aplicar qualquer estado tensional ao corpo de prova e variar proporcionalmente todas as suas componentes.
Escolhendo-se um determinado estado tensional a aumenta simultaneamente todas as suas componentes. Mais cedo ou mais tarde o corpo de prova irá romper, seja por deformação excessiva ou rotura propriamente dita.
Pode-se traçar o maior dos 3 círculos de Mohr, considerando que o estado tensional limite não depende de 2.
Realizando outro ensaio em outro corpo de prova de mesmo material partindo de um outro estado tensional inicial e aumentando novamente as componentes de tensão até a rotura. Traça-se outro círculo de Mohr, e assim por diante. Os círculos traçados definirão um envoltório, que é única para cada material (independendo de 2 ).
