Definições e Teoremas Importantes de Espaços Vetoriais.
E. Madriz
Definição Teorema
Espaço Vetorial: Conjunto V , e um corpo F,de
vetores com soma e produto por escalar que verifica:
1. ;
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Sejam V um espaço vetorial, u um
vetor em V e l um escalar:
0u=0;
l0=0;
(-1)=-u;
Se lu=0 então l=0 ou u=0
Subespaço Vetorial: Um subconjunto W de um
espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se W
é um espaço vetorial em relação as operações de
adição e multiplicação por um escalar definidas em
V.
Se W é um conjunto de um ou
mais vetores d e um espaço vetorial
V, então W é um subespaço de V
se, e somente se: lu+v está em W,
para todo u, w em W e l um
escalar.
Combinação Linear: Dizemos que um vetor w é
uma combinação linear dos vetores se w pode ser
escrito na forma .
Se são vetores em um espaço
vetorial V, então:
a. O conjunto W de todas as
combinações lineares de é
um subespaço de V.
b. W é o menor subespaço que
contém a , no sentido que
qualquer outro subespaço
de V que contem também
contém W.
Espaço gerado: Se é um conjunto de vetores de um
espaço vetorial V, o subespaço W de todas as
combinações lineares de vetores em S é chamado de
espaço gerado por S. Denotados por
Se são dois conjuntos de vetores
em um espaço vetorial V, então o
espaço gerado por S e igual a
espaço gerado por S’, se e somente
se, cada vetor de S é uma
combinação linear dos vetores de
S’, e cada vetor de S’ é uma
combinação linear dos vetores de
S.
