espaços metricos, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Notas do Curso de SMA-343 - Espa¸cos M´etricos

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

S˜ao Carlos 2.o semestre de 2008

• 1 Introdu¸c˜ao
• 2 Espa¸cos M´etricos
  • 2.1 Defini¸c˜oes b´asicas e exemplos de espa¸cos m´etricos
  • 2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos m´etricos
  • 2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos m´etricos
  • 2.4 Distˆancia de um ponto a um subconjunto em um espa¸co m´etrico
  • 2.5 Distˆancia entre dois subconjuntos de um espa¸co m´etrico
  • 2.6 Imers˜oes isom´etricas e isometrias entre espa¸cos m´etricos
• 3 Fun¸c˜oes Cont´ınuas Definidas em Espa¸cos M´etricos
  • 3.1 Defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua em espa¸cos m´etricos e exemplos
  • 3.2 Propriedades elementares de fun¸c˜oes cont´ınuas entre espa¸cos m´etricos
  • 3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos m´etricos
  • 3.4 M´etricas equivalentes em um espa¸co m´etrico
  • 3.5 Transforma¸c˜oes lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados
• 4 Conjuntos Abertos, Fechados - Espa¸cos Topol´ogicos
  • 4.1 Conjuntos abertos
  • 4.2 Rela¸c˜oes entre conjuntos abertos e continuidade
  • 4.3 Espa¸cos topol´ogicos
  • 4.4 Conjuntos fechado
• 5 Conjuntos Conexos
  • 5.1 Defini¸c˜oes e exemplos
  • 5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos
  • 5.3 Conex˜ao por caminhos
  • 5.4 Componentes conexas
• 6 Limites
  • 6.1 Limites de sequˆencias
  • 6.2 Sequˆencias de n´umeros reais
  • 6.3 S´eries
  • 6.4 Convergˆencia e topologia
  • 6.5 Sequˆencias de fun¸c˜oes
  • 6.6 Produtos cartesianos infinitos
  • 6.7 Limites de fun¸c˜oes
• 7 Continuidade Uniforme de Fun¸c˜oes em Espa¸cos M´etricos 4 SUM ARIO´
• 8 Espa¸cos M´etricos Completos
  • 8.1 Sequˆencias de Cauchy
  • 8.2 Espa¸cos m´etricos completos
  • 8.3 Espa¸cos de Banach e espa¸cos de Hilbert
  • 8.4 Extens˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas ou uniformemente cont´ınuas
  • 8.5 Completamente de um espa¸co m´etrico
  • 8.6 Espa¸co m´etricos topologicamente completos
  • 8.7 O teorema de Baire
  • 8.8 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas
• 9 Bibliografia

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Este trabalho poder´a servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos m´etricos. Ser˜ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conte´udo acima, bem como propriedades e aplica¸c˜oes dos mesmos. As referˆencias ao final das notas poder˜ao servir como material importante para o conte´udo aqui desenvolvido.

Cap´ıtulo 2

Espa¸cos M´etricos

5.08.2008 - 1.a 7.08.2008 - 2.a

2.1 Defini¸c˜oes b´asicas e exemplos de espa¸cos m´etricos

Come¸caremos com a:

Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ao vazio. Diremos que uma aplica¸c˜ao d : M × M → R

´e uma m´etrica (ou distˆancia) em M se as seguintes condi¸c˜oes est˜ao satisfeitas:

(d1) d(x, x) = 0;

(d2) se x, y ∈ M e x 6 = y ent˜ao d(x, y) > 0 ;

(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M ;

(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M.

Observa¸c˜ao 2.1.

1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y.
2. (d3) nos diz que d(x, y) ´e um fun¸c˜ao sim´etrica nas vari´aveis x e y.
3. (d4) ´e conhecida como desigualdade triangular. Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um triˆangulo ´e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triˆangulo.

7

8 CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS M ETRICOS´

x

y

d(x, z) < d(x, y) + d(y, z) z

Com isto temos a:

Defini¸c˜ao 2.1.2 Se d ´e uma m´etrica em M ent˜ao o par (M, d) ser´a denominado espa¸co m´etrico.

Observa¸c˜ao 2.1.2 Quando n˜ao houver possibilidade de confus˜ao nos referiremos ao espa¸co m´etrico M (ao inv´es de (M, d)) deixando subentendido a m´etrica d a ser considerada.

Nota¸c˜ao 2.1.1 Se (M, d) ´e um espa¸co m´etrico, os elementos de M ser˜ao ditos pontos de M.

A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos m´etricos.

Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ao vazio. Consideremos a aplica¸c˜ao d : M × M → R dada por

d(x, y) =

0 , se x = y 1 , se x 6 = y

Afirmamos que d ´e uma m´etrica em M. De fato, as condi¸c˜oes (d1), (d2) e (d3) s˜ao verificadas facilmente e ser˜ao deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Mostremos que (d4) ocorre. Se x = z ent˜ao temos que

d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)

independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0 ). Se x 6 = z ent˜ao temos que

d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z) (∗)

independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x 6 = z segue que d(y, z) = 1 assim (*) ocorrer´a; de modo semelhante se y = z). Portanto vale (d4), ou seja, d ´e uma m´etrica em M.

10 CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS M ETRICOS´

2. Se n = 2 a m´etrica d ´e a que d´a a distˆancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, o comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo).

p

q

d(p, q)

A m´etrica d′^ nos d´a a distˆancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um triˆangulo retˆangulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).

p

q

r æ -

6

?

Y

M

d′(p, q)

A m´etrica d′′^ nos d´a a distˆancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento do maior cateto de um triˆangulo retˆangulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).

p

q

r æ - Y

d′(p, q)

Geometricamente, temos a seguinte configura¸c˜ao para as trˆes distˆancias acima:

2.1. DEFINIC¸ OES B ˜ ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC´ ¸ OS M ETRICOS´ 11

p

q

d(p, q)

d′′(p, q)

æ -

æ -

6

?

9

M

d′(p, q)

3. Se n = 2 temos o plano R^2 cujos elementos ser˜ao representados por (x, y) ou (u, v), onde x, y, u, v ∈ R.
4. Em algumas situa¸c˜oes identificamos R^2 com C, o conjunto dos n´umeros complexos por meio da correspondˆencia (x, y) 7 → x + iy, onde i^2 =. − 1.
5. Se n = 3 temos o espa¸co R^2 cujos elementos ser˜ao representados por (x, y, z) ou (u, v, w), onde x, y, z, u, v, w ∈ R.

Com isto temos a

Proposi¸c˜ao 2.1.1 Consideremos d, d′, d′′^ as m´etricas definidas no exemplo (2.1.4). Ent˜ao, para todo x, y, ∈ Rn^ temos

d′′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ n d′′(x, y).

Demonstra¸c˜ao: Observemos que para todo a, b ≥ 0 temos que: √ a + b ≤

a +

b (∗).

De fato, pois

[

a +

b]^2 = [

a]^2 + 2

a

b + [

b]^2 = a + 2

a

b + b ≥ a + b.

Portanto

a + b ≤

a +

b como afirmamos. Observemos que para todo x, y, ∈ Rn^ temos

d′′(x, y) = max 1 ≤i≤n |xi − yi|

[|a|= √ a^2 ] = max 1 ≤i≤n

(xi − yi)^2 ≤

∑^ n

j=

(xj − yj )^2

1 2 = d(x, y),

d(x, y) =

∑^ n

j=

(xj − yj )^2

1 (^2) (∗) ≤

∑^ n

j=

(xj − yj )^2 [ √ a^2 =|a|] =

∑^ n

j=

|xj − yj | = d′(x, y) e

d′(x, y) =

∑^ n

j=

|xj − yj | ≤

∑^ n

j=

max 1 ≤j≤n {|xj − yj |} = max 1 ≤j≤n {|xj − yj |}

∑^ n

j=

= max 1 ≤j≤n {|xj − yj |}.n = n.d′′(x, y)

2.1. DEFINIC¸ OES B ˜ ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC´ ¸ OS M ETRICOS´ 13

d(f, g) = sup x∈X

{|f (x) − g(x)|} ≤ sup x∈X

{|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. (∗)

Sabemos que se A e B s˜ao limitados superiormente em R ent˜ao A + B ´e limitado superi- ormente em R e sup[A + B] ≤ sup A + sup B.

Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos

d(f, g) ≤ sup x∈X

{|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup x∈X

{|f (x) − h(x)|} + sup x∈X

{|h(x) − g(x)|}

= d(f, h) + d(h, g),

mostrande que (d4) ´e verdadeira.

Deste completamos a prova que d ´e uma m´etrica em B(X; R).

Observa¸c˜ao 2.1.

1. A m´etrica definida no exemplo acima ´e denominada m´etrica da convergˆencia uniforme ou m´etrica do sup.
2. Para ilustrar, se X = [0. , 1], f, g : [0, 1] → R s˜ao dadas por f (x) = x e g(x) = x^2 , x ∈ [0, 1] ent˜ao, geometricamente, d(f, g) ser´a o comprimento da maior corda vertical unindo os pontos dos gr´aficos das fun¸c˜oes f e g (vide figura abaixo).

6

1

1

f g

?

d(f, g) = |f ( 12 ) − g( 12 )| = 12 − 122 = (^14)

x

y

(^6) +

(^12)

3. Vale observar que se X = { 1 , 2 , · · · , n} ent˜ao toda fun¸c˜ao f : X → R ser´a limitada (pois |f (x)| ≤ kf

= max 1 ≤i≤n |f (i)|, x ∈ X), ou seja, f ∈ B(X; R).

Logo podenos identificar f com a n-upla (x 1 , x 2 , · · · , xn) onde xi =. f (i), 1 ≤ i ≤ n. Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn. Neste caso a m´etrica d em B(X; R) definida no exemplo acima, induzir´a a m´etrica d′′^ em Rn, pois

d(f, g) = sup x∈X

|f (x) − g(x)| = max 1 ≤i≤n |f (i) − g(i)| = max 1 ≤i≤n |xi − yi| = d′′(x, y),

onde xi = f (i), yi = g(i), i = 1, · · · , n. Conclus˜ao, temos a seguinte identifica¸c˜ao: (B(X; R), d) = (Rn, d′′).

14 CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS M ETRICOS´

12.08.2008 - 3.a Para o pr´oximo exemplo precisaremos da:

Defini¸c˜ao 2.1.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que uma fun¸c˜ao ‖.‖ :→ R ´e uma norma em E se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao verificadas:

(n1) Se ~x ∈ E ´e tal que ~x 6 = ~ 0 ent˜ao ‖~x‖ 6 = 0;

(n2) Se λ ∈ R e ~x ∈ E ent˜ao ‖λ ~x‖ = |λ| ‖~x‖;

(n3) Se ~x, ~y ∈ E ent˜ao ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖.

Observa¸c˜ao 2.1.8 Suponhamos que ‖.‖ seja uma norma em E, espa¸co vetorial sobre R.

1. Observemos para todo ~x ∈ E temos que

‖~ 0 ‖ = ‖ 0 .~x‖ (n2) = | 0 |‖~x‖ = 0 e ‖ − ~x‖ = ‖(−1).~x‖ (n2) = | − 1 |‖~x‖ = ‖~x‖ (∗).

2. Se ~x ∈ E temos

0 = ‖~x + (−~x)‖

(n3) ≤ ‖~x‖ + ‖ − ~x‖ (∗) = ‖~x‖ + ‖~x‖ = 2‖~x‖.

Logo ‖~x‖ ≥ 0 , para todo ~x ∈ E.

3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se ~x ∈ E, ~x 6 = ~ 0 ent˜ao ‖~x‖ > 0.

Com isto temos a

Defini¸c˜ao 2.1.5 Um espa¸co vetorial normal ´e um par (E, ‖.‖) onde E ´e um espa¸co vetorial sobre R e ‖.‖ ´e uma norma definida em E.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados.

Exemplo 2.1.6 Consideremos em Rn^ as seguintes fun¸c˜oes ‖.‖, ‖.‖′, ‖.‖′′^ : Rn^ → R dadas por

‖~x‖ =.

√√ ∑n

i=

x^2 i , ‖~x‖′^ =.

∑^ n

i=

|xi|, ‖~x‖′′^ = max. 1 ≤i≤n |xi|,

onde ~x = (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ Rn. Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que as fun¸c˜oes ‖.‖′, ‖.‖′′^ acima s˜ao normas em Rn. Al´em disso ser´a deixado para o leitor a verifica¸c˜ao que ‖.‖ satisfaz as condi¸c˜oes (n1), (n2). Logo adiante mostraremos que ‖.‖ tamb´em satisfaz a condi¸c˜ao (n3) e portanto tamb´em ser´a uma norma em Rn.

Outro exemplo importante ´e

16 CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS M ETRICOS´

1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado ´e um espa¸co m´etrico (onde a m´etrica ser´a a m´etrica do exemplo acima). Neste caso diremos que a m´etrica d prov´em da norma ‖.‖. Por exemplo, as m´etricas d, d′, d′′^ de Rn^ prov´em das normas ‖.‖, ‖.‖′, ‖.‖′′, respectiva- mente (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ao destes fatos). De modo semelhante temos que a m´etrica

d(f, g) = ‖f − g‖

definida em B(X; R) (onde a norma ‖.‖ ´e a do exemplo (2.1.7)) ´e proveniente da norma da convergˆencia uniforme.

2. Pergunta-se: Seja E ´e um espa¸co vetorial sobre R e d ´e um m´etrica em E. Existir´a uma norma em E de modo que a m´etrica dada d prov´em dessa norma? ou seja, uma m´etrica qualquer definida E prov´em de alguma norma definida em E? Infelizmente isto ´e falso, ou seja, existem espa¸cos vetoriais que possuem m´etricas que n˜ao prov´em de normas definidas no espa¸co vetorial em quest˜ao. O exerc´ıcio 3 da 1.a lista de exerc´ıcios nos d´a uma condi¸c˜ao necessaria e suficiente para que um m´etrica em um espa¸co vetorial seja proveniente de uma norma do espa¸co vetorial em quest˜ao. Mais precisamente temos que: Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Uma m´etrica, d, em E prov´em de uma norma em E se, e somente se,

d(~x + ~a, ~y + ~a) = d(~x, ~y) e d(λ~x, λ~y) = |λ|d(~x, ~y),

para todo ~x, ~y, ~a ∈ E e λ ∈ R. No exerc´ıcio 4 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor ´e convidado a produzir um exemplo de espa¸co vetorial que possua uma m´etrica que n˜ao prov´em de nenhuma norma definida no espa¸co vetorial em quest˜ao.

3. Observemos tamb´em que se (E, ‖.‖) ´e um espa¸co vetorial normado ent˜ao para todo ~x ∈ E temos d(~x,~0) = ‖~x − ~ 0 ‖ = ‖~x‖, isto ´e, a norma do vetor ~x ∈ E ´e a distˆancia do ponto ~x ∈ E `a origem ~ 0 ∈ E.

Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da

Defini¸c˜ao 2.1.6 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que a fun¸c˜ao < .,. >: E × E → R ´e um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸c˜oes:

(p1) Para ~x, ~x′, ~y ∈ E temos

< ~x + ~x′, ~y >=< ~x, ~y > + < ~x′, ~y >;

2.1. DEFINIC¸ OES B ˜ ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC´ ¸ OS M ETRICOS´ 17

(p2) Para ~x, ~y ∈ E e λ ∈ R temos

< λ~x, ~y >= λ < ~x, ~y >;

(p3) Para ~x, ~y ∈ E temos < ~x, ~y >=< ~y, ~x >;

(p4) Para ~x ∈ E, ~x 6 = ~ 0 temos < ~x, ~x >> 0.

Neste caso diremos que (E, < .,. >) ´e um espa¸co com produto interno (ou escalar).

Observa¸c˜ao 2.1.

1. Se (E, < .,. >) ´e um espa¸co com produto interno ent˜ao para ~x, ~y, ~y′^ ∈ E e λ ∈ R temos que

< ~x, ~y + ~y′^ > (p3) = < ~y + ~y′, ~x > (p1) = < ~y, ~x > + < ~y′, ~x > (p3) = < ~x, ~y > + < ~x, ~y′^ >

e < ~x, λ~y′^ > (p3) = < λ~y, ~x > (p2) = λ < ~y, ~x > (p3) = λ < ~x, ~y >, (∗)

ou seja, < .,. > ´e linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).

2. De (p4) temos que se ~x ∈ E e < ~x, ~x >= 0 ent˜ao ~x = ~ 0. Logo temos que < ~x, ~x >≥ 0

para todo ~x ∈ E e < ~x, ~x >= 0 se, e somente se, ~x = ~ 0. No curso de Algebra Linear dir´´ ıamos que a fun¸c˜ao < .,. > ´e bilinear, sim´etrica e positiva definida.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno:

Exemplo 2.1.9 Seja E = Rn^ e definamos

< .,. >: Rn^ × Rn^ → R

por

< ~x, ~y > =. x 1 y 1 + · · · + xnyn =

∑^ n

i=

xi yi,

onde ~x = (x 1 , x 2 , · · · , xn), ~y = (y 1 , y 2 , · · · , yn) ∈ Rn. Ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸c˜ao < .,. > definida acima satisfaz as condi¸c˜oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < .,. > ´e um porduto interno em Rn.

Outro exemplo importante ´e:

2.1. DEFINIC¸ OES B ˜ ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC´ ¸ OS M ETRICOS´ 19

Se ~x 6 = ~ 0 podemos definir

λ =. < ~x, ~y > ‖~x‖^2 e ~z =. ~y − λ~x.

Observemos que

< ~z, ~x > =< ~y − λ~x, ~x >=< ~y, ~x > −λ < ~x, ~x >=< ~y, ~x > − < ~x, ~y > < ~x, ~x >

< ~x, ~x >

=< ~x, ~y > − < ~x, ~y >= 0,

(isto ´e, os vetores em quest˜ao s˜ao ortogonais). Logo

‖~y‖^2 =< ~y, ~y >=< ~z + λ~x, ~z + λ~x >=< ~z, ~z > +λ < ~z, ~x > +λ < ~x, ~z > +λ^2 < ~x, ~x > [<~x,~z>=<~z,~x>=0] = ‖~z‖^2 + λ^2 ‖~x‖^2.

Logo λ^2 ‖~x‖^2 ≤ ‖~y‖^2 , ou seja, (^) [ < ~x, ~y > ‖~x‖^2

] 2

‖~x‖^2 ≤ ‖~y‖^2 ,

isto ´e, < ~x, ~y >^2 ≤ ‖~x‖^2 ‖~y‖^2 implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar.

4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

‖~x + ~y‖^2 < ~x + ~y, ~x + ~y >=< ~x, ~x > + < ~x, ~y > + < ~y, ~x > + < ~y, ~y > = ‖~x‖^2 + 2 < ~x, ~y > +‖~y‖^2 ≤ ‖~x‖^2 + 2‖~x‖ ‖~y‖ + ‖~y‖^2 = (‖~x‖ + ‖~y‖)^2 ,

inplicando que ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖, ou seja , vale (n3). Com isto temos que ‖.‖ ´e uma norma em E.

5. Segue do item acima que a aplica¸c˜ao d do exemplo (2.1.4) satisfaz a condi¸c˜ao (d4), ou seja, ser´a uma m´etrica em Rn, como hav´ıamos afirmado.

Observa¸c˜ao 2.1.

1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima ´e uma norma que prov´em do produto interno de E.
2. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se um espa¸co vetorial normado (com a norma que prov´em do produto interno dado).

20 CAP´ITULO 2. ESPAC¸ OS M ETRICOS´

3. Pergunta-se: Seja E um espa¸co vetorial normado. Toda norma de E prov´em de um produto interno? A resposta ´e negativa, isto ´e, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que n˜ao prov´em de nenhum produto interno no espa¸co vetorial em quest˜ao. No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor ´e convidado a mostrar que em B(X; R) a norma da convergˆencia uniforme n˜ao prov´em de um produto interno. Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.
4. Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5] Seja (E, ‖.‖) um espa¸co vetorial normado. A norma ‖.‖ de E prov´em de um produto interno se, e somente se, temos que

‖~x + ~y‖^2 + ‖~x − ~y‖^2 = 2[‖~x‖^2 + ‖~y‖^2 ],

para tod ~x, ~y ∈ E, que ´e conhecida como lei do paralelogramo.

5. Logo a norma ‖.‖′^ em R^2 n˜ao prov´em de um produto interno pois tomando-se ~x = (1, 0) e ~y = (0, 1) temos que estes vetores n˜ao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).
6. Como conseq¨uˆencia do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno ´e um espa¸co m´etrico (basta tomar a m´etrica que prov´em da norma que ´e proveniente do produto interno).

Para concluir a se¸c˜ao temos o:

Exemplo 2.1.12 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos m´etricos. Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸c˜oes

d, d′, d′′^ : [M × N ] × [M × N ] → R

dadas por:

d(z, z′) =.

[dM (x, x′)]^2 + [dN (y, y′)]^2 ; d′(z, z′)

= dM (x, x′) + dN (y, y′); d′′(z, z′) = max. {dM (x, x′), dN (y, y′)},

onde z = (x, y), z′^ = (x′, y′) ∈ M × N. Ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d′, d′′^ s˜ao metricas em M × N.

Observa¸c˜ao 2.1.

1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos m´etricos. Mais precisamente, se (M 1 , d 1 ), (M 2 , d 2 ), · · · , (Mn, dn) s˜ao n-espa¸cos m´etricos ent˜ao pode- mos definir as seguintes m´etricas no produto cartesiano M 1 × M 2 × · · · × Mn: