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Espaços Métricos
Tipologia: Notas de estudo
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2008
Gentil
Curva de Peano (S)
tχ(1)
χ(0)^ t
χ
0 1
t
Cubo Hiper-M´agico
t t
t t
t t
t t
1 2
4 3
5 6
8 7
ϕ t 1
t 2
t 3
t 4
t 5
t 6
t 7
t 8
(^9) t CBPF-NF-
/^06
t 9
− Topologia Qu^antica
0 12 1
1
(^12)
(^14)
(^14)
(^34)
(^34)
s
0 12 1
(^12)
1
s x
→
f (x) s↑
lim x→ 0 x = 1
− O Milagre!: conexo por caminhos
11
. 09 . 2008
Teorema (Gentil/15.08.2008). Se 0, 999... ´e um n´umero ent˜ao 1 = 0.
Aos servos cabe mentir; aos livres, dizer a verdade. Apolˆonio.
As mais belas orac¸˜oes e os mais belos sacrif´ıcios agradam menos a Divindade que uma alma virtuosa que se esforc¸a por assemelhar-se a Ela. S´ocrates.
A demonstra¸c˜ao ´e um ´ıdolo aos p´es do qual os matem´aticos se torturam a eles pr´oprios. Sir Arthur Eddington
Pref´acio
Este livro pretende estabelecer uma ponte entre o aluno e textos outros, de leitura mais ´arida, por assim dizer. Acreditamos - por v´arias raz˜oes - que o aluno de matem´atica deva ter a sua disposi¸c˜ao mais que um livro da disciplina que esteja aprendendo. E dentro´ deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno ter´a mais uma op¸c˜ao para auxili´a-lo no seu aprendizado. Embora seja lugar-comum que figuras n˜ao devam interferir na maior parte das demonstra¸c˜oes da An´alise − no que estamos de acordo − n˜ao hesitamos em us´a-las onde achamos que o entendimento do aluno poderia ser facilitado. Obviamente que o peso maior ´´ e dadoa l´ogica que ´e quem valida uma demons- tra¸c˜ao. Por oportuno, se em An´alise uma imagem n˜ao vale mais que 1000 palavras; vale, pelo ao menos, umas 200. Via de regra o que se faz em um pref´acio ´e discorrer sobre o conte´udo da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raz˜ao de que o leitor, se assim o de- sejar, pode apreciar o conte´udo deste livro a partir do sum´ario, dado logo a seguir. Aproveito este pref´acio para fazer algumas elucubra¸c˜oes a respeito da Matem´atica em si, as quais julgo de alguma importˆancia. Pensamos que uma raz˜ao apenas ´e suficiente para justificar o aprendizado da matem´atica, em um n´ıvel mais avan¸cado: sua beleza intr´ınseca. Um belo teorema matem´atico situa-se no mesmo n´ıvel de uma bela obra de arte. A uma certa altura a Matem´atica confunde-se com a Arte Assim como n˜ao tem sentido chegar-se em frente a uma obra de arte e per- guntar para o que ela serve, t˜ao pouco faz sentido priorizar a aplica¸c˜ao de um belo teorema. Um outro s´ımile: n˜ao se pergunta a um compositor para o que serve a sua m´usica. Aos utilitaristas, diremos que a matem´atica serve para o deleite espiritual de quantos a cultivam seriamente. Frente a esta aplica¸c˜ao as demais empalidecem. Embora, devo confessar, mesmo sem colocar poss´ıveis aplica¸c˜oes num primeiro plano, n˜ao raro tenho trope¸cado nas mesmas. Acreditamos que neste est´agio de aprendizado o aluno deva desenvolver a percep¸c˜ao (sensibilidade) para contemplar a beleza-arte da matem´atica. Nestas alturas, a meu ver, aplica¸c˜oes caem para um segundo ou terceiro plano − n˜ao ´e o que deve interessar a um matem´atico puro, embora o seja a um “impuro”. Este livro n˜ao cont´em lista de exerc´ıcios, por duas raz˜oes. Primeira: no livro existem bastante exerc´ıcios resolvidos (exemplos). Segunda: Por experiˆencia sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como An´alise e Topologia ainda n˜ao tem maturidade suficiente para resolver exerc´ıcios destas disciplinas. Por outro lado acreditamos que o aprendizado do aluno se processa como o aprendizado das crian¸cas: por imita¸c˜ao (observa¸c˜ao) dos “adultos”. Sendo assim o que temos feito, quando ministramos espa¸cos m´etricos adotando este livro − e aqui vai uma sugest˜ao aos professores que, por ventura, o adotarem − ´e sugerir aos alunos que estudem atentamente os exerc´ıcios resolvidos (exem- plos). Na avalia¸c˜ao constam estes exerc´ıcios ou ligeira varia¸c˜ao dos mesmos. Percebi uma interessante analogia entre o Universo da m´usica e o Univeros da ciˆencia, a qual gostaria de compartilhar com o leitor: Sabe-se que na m´usica alguns nascem, ou melhor, tˆem o dom de int´erpretes (s˜ao excelentes int´erpretes) mas n˜ao s˜ao compositores. E rec´ıprocamente, outros h´a que tˆem o dom da com-
ADENDO Boa Vista-RR/30.05. Foram feitas duas tentativas de publica¸c˜ao do presente livro. Na primeira o submetir a editora aqui mesmo da universidade (ufrr), ap´os alguns meses conversei com o diretor da editora e numa conversa informal ele me disse que o livro havia sido submetido a dois especialistas daarea (referees) e que at´e aquele momento apenas um havia emitido seu parecer, por sinal favor´avel, e que, ademais, a editora estava correndo atr´as de recursos. Algum tempo depois a editora trocou de diretor e o novo me informou que a editora n˜ao tinha recursos pr´oprios e que dependia de capta¸c˜ao de recursos externos. Desisti da empreitada e decidi enviar o livro a uma outra editora. Escolhi a editora da UNB (universidade de Bras´ılia). Aproximadamente um ano depois recebi uma carta com o parecer de um referee (´arbitro). O livro n˜ao foi aceito para publica¸c˜ao. Vou citar os t´opicos mais relevantes do parecer, tidos como prejudiciais `a obra como um todo, e vou me permiti o direito de coment´a-los (uma esp´ecie de r´eplica):
Abrangˆencia: O material abrange os t´opicos fundamentais que geralmente s˜ao abordados num curso de um semestre dessa disciplina e inclui um (longo) cap´ıtulo de “Pr´e- Requisitos”, este com cerca de 70 p´aginas; o autor explora com certo exagero, um grande n´umero de exemplos a cada conceito introduzido.
Qualidade do Conte´udo e Organiza¸c˜ao L´ogica: Em diversos pontos do texto o autor mistura aspectos de seu pr´oprio entendi- mento filos´ofico e religioso com a mat´eria espec´ıfica deste t´opico da matem´atica. Em outros, insere textos de palestras elementares, proferidas pelo mesmo em sua institui¸c˜ao de origem, al´em de tecer in´umeros coment´arios pouco apropriados e at´e mesmo controversos;
∗Pois o livro torna-se volumoso e, consequentemente, encarece os custos de produ¸c˜ao.
Quanto a inserir textos de palestras “elementares”, de fato fiz uso da topolo- gia dos espa¸cos m´etricos para contribuir com uma quest˜ao bastante (h´a s´eculos) controversa na matem´atica, qual seja: como se deve interpretar a igualdade:
0 , 999... = 1
Leio no livro de um renomado matem´atico o seguinte:
“E, conquanto as ideias e o pensamento matem´aticos estejam em constante evolu¸c˜ao [.. .] a maioria dos problemas b´asicos fundamentais nunca desaparece.” (Gregory Chaitin/METAMAT!) O meu ´arbitro n˜ao atinou com este pequeno detalhe na matem´atica. Com efeito, o problema das representa¸c˜oes decimais, como na igualdade acima, ´e um de tais problemas b´asicos fundamentais que tem dado dor de cabe¸ca a muitos matem´aticos, inclusive no que diz respeito a interpreta¸c˜oes equivocadas sobre as mesmas, como logramos demonstrar aqui. Por outro lado, e talvez mais importante ainda, muitas constru¸c˜oes sofisticadas na matem´atica, a exemplo da curva de Peano, dependem de tais representa¸c˜oes dos n´umeros reais. Por exemplo aqui - pelo fato de havermos desvendado esta “quest˜ao b´asica” - cons- truimos uma vers˜ao mais simples da curva de Peano bem como obtivemos uma outra transforma¸c˜ao, in´edita e t˜ao esdr´uxula quanto a de Peano: construimos a “volta” da curva de Peano. Quanto a “coment´arios pouco apropriados” talvez o ´arbitro esteja se referindo ao fato de eu ter afirmado que at´e hoje os matem´aticos claudicam (trope¸cam) no conceito de n´umero, em poucas palavras: muitos n˜ao tˆem nitidez do que de fato seja um n´umero (tanto ´e que alguns o tomam como um “conceito primitivo”, o que n˜ao acho necess´ario). Com efeito, fa¸co esta afirmativa em um Resumo que encontra-se a partir da p´agina 227, o leitor leia e julgue por si mesmo se tenho ou n˜ao raz˜ao. Por sinal publiquei este artigo (“Palestra”) h´a mais de ano em minha home-page e h´a v´arios meses no site Somatem´atica e, at´e hoje, n˜ao recebi nenhuma contesta¸c˜ao; pelo contr´ario, recebi um email entusiasmado de um leitor me dando conta de que leu, entendeu e concorda com tudo o que escrevi sobre o tema. Ademais, vejo uma incoerˆencia na afirmativa do referee: se discorro sobre um tema elementar (conte´udo de minha Palestra - pg. 227) como posso fazer afirmativas controversas? Digo, ele, como ´arbitro, n˜ao teria capacidade de de- cidir se o que falo tem ou n˜ao fundamento? Em matem´atica, no que de fato ´e elementar, n˜ao cabe controv´ersias, do contr´ario n˜ao seria elementar. Continuando:
Quanto `a abordagem dos conte´udos de Espa¸cos M´etricos em s´ı, h´a um exagero de exemplos seguindo cada conceito apresentado, em detrimento de um tratamento mais conciso dos pontos centrais do tema.
Outros Aspectos Negativos:
uma figura, digo-lhes: “Observem... quem n˜ao conseguir alcan¸car com a mente (racioc´ınio) procure ao menos enxergar com os olhos f´ısicos, j´a ´e alguma coisa”. Existe um ditado que diz que uma imagem vale mais que mil palavras, isto ´e ainda mais verdadeiro quando se trata de ensinar matem´atica abstrata a nossos alunos. Por oportuno, tenho em m˜aos um livro de matem´atica de um professor da UNB (publicado pela Editora da UNB), por t´ıtulo “Introdu¸c˜ao a ´algebra linear”, esse livro tem 156 p´aginas, a primeira figura aparece na pg. de n´umero 98 (isto ´e, bem depois da metade do livro), no livro todo constam apenas 5 figuras. Na minha opini˜ao escrever um livro fino e com poucas figuras ´e muito f´acil (e at´e mais cˆomodo) agora se vai resultar em um livro did´atico a´ı ´e outra hist´oria. Por exemplo, analisei detidamente o livro citado acima e, sinceramente, n˜ao achei que tenha ficado nenhum um pouco did´atico. Poucos exemplos, chega-se ao absurdo de se definir espa¸cos vetoriais e n˜ao se mostra um ´unico exemplo de espa¸co vetorial! Nota: E bem verdade que o autor, ap´´ os a defini¸c˜ao desses entes, exibe apenas dois exemplos, entretanto n˜ao prova, segundo a defini¸c˜ao dada, que realmente trata-se de tais objetos; ou pelo ao menos menciona ao aluno a neces- sidade de tal prova (da´ı n˜ao considero como exemplos). Ademais, a qualidade da editora¸c˜ao eletrˆonica dessa obra deixa muito a desejar. O que muitos autores de livros did´aticos de matem´atica para gradua¸c˜ao ainda n˜ao se deram conta (e, por conseguinte as editoras) ´e que o p´ublico que eles tem em mente quando escrevem seus livros deixou de existir h´a muito tempo! Estou falando da vergonhosa situa¸c˜ao na qual se encontram os ensinos fun- damental e m´edio em nosso Pa´ıs, o que se reflete de imediato no preparo da clientela das universidades brasileiras. Para citar apenas um exemplo, an pas- sant, quando ingressei na universidade em 1981 j´a sabia derivar e integrar - j´a resolvia problemas de m´aximos e m´ınimos, bem como calculava volumes de s´olidos de revolu¸c˜ao∗, hoje os alunos adentrama universidade com dificuldades (trope¸cando) na matem´atica do ensino fundamental... pasm´em! Conclus˜ao: O referee em quest˜ao s´o viu defeitos em minha obra, na sua carta ele n˜ao cita um ´unico eventual ponto positivo. Creio que, com um pouco de boa vontade, podemos encontrar alguns. Por exemplo: exploro aqui uma m´etrica (“m´etrica divina”), a qual n˜ao se encontra em nenhum outro livro sobre espa¸cos m´etricos (dos que eu conhe¸co, claro), a qual me permitiu descobrir toda uma s´erie de exemplos interessantes (“patol´ogicos”)†^ e in´editos, me dando en- sejo inclusive de relacionar Topologia com F´ısica quˆantica. Ademais, essa mesma m´etrica me permitiu colocar um ponto final em um assunto bastante controverso (pouco compreendido) na matem´atica, qual seja, se 0, 999... ´e ou n˜ao igual a
cobre toda a superf´ıcie de um quadrado); no presente trabalho, simplificamos a constru¸c˜ao dessa curva (tal como consta em [5]) e, o que ´e melhor, construi- mos tamb´em um outro objeto (“monstro”) matem´atico que pode ser visto como “complementar” a curva de Peano. Se, com tudo isso (e mais ainda), o referee s´o viu defeitos em minha obra gostaria de lembr´a-lo que ´e muito raro um livro de matem´atica que traga alguma contribui¸c˜ao (relevante). Por oportuno, neste preciso momento lembrei de que o meu primeiro livro publicado (no ano de 2000, ver [6]) j´a vem com algumas contribui¸c˜oesa matem´a- tica (Por exemplo, destaco uma f´ormula fechada para a soma de potˆencias dos primeiros naturais, que nenhum matem´atico - deste e de s´eculos anteri- ores - havia conseguido), por sinal esse livro mereceu elogios de um renomado matem´atico brasileiro (por coincidˆencia um top´ologo); n˜ao obstante ele tenha emitido seu parecer (observo que de livre e expontˆanea vontade, digo, sem eu ter solicitado) sobre esse meu primeiro livro, vou me permitir transcrever seu parecer (j´a que o autor de ambos os livros ´e o mesmo), ei-lo: O endere¸co [email protected] foi recusado.
Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro.
Um Abra¸co, Ubiratan
Original Message
From: Ubiratan D,Ambr´osio
To: Gentil Lopes da Silva
Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM
Subject: Obrigado pelo livro
Caro Gentil
Muito obrigado pelo livro que vocˆe mandou pelo Chateau. Est´a muito bom, interessante e cheio de provoca¸c˜oes. D´a oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Vocˆe fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que ´e tamb´em para a p´os. Aritm´etica continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸c˜oes e resultados que caracterizam muitas ´areas da matem´atica. S˜ao formula¸c˜oes simples que podem ser trabalhados com pouca t´ecnica, exigindo imagina¸c˜ao e criatividade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ao existe. E nem est´a no site da Thesaurus. Recomendar um livro implica dizer como adquirir. O que vocˆe diz? Siga em frente com suas id´eias. As suas reflex˜oes iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a pr´opria capa, s˜ao uma grande contribui¸c˜ao para um novo pensar na urgente renova¸c˜ao da educa¸c˜ao em todos os n´ıveis. A sua trajet´oria desde seus estudos, lecionando em condi¸c˜oes prec´arias, e com as difi- culdades para publicar o livro ´e um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente intencional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de id´eias de outros.
Uma curiosidade: vocˆe sabia que o Edouard Lucas, que vocˆ´ e cita na p´agina 393, ´e quem fez a revis˜ao t´ecnica para a publica¸c˜ao p´ostuma do livro “M´elanges de Calcul Int´egral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´umeras editoras enquanto ele estava vivo.
Muito obrigado. Um abra¸co, Ubiratan
Garimpando P´erolas
“Um exame superficial da matem´atica pode dar uma impress˜ao de que ela ´e o resul- tado de esfor¸cos individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e ´epocas diversas. No entanto, a l´ogica interna de seu desenvolvimento nos lembra muito mais o trabalho de um ´unico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistem´atico e consistentemente, usando a variedade das individualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por algu´em. Um tema passa de um instrumento a outro, e quando chegou a hora de um dos par- ticipantes abandonar o tema, ele ´e substitu´ıdo por outro, que o executa com precis˜ao irrepreens´ıvel...” I.R. Shafarevich
“Nenhuma produ¸c˜ao de ordem superior, nenhuma inven¸c˜ao jamais procedeu do homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria consider´a-la um dom inspirado do Alto e aceit´a-la com gratid˜ao e venera¸c˜ao. Nestas circunstˆancias, o homem ´e somente o instrumento de uma Potˆencia Superior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conte´udo divino”. Goethe
“A obten¸c˜ao de um resultado novo em pesquisa ´e, para o cientista, uma fonte de in- tenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸c˜ao e eternidade, pois, independen- temente da importˆancia da contribui¸c˜ao no contexto da ciˆencia, ou de sua utiliza¸c˜ao, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existˆencia na terra”. Pierre Curie (F´ısico)
“O que me solicita profundamente na vida ´e poder colaborar numa obra, numa Re- alidade, mais dur´avel do que eu: ´e nesse esp´ırito e nessa perspectiva que procuro aperfei¸coar-me e dominar um pouco mais as coisas”. Teilhard de Chardin
“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo n˜ao h´a mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crˆeem que o mundo n˜ao vai mais longe”. O Livro dos M´ediuns “Eu penso que seria uma aproxima¸c˜ao relativamente boa da verdade (que ´e de- masiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproxima¸c˜ao) dizer que as id´eias matem´aticas tˆem a sua origem em situa¸c˜oes emp´ıricas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pr´oprios governados quase que inteiramente por motiva¸c˜oes est´eticas... ”. J. Von Newmann (1903 − 1957) “A matem´atica ´e um campo demasiadamente ´arduo e in´ospito para agradar `aqueles a quem n˜ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ao da mesma ´ındole que as do artista.
... Acrescenta ainda que ´e no ato de criar que o matem´atico encontra sua culminˆancia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸c˜ao t´ecnica pode substituir este mo- mento de cria¸c˜ao na vida de um matem´atico, poeta ou m´usico’ ”. Norbert Wiener “... que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via de uma diversa experimenta¸c˜ao de car´ater abstrato, especulativo, resultante das con- clus˜oes de processos l´ogicos da mais moderna f´ısico-matem´atica”. Pietro Ubaldi/Ascens˜oes Humanas
“E uma experiˆ´ encia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na natureza. E´ surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um construto de nossa pr´opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”. Leo Kadanoff
“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se apro- fundam em seus pensamentos e vˆeem as maravilhosas rela¸c˜oes entre as leis universais reconhecem um poder criador”. Max Planck
“Um conceito ´e um estado vibrat´orio individualizado e delicad´ıssimo que, uma vez perdido, n˜ao mais se acha nem com a l´ogica e muito menos com a vontade, n˜ao retornando sen˜ao quando excitado por uma conex˜ao de id´eias, isto ´e, por uma nova passagem pr´oxima num estado vibrat´orio afim”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“N˜ao sabemos sen˜ao em raz˜ao da nossa faculdade de recep¸c˜ao”. Pit´agoras
“Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biol´ogicas da animalidade, para estrangul´a-las e super´a-las. Tenho vivido minhas afirma¸c˜oes como realiza¸c˜ao biol´ogica antes de formul´a-las em palavras”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“A fus˜ao entre f´e e ciˆencia, t˜ao auspiciada, j´a se completou em meu esp´ırito: vis˜ao ´unica na substˆancia e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudan¸ca de perspectiva visual ou de focaliza¸c˜ao de meus centros ps´ıquicos ”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“N˜ao se pode imaginar que tenacidade de resistˆencia, que massa de in´ercia representa o homem m´edio, justamente o que imp˜oe as normas da vida social”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“Um teorema possui vida em abundˆancia: nasce, cresce, reproduz-se e... n˜ao morre”.
Gentil
“O fenˆomeno baseia-se na sintoniza¸c˜ao ps´ıquica e a mente do observador, se n˜ao afasta com suas emana¸c˜oes um objeto do microsc´opio, nem influencia um fenˆomeno f´ısico ou qu´ımico, pode paralisar, todavia, o funcionamento de um fenˆomeno psiqu´ıco. O fenˆomeno tem suas defesas e se retira em face da amea¸ca `a sua vitalidade e, ent˜ao, a ciˆencia n˜ao consegue a observa¸c˜ao, e sim, a destrui¸c˜ao”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“Para poder avan¸car na investiga¸c˜ao cient´ıfica e ver no ´ıntimo das coisas, ´e indis- pens´avel a sutiliza¸c˜ao do instrumento de pesquisa - a consciˆencia”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“Como na ciˆencia, tamb´em nas religi˜oes, a investiga¸c˜ao deveria ser livre, n˜ao fechada e condenada”. Pietro Ubaldi/A Descida dos Ideais
“O homem ´e o art´ıfice de seu destino: tem que arrostar o esfor¸co de criar a si mesmo”.
Pietro Ubaldi/A Grande S´ıntese
5.5.1 Seq¨uˆencias em
R, μ
8.2 Conexos em
R, μ
“Eu disse: V´os sois deuses, e v´os outros sois todos fi- lhos do Alt´ıssimo.” (Sl 82 : 6)
Introdu¸c˜ao:
O objetivo deste cap´ıtulo ´e estabelecer alguns resultados que ser˜ao utilizados nos demais cap´ıtulos do livro.
1.1 Elementos de L´ogica & Demonstra¸c˜oes
Nesta sec¸c˜ao recordaremos, de modo resumido, alguns conceitos da L´ogica Matem´atica. De in´ıcio tecemos algumas considera¸c˜oes sobre alguns s´ımbolos, objetivando transferi-los da L´ogica para o contexto da Matem´atica. Posterior- mente estabeleceremos algumas t´ecnicas de demonstra¸c˜oes matem´aticas.
Proposi¸c˜ao:
Chamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini¸c˜ao. E o que acontece, por exemplo, com o conceito de´ proposi¸c˜ao. Portanto, n˜ao o definiremos. N˜ao obstante, nada impede que conhe¸camos suas qualidades, tendo em conta que proposi¸c˜ao ´e uma senten¸ca declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo; via de regra sendo escrita na linguagem usual ou na forma simb´olica. Por exemplo, s˜ao proposi¸c˜oes:
π 2
Todo quadrado ´e um retˆangulo.
Todo retˆangulo ´e um quadrado.
Dizemos que o valor l´ogico de uma proposi¸c˜ao ´e a verdade (V ) se a proposi¸c˜ao ´e verdadeira; ´e a falsidade (F ) se a proposi¸c˜ao ´e falsa. Por exemplo, para as proposi¸c˜oes anteriores,temos
Faremos um resumo das opera¸c˜oes do c´alculo proposicional tamb´em chamadas opera¸c˜oes l´ogicas. Os principais operadores (conectivos) l´ogicos s˜ao os seguintes:
∨ Disjun¸c˜ao (“ou”) ∧ Conjun¸c˜ao (“e”) ¯ Nega¸c˜ao −→ Condicional (“se...ent˜ao”) ←→ Bicondicional (“se e somente se”)
cujas tabelas-verdade s˜ao dadas a seguir (estas tabelas definem os respectivos operadores):
p q p∨q V V V V F V F V V F F F
p q p∧q V V V V F F F V F F F F
p p¯ V F F V
p q p −→ q V V V V F F F V V F F V
p q p ←→ q V V V V F F F V F F F V
p p¯ q ¯p ∨q V F V V V F F F F V V V F V F V
Acrescentamos a tabela-verdade da proposi¸c˜ao ¯p ∨q a qual nos ser´a de grande utilidade. Vamos agora enunciar uma rela¸c˜ao entre proposi¸c˜oes, que se distingue dos operadores, porque n˜ao cria nova proposi¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1 (Implica¸c˜ao L´ogica). Diz-se que uma proposi¸c˜ao p implica logi- camente ou apenas implica uma proposi¸c˜ao q, se e somente se, na tabela de p e q, n˜ao ocorre V F em nenhuma linha, com V na coluna de p e F na coluna de q.
Exemplo: Da tabela a seguir inferimos que a proposi¸c˜ao q n˜ao implica na proposi¸c˜ao p ∧ q, ao passo que a proposi¸c˜ao p ∧ q implica na proposi¸c˜ao q.
p q p∧q V V V V F F F V F F F F
q V F V F
18
