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Uma introdução simplificada à estabilidade em sistemas dinâmicos
Prof. Dr. Reyolando M.L.R.F. Brasil
1. Sistemas dinâmicos
Consideremos que a evolução temporal de um fenômeno físico qualquer possa ser modelada por um conjunto de n funções yi ( t )( i =1,... n ), as variáveis de estado, reunidas
em um vetor y y ( t )
. O espaço abstrato n -dimensional definido por essas variáveis é o
espaço de estado ou espaço de fases onde a ponta do vetor y^ descreve uma trajetória no
tempo. Num caso bi dimensional teríamos um plano de fase. A taxa de variação no tempo dessas funções pode ser um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
y f ( y , t )
ou, por extenso
1 2
2 2 1 2
1 1 1 2
y f y y y t
y f y y y t
y f y y y t
n n n
n
n
onde o ponto sobre a variável, na notação de Newton (1642-1727), representa a derivada no tempo. A Eq. 1, também é chamada de fluxo do sistema, uma nomenclatura também devida a Newton. As equações são diferenciais por envolver derivadas, ordinárias por serem derivadas com respeito a uma só variável independente, o tempo, e de primeira ordem por ter somente derivadas primeiras. Podem ser lineares ou não lineares.
Esse sistema pode ser não autônomo se depender explicitamente do tempo e autônomo caso contrário. Um truque para transformar um sistema não autônomo em autônomo é acrescentar uma variável de estado yn 1 t , de forma que y n 1 1.
Integrar o sistema (1) significa achar uma função temporal ( t )
que satisfaça
essa equação para uma determinada condição inicial 0
. Note-se que, por se tratarem de equações de primeira ordem, bastam condições iniciais em deslocamento. 2. Estabilidade de uma solução
Seja ^ ( t )a solução de (1) para condições iniciais 0
em t 0. Queremos avaliar sua
estabilidade. Vamos admitir que uma pequena perturbação nas condições iniciais, que passem a valer y 0
, causem uma evolução temporal y^ ( t ). Seja um valor pequeno e
positivo, e ( )uma região pequena em torno das condições iniciais da solução em
avaliação, tal que
0 ^ ^0 (^ )
y , (2)
em que as barras duplas representam o comprimento do vetor, a norma Euclideana.
A solução é dita estável, no sentido de Lyapunov, se, para todo tempo t t 0 ,
temos
y ( t ) ( t )
ou seja, o ponto que representa o estado do sistema no espaço de estado está contido
numa hiper esfera de raio . No caso de um problema bi-dimensional é uma
circunferência, e em três dimensões uma esfera propriamente dita. Caso contrário, a solução é dita instável, no sentido de Lyapunov. Se
lim t 0 y ( t ) ( t ) 0
a solução é dita assintoticamente estável.
Com base nessas idéias, podemos conceituar estabilidade como se segue.
Considere-se um estado básico ou fundamental e um estado perturbado. Se a distância entre o estado básico e o perturbado permanecer entre limites pré- estabelecidos para todo tempo, quando perturbações arbitrárias agem sobre o sistema, o estado básico é dito estável.
Britvec dá um conceito mais relaxado: estabilidade é a tendência de um sistema permanecer próximo a sua configuração básica quando perturbações pequenas encorajam o sistema a abandoná-lo.
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) cometeu suicídio por ocasião da morte de sua esposa, com quem foi enterrado.
3. Estabilidade do equilíbrio
Nas aplicações normais, o interesse está na estabilidade de soluções triviais, isto é, de pontos de equilíbrio, ou pontos fixos (velocidades nulas), em que para condições
iniciais 0 0
temos ( t ) 0
. Nesses casos faz-se a mudança de variáveis
x ( t ) y ( t ) ( t )
e estuda-se a estabilidade da evolução do estado perturbado x^ ( t ), representada pelo
sistema dinâmico
em que e i Im t é uma vibração livre não amortecida em torno da origem, de acordo com a famosa fórmula de Euler
e i^ t^ cos t i sin t
A análise de (13) nos permite definir as regras gerais da estabilidade do ponto fixo para o sistema linear (9):
se todas as partes reais Re dos autovalores de A são negativas, o ponto fixo
é assintoticamente estável;
se pelo menos uma das partes reais Re dos autovalores de A é positiva, o
ponto fixo é instável;
se pelo menos uma das partes reais Re dos autovalores de A for nula, temos
os chamados casos críticos em que um estudo mais detalhado das condições de estabilidade deve ser feita, em cada caso.
3.2 Sistemas não lineares
Como uma preliminar, lembremos a expressão da expansão em série de Taylor de uma função f ( x )em torno de x 0 :
0 0 ''( 0 )^2
f ( x ) f ( x ) f '( x ) h f x h (14)
em que a linha à direita da função representa sua derivada em x e h x x 0. Para uma
função vetorial de várias varáveis f f ( x )
, a Eq. (14) assume a forma
f ( x ) f ( x 0 ) J ( f ) 0 h (15)
em que h x x 0
, um vetor n x 1, e J ( f ) 0 é a matriz jacobiana n x n da função,
calculada em x 0
. Genericamente, uma matriz jacobiana de uma função vetorial de m
componentes em n variáveis tem a forma
n
m m m
n
n
x
f x
f x
f
x
f x
f x
f
x
f x
f x
f
J f
1 2
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
Como se vê, uma matriz jacobiana não é necessariamente quadrada como no caso presente. Neste caso, como partimos de condições iniciais nulas, (15) simplifica-se para
f ( x ) J ( f ) 0 x (16)
e o estuda da estabilidade de (5) pode ser conduzido como o de (9), fazendo-se
A J ( f ) 0
Esse procedimento equivale a uma linearização do problema. Existem teoremas que nos guiam quanto à validade das conclusões sobra a estabilidade tiradas dessa linearização. Serão comentados na seção 5.
4. Exemplos
4.1 Um sistema linear simples
Seja um vibrador composto de uma massa m ligada a um referencial fixo por uma mola linear de rigidez k e um amortecedor viscoso linear de coeficiente de amortecimento c. O deslocamento da massa em relação ao referencial é u u ( t ). A equação diferencial
ordinária, de coeficientes constantes, de segunda ordem, do movimento, na ausência de carregamento, é
^2
u u u
mu cu ku
em que ^2 é o quadrado da freqüência de vibração livre não amortecida do sistema (em rad/s). A transformação dessa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem passa pela mudança de variáveis
x (^) 1 u x 2 u
levando a
2
1 2 2
x
x x
x
x Ax
Os autovalores de A são
(^22)
Caso 2: 1 e 2 complexos conjugados
a) se as partes reais forem negativas temos um foco estável; b) se as parte reais forem positivas temos um foco instável;
Caso 3: 1 2 0 , raízes reais múltiplas
a) 1 2 0 , é um nó impróprio (estável) ou um nó estrela (estável);
b) 1 2 0 , é um nó impróprio (instável) ou um nó estrela (instável).
Para sistemas conservativos ( 0 ), temos
a) Pontos fixos elípticos se 0 4
2 2
, auvovalores imaginários puros, é um
centro (estável?);
b) Pontos fixos hiperbólicos se 0 4
2 2
5. Validade das conclusões sobre estabilidade tiradas do modelo linear para o modelo não linear linearizado
Um ponto importante é se ao linearizar um sistema não linear se podem tirar as mesmas conclusões sobre estabilidade de um ponto fixo feitas para o caso linear. Teoremas devidos a Andropov, Hartman-Grobman, e Chetaév, entre outros, confirmam que as conclusões são seguras no caso de focos, nodos e pontos de sela, e não são seguras nos casos chamados “borderline”, os nodos estrela, nodos degenerados, pontos fixos não isolados e centros. Nesses casos, quando pelo menos um dos autovalores da matriz jacobiana possui parte real nula, os casos críticos, diz-se que nada se pode afirmar.
6. Método direto de Lyapunov
Lyapunov, em 1892, propôs um método geral para análise da estabilidade de uma solução de equilíbrio para um sistema linear ou não linear. Suponha-se uma função escalar das variáveis de estado V V ( x )contínua e com derivadas contínuas em torno
da origem, chamada função de Lyapunov. Se essa função for positivo-definida na origem ( V 0 e V 0 somente se x 0
), isto é, se tiver um mínimo estrito na origem,
e sua derivada temporal 0 dt
dV , então o ponto fixo é estável. Esta última condição é
calculada por
1 1 1
f x x
V
x x
V
dt
dx x
V
dt
dV i
n i (^) i i
n i (^) i
i n i (^) i
Infelizmente, não há um procedimento sistemático para construir essa função para um sistema qualquer. Strogatz afirma que normalmente se apela ou para uma soma ponderada de quadrados ou para a inspiração divina...
Exemplo1: verificar a estabilidade do ponto de equilíbrio trivial do sistema
3 2 2 2 1 2 3 x 1 (^) f 1 ( x )( x 1 x ) x f ( x ) x x
A função de Lyapunov é (^) V x 12 x^22 , que tem um mínimo estrito na origem.
2 x 1 ( x 13 x 2 ) 2 x 2 ( x 1 x 23 ) 2 ( x 14 x 24 ) 0 dt
dV
Portanto a solução trivial é assintoticamente estável.
Exemplo2: verificar a estabilidade do ponto de equilíbrio trivial do sistema
2 4 2 2 1 4 x 1 (^) f 1 ( x ) x 1 x 2 x f ( x ) x x
A função de Lyapunov é V x 14 x^42 , que tem um mínimo estrito na origem.
4 x 14 x 24 4 x 14 x^42 0 dt
dV
Portanto a solução trivial é estável.
7. Teorema de Lagrange-Dirichlet
O método direto de Lyapunov é uma generalização de ideias antigas sobre a estabilidade do equilíbrio de sistemas mecânicos em pontos onde a energia mecânica assume um valor mínimo. Essas ideias remontam a Torricelli em 1640. Conceitualmente, deve-se visualizar um vale em que uma bolinha está em equilíbrio. Para qualquer lado que se introduza uma perturbação a energia potencial cresce e bolinha volta para seu ponto de equilíbrio. Inversamente, uma bolinha em equilíbrio no topo de uma colina, se sofre uma perturbação para qualquer lado, a energia potencial decresce e a bolinha foge do equilíbrio.
De acordo com um teorema enunciado por Lagrange em 1788, e provado completamente por J.P.G.L. Dirichlet algumas décadas depois, se a energia potencial total de um sistema mecânico conservativo apresenta um ponto de mínimo, então este ponto é estável. Esta é a condição necessária. Ao que parece, a condição suficiente não foi provada até recentemente, por Peter Hagendorn, formado na EUSP e radicado na Alemanha há bastante tempo.
