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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero.
1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N ={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.
- Conjunto dos Números Naturais (N) Propriedades:
1 ∈ N.
∀ n ∈ N , ∃! n+1 ∈ N e n+1 é o sucessor de n.
∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.
Seja S ⊂ N com as propriedades: a) 1 ∈ S. b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S. Logo, S = N (Princípio da Indução) Assim tem-se: N = {1,2,3,...} A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação. Exemplo: Sejam a, b ∈ N x = a + b e x = a.b São equações que têm solução em N. Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
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- Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero. Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.
Exemplo: = → = ∉ Z 2
2x 5 x^5
- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q, onde p e q ∈ Z e q ≠ 0. Esses
números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos. Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323... O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x^2 = a
Exemplo: x 2 = 2 →x= 2 ∉ Q. Demonstração que 2 ∉ Q:
- O quadrado de um número par é par: 2.n onde n é inteiro.
N
(2.n)^2 = 4.n^2 =2.(2.n^2 )é PAR.
- O quadrado de um número ímpar é ímpar: 2n + 1 1 N
(2n + 1)^2 =4n^2 +4n+ 1 =2.(2n 1 4 2^2 + 43 2n)+ é ÍMPAR.
Demonstração por contradição: Suponha que 2 ∈Q∴∃a∈Q a^2 = 2
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Lei da existência do elemento neutro da adição ∃ o 0 ∈ R / x + 0 = x : ∀ x ∈ R
Lei da existência do elemento neutro da multiplicação ∃ 1 ∈ R / 1. x = x : ∀ x ∈ R
Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição ∀ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R / x + (-x) = 0
Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação ∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ x-1^ ∈ R / x. x-1^ = 1
Lei distributiva da multiplicação em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z
Lei do fechamento da adição ∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R
Lei do fechamento da multiplicação ∀ x, y ∈ R → x. y ∈ R
Lei do cancelamento em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z x = y
Lei do cancelamento em relação a multiplicação
∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x. z = y. z x = y
Lei da tricotomia ∀ x, y ∈ R , vale uma e somente uma das afirmações: x > y ou x < y ou x = y Obs.: fazendo y = 0, temos: x > 0 ou x < 0 ou x = 0
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z x > y
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Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação ∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y x. z > y. z Obs.: se z < 0 : x > y x. z < y. z
Lei da transitividade ∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z x > z
Exercícios: 1) Responda (V) ou (F) e justifique. a) Se x é um número positivo 5x é um número positivo b) Se x < 3 e y > 3 x < y c) Se x ≤ y -5x ≤ -5y d) Se x^2 ≤ 9 x ≤ 3 e) Se x ≥ 2 e y > x y > 0
Respostas: (V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número positivo.] (V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim x < y. (V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y. (F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x^2 ≤ 9 x^2 = 9 x = ± 3 x ≤ 3 x ≥ - (V) x ≥ 2 y > x y > 2 x
1.2) Representação Geométrica dos Números Reais Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta
negativos 0 positivos
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Intervalo degenerado
a {x ∈ R / x = a} = [a, a]
- Supremo (limite superior) Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas as seguintes condições:
- L ≥ x, ∀ x ∈ A
- Dado L 1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L 1 < x < L.
- Ínfimo (limite inferior) Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes condições:
- l ≤ x, ∀ x ∈ A
- Dado l 1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l 1.
- Máximo de um conjunto Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:
- Mínimo de um conjunto Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:
Exercício: A = (2, 5] B = { x ∈ R / x > 2} C = { x ∈ R / x ≤ 3} Determinar:
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Superior (A) : 5 Superior (B) : ∃ Superior (C) : 3 Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : ∃ Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ∃ Máximo (C) : 3 Mínimo (A) : ∃ Mínimo (B) : ∃ Mínimo (C) : ∃
- Distância em R (unidimensional) Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente e a < b. A distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por |b – a| P Q a |b – a| b
- |b – a| = (b −a)^2 d (P, Q) = |b – a| ou d (P, Q) = (^) (b − a)^2
Vizinhança em R (unidimensional) Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P 0 (X 0 ) e de raio δ (delta) δ ∈ R a todo conjunto de pontos P (x) ∈ R / d (P, P 0 ) < δ. V (P 0 , δ) = {x ∈ R / 0 ≤ d (P, P 0 ) < δ}, onde x é a abscissa do ponto P P 0 ( ) x 0 - δ X 0 x 0 +δ 0 ≤ |x – x 0 | < δ δ δ
Vizinhança perfurada em R Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P 0 (X 0 ) e de raio δ ∈ R a todo o conjunto de pontos P (x) ∈ R / 0 < d (P, P 0 ) < δ V (P 0 , δ) = {x ∈ R / 0 < d (P, P 0 ) < δ} V (P 0 , δ) = 0 < |x - x 0 | < δ
Ponto de acumulação Um ponto P 0 (X 0 ) é A se e somente se ∀ V (P 0 ) existir pelo menos um ponto P ∈ R / P ∈ A e P ∈ V (P 0 ). a P 0 b ( ( ) ( | ) ( ] )
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y
x y
x (^) = se y ≠ 0
|x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular
|x| = |y| → x = ± y
Seja a ≥ 0 |x| = a → x = ± a
|x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a
Demonstrações das propriedades acima P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 x ∈ R Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
- Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0
- Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0
- Se x = 0: |x| = 0
P2) |x|^2 = x^2
- Se x > 0: |x| = x → |x|^2 = x^2
- Se x < 0: |x| = -x → |x|^2 = (-x)^2 = x^2
- Se x = 0: |x| = x → |x|^2 = x^2
P3) |x| = x^2
a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.
x 2 = x^2 → pela propriedade 2
x = x^2
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P4) |x. y| = |x|. |y| |x. y|^2 = (x. y)^2 |x. y| = (x.y)^2
|x. y| = x^2 .y^2
|x. y| = x^2. y^2 |x. y| = |x|. |y|
P5) xy^ =xy ( y≠ 0 )
P6) |x + y| ≤ |x| + |y| (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 (x + y)^2 = |x|^2 + 2xy + |y|^2 Obs.: x ≤ |x| 2xy ≤ |2xy| 2xy ≤ 2 |x| |y| (x + y)^2 ≤ |x|^2 + 2 |x| |y| + |y|^2 |x + y|^2 ≤ ( |x| + |y| )^2 |x + y| ≤ |x| + |y|
P7) |x| = |y| → x = ± y |x|^2 = |y|^2 x^2 = y^2 x = ± y
P8) |x| ≤ a
- x ≥ 0 → |x| = x x ≤ a 0 [ ] a
- x < 0 → |x| = -x -x ≤ a → x ≥ -a - a [
-a [ ] a
-a ≤ x ≤ a
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d) |3x + 5| > 2 |x| > a → x > a ou x < -a 3x + 5 > 2 • 3x + 5 < -
x > -1 x < − 37
Resposta: x > -1 ou x < − 37.
2) Sistema de Coordenadas Cartesianas 2.1) Par Ordenado É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada. (x, y) = (y, x) ↔ x = y (x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o elemento y é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada.
2.2) Produto Cartesiano Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e se indica por A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B. A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
2.3) Plano Cartesiano Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado pelo seguinte conjunto: R x R = R^2. No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado abscissa e o elemento y ordenada do ponto.
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2.4) Representação do Plano Cartesiano Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares ordenados, desta maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares.
y (eixo das ordenadas) P (x, y)
0 x (eixo das abscissas)
2.5) Distância Bidimensional (R^2 ) y
y2 Q (x2, y2) |y2 – y1| d y P (x1, y1)
x1 x2 x |x2 – x1| [d(P, Q)] = |x2 – x1|^2 + |y2 – y1|^2 [d(P, Q)]^2 = (x2 – x1)^2 + (y2 –y1)^2
d (P,Q) ==== (x 2 −−−− x 1 )^2 ++++ (y 2 −−−− y 1 )^2
III^ IV
II I
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3) Relações Binárias e Funções Reais 3.1) Relações Binárias Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.
3.2) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações a) Domínio de relações: Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear:
DS = {x ∈A/∃ y∈Re(x,y)∈S} ⊂A
b) Contradomínio: Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B. CdS = B c) Imagem: Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear:
ImS = {y ∈B/∃ x∈Re(x,y)∈S} ⊂B
d) Gráfico: Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:
GS = {( x,y)∈R^2 /(x,y)∈S}
e) Gráficos das principais relações:
1) {( x ,y)∈R^2 /y=x}
y = x → é função y ≥ x → não é função
45 o
y
x
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- {( x ,y)∈R^2 /y=ax+b} aeb∈R
a → coeficiente angular b → coeficiente linear a = tan α Se:
- a > 0 → tan α > 0 → → α < 90o^ : agudo
- a < 0 → tan α < 0 → → α > 90o^ : obtuso
- ( )
parábola
x,y R^2 /y ax^2 bx c
Se:
- a > 0 →
- a < 0 → “1” y = 0 ax^2 + bx + c = 0
b^24 .a. c
2 .a x b ∆= −
- ∆ > 0 → 2 raízes “1”
- ∆ < 0 → não existe → (^)
2 a, 4 a V b
- ∆ = 0 → 1 única raiz “3” →→→→ x = 4y^2 – 9 → também é uma parábola
b
a<
a>
α
y
x
α
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x 3
x^294.^49
x^29 y
y'^25
y 4 8 y^941
y^9814 .(^4 ).(^100 )
4 y^29 y 100 0
9 y 4 y^21000
D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3}
- {y ∈ R} = Im Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}
3.3) Função Real de Variável Real Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponder um único y ∈ B, então esta relação denomina-se função. Notação: F: A → B y = F (x) Domínio: Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par ordenado (x, y) de F. DF = A Contradomínio: Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B. CF = B Imagem: A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B que são obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x). ImF ⊂ B
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Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f (x), estamos admitindo que o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível determinar y ∈ R e y = F (x).
Exemplos:
- Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:
a) x 1
f (x)^3 x −
{ } Df {x R/x 1 }
Df x R/x 1 0 = ∈ ≠
Ponto de acumulação
b) g( x) =x^2 +2x+ 1
x 1
x^2 2x 1 0
D R
y
x assíntota
y
x
