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Capítulo 3
Sistemas de vectores
3.1 Grandezas
Algumas grandezas físicas são representadas matematicamente por um escalar,
isto é, basta uma quantidade para as definir. (Exemplo: massa de um corpo, o seu
volume, a sua superfície, etc.)
Outras são grandezas vectoriais que necessitam de três quantidades para serem
definidas num espaço tridimensional. (Exemplo: forças, deslocamentos, velocida-
des, etc.)
Um vector é uma entidade matemática definido por intensidade, direcção e sen-
tido e geometricamente representada por uma recta orientada: direcção, ponto de
aplicação, sentido, e módulo
A
B
~a
ponto de aplicçao - A
sentido A → B
direcçao(recta)
modulo ‖~a‖
Figura 3.1: Representação de um vector.
A maioria das grandezas mecânicas são representáveis por vectores e por isto o
instrumento matemático se baseia nas operações vectoriais.
Outras ainda são grandezas físicas tensoriais. Uma grandeza tensorial definida
num espaço tridimensional de ordem n tem 3
n componentes. Para representar o
estado de tensão e deformação em torno de um ponto em 3D usa um tensor de 2
a
ordem ( 3
2
). Definem-se (num espaço tridimensional):
- escalar: o tensor de ordem 0, com 3
0 = 1 componentes;
- vector: o tensor de primeira ordem, com 3
1 = 3 componentes;
- tensor: o tensor de segunda ordem, com 3
2
= 9 componentes;
Em geral, num espaço de ordem m um tensor de ordem n tem m
n componentes.
8 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
3.2 Sistemas de vectores
Os vectores podem ser classificados em:
- vector aplicado ou fixo: não pode ser movido sem modificarem as condições
do problema. Exemplo - peso das várias partículas.
- vector deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao longo da linha de
acção.
Casos particulares de vectores deslizantes:
- vectores iguais: mesma - intensidade, direcção e sentido - pode ser
diferente o ponto de aplicação.
- vectores opostos: mesma - intensidade, direcção - sentido oposto -
pode ser diferente o ponto de aplicação.
~a
~a
~a
−~a
vectores iguais vectores opostos
Figura 3.2: Vectores deslizantes: iguais e opostos.
- vector livre: pode mover-se livremente no espaço - o ponto de aplicação
pode ser qualquer ponto.
Os sistemas de vectores podem ser:
- sistema de vectores quaisquer;
- sistema de vectores concorrentes: aplicados num ponto - caso dos vectores
actuantes sobre uma partícula ou com linhas de acção concorrentes;
- sistema de vectores complanares: vectores contidos no mesmo plano;
- sistema de vectores colineares: têm a mesma linha de acção;
- sistema de vectores paralelos: têm as linhas de acção paralelas;
3.3 Operações vectoriais
3.3.1 Revisão das operações vectoriais básicas
Produto por um escalar Definição: C ~a = ~a C, onde C pode ser zero, positivo
ou negativo.
O resultado é um vector da mesma direcção e ponto de aplicação.
10 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
Operações não permitidas : adição de um escalar e um vector, divisão de dois
vectores.
3.3.2 Decomposição de um vector em direcções concorrentes
Qualquer vector pode ser decomposto em duas ou mais componentes desde que
tenham o mesmo efeito.
A decomposição de um vector segundo duas direcções concorrentes pode ser feita
utilizando a regra do paralelogramo (triângulo) de forma inversa.
O
O
b) a)
~a
~a
~ b
~c
~ b‘
~ c‘
Figura 3.6: Decomposição de um vector em duas direcções concorrentes
~a =
b + ~c =
b
′
c
′
Casos:
- Conhecem-se as direcções de acção dos vectores componentes 3.3.2.a;
- Conhece-se um dos vectores componentes 3.3.2.b;
- As direcções de acção dos vectores componentes são perpendiculares.
A utilização da regra do paralelogramo (triângulo) requer o uso de trigonometria
(lei dos Senos ou dos Cosenos) ou a resolução gráfica.
b
α
β
γ
a c
β α
β
α
- Triângulo: - Soma dos ângulos: α + β + γ = 180
◦
;
- Lei dos Senos:
a
sin α
b
sin β
c
sin γ
- Lei dos Cosenos: c
2
= a
2
2
− 2 a b cos γ;
Caso particular γ = 90
◦
⇒ Lei da Pitagora.
- Paralelogramo: - Soma dos ângulos: 2 α + 2 β = 360
◦
;
3.3. OPERAÇÕES VECTORIAIS 11
3.3.3 Exemplos de operações vectoriais
Problema 3.1 Adição de dois vectores:
F =
F
1
F
2
a) b)
c)
15
o
~ F 1
= 60N
~ F 2
= 30N
20
o
15
o
15
o
~ F 2
20
o
α
β
α
~ F 2
~ F
~ F 20
o
γ
~ F 1
~ F 1
Resolução:
- Graficamente: desenhar a escala, usar a regra de paralelogramo e me-
dir |
F |
- Resolução trigonométrica: γ =
360 − 2 [90 − (20 + 15)]
◦
F | - Lei dos Cosenos: |
F | =
F 1 |
2
F |
2
2
F | 1 |
F | 2 cos γ
F | =
2
2 − 2 60 30 cos 125
◦ = 81. 02 N
- β - Lei dos Senos:
F |
sin γ
F | 2
sin β
⇒ β = 17. 25
◦
- Direcção do |
F : α = 90 − (
◦
- β) = 90 − 37 .65 = 52. 34
◦
Problema 3.2 Uma jangada é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das
forças exercidas pelo rebocador for F = 22240 N dirigida segundo o eixo da
jangada, determine:
- a) a força de tracção instalada em cada uma das cordas, sabendo
que α = 45
◦
;
- b) o valor de α para qual a força de tracção instalada na corda 2 é mínima.
Resolução trigonométrica
a)
b)
30
◦
α
1
2
α = 60
◦
~ F
30
◦
45
◦
~ F
~ F 1
~ F 2
~ F 2
30
◦
~ F 1
A (^) B A B
3.3. OPERAÇÕES VECTORIAIS 13
~a = ~a x
= |~a x
|~e x
|~e y
= a x
~e x
~e y
|~a| =
a
2
x
2
y
onde ~e x
, ~e y
e ~e 1
, ~e 2
são versores do referencial xOy (x 1
Ox 2
) segundo os eixos
(x, y) e x 1
, x 2
), respectivamente.
3.3.5 Componentes Cartesianas de um vector no espaço
O referencial Cartesiano é um referencial direito - aplica-se a regra da saca-rolha
ou da mão direita.
O
~e x
y
z
x
O
~e 3
x 3
x 1
x 2
O
~ez
z
x
y
saca − rolhas
~e y
~ex
~ez
~e y
~e 2
~e 1
Figura 3.8: Referencial Cartesiano
As componentes do vector ~a no espaço seguindo as direcções do referencial Car-
tesiano são: ~ax,~ay,~az.
~ez
~e y
~ex
x
O
~ax
~ay
~az
~a
z
y
x
z
y
~ey
~e z
O
~a
~e x
θ z
θx
θy
Figura 3.9: Componentes Cartesianas
~a = ~a x
= a x
~e x
~e y
~e z
14 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
|~a| =
a
2
x
2
y
2
z
Um vector no espaço necessita três ângulos para definir a sua direcção: θ x
, θ y
e θ z
medidos partir da direcção positiva dos eixos.
a x
= |~a| cos
(~a, x) = |~a| cos
(~a, ~e x
) = |~a| cos θ x
a y
= |~a| cos
(~a, y) = |~a| cos
(~a, ~e y
) = |~a| cos θ y
a z
= |~a| cos
(~a, z) = |~a| cos
(~a, ~e z
) = |~a| cos θ z
onde se verifica a relação: cos
2 θ x
2 θ y
2 θ z
Se
λ a
for o versor do vector ~a com os cosenos directores cos θ x
, cos θ y
, cos θ z
então é possível expressar esse vector com a ajuda do seu versor:
~a = |~a|
λa
O versor do vector ~a obtêm-se:
λ a
~a
|~a|
|~a| cos θ x
~e x
~e y
~e z
|~a|
λ a
= cos θ x
~e x
~e y
~e z
3.3.6 Vector definido pela sua intensidade e por dois pontos da
sua linha de acção
O vector
F é definido se conhece sua intensidade |
F | e pelo menos dois pontos da
sua linha de acção AB.
x
y
~e y
O
~e ~ex z
dx
d y
dz
~ F
A(xA, yA, zA)
B(xB , yB , zB)
z
~ λAB
Figura 3.10: Vector definido pela intensidade e linha de acção
16 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
Problema 3.4 Uma força de 500 N forma os ângulos de 60
◦
, 45
◦
e 120
◦
, respec-
tivamente com os eixos x, y, z_. Determine as componentes_ F x
, F
y
e F z
Resolução
~e y
~e z
O
~e x
θz
θx
θ y
~ F
~ Fy
~ F x
~ F z
z
x
y
|
Fx| = |
F | cos 60
◦
= 500
= 250N
Fy| = |
F | cos 45
◦
= 500
= 354N
Fz | = |
F | cos 120
◦
= 500
| = − 250 N
Problema 3.5 Determine a direcção e o sentido da força:
F = 320 ~e x
250 ~e z
[N]
Resolução: F x
= 320 N; F
y
= 400 N; F
z
= − 250 N;
F | =
F
2
x
+ F
2
y
+ F
2
z
2
2
2 = 570 N
cos(
F , x) =
F
x
F |
= 0.561; ⇒ θ x
◦
cos(
F , y) =
Fy
F |
= 0.701; ⇒ θ y
◦
cos(
F , z) =
Fz
F |
= − 0 .438; ⇒ θ z
◦
λ F
= 0. 561 ~e x
− 0. 438 ~e z
~ey
θx
- 56
y
~ F
x
~ez
z
O
- 70
~e x
θz
θy
- 44
~ λF
Problema 3.6 Uma placa rectangular é suportada por três cabos. Sabendo que
a força de tracção instalada no cabo AB é de 408 N , determine as componentes
da força exercida na placa em B.
Resolução
A força
F tem direcção B → A e será decomposta segundo as direcções x, y, z_._
As coordenadas dos pontos que definem a linha de acção são: A(0; 480; 0) e
B(−320; 0; 360)
3.4. PRODUTO INTERNO OU PRODUTO ESCALAR 17
130 320 450
~ex
C
D
A
x
x
480
B
C
D
A
y y
360
360
z
z
~ez
~ey
~ F
~ Fy
~ Fx
~ F B z
F = |
F |
λ BA
BA = |
BA|
λ BA
BA = 320~e x
− 360 ~e z
BA| =
2
2
2 = 680 mm
F = |
F |
BA
BA|
~e x
~e y
~e z
= 192~e x
− 216 ~e z
F
x
= 192 N; F
y
= 288 N; F
z
= − 216 N;
3.4 Produto interno ou produto escalar
O produto interno a dois vectores dá um escalar e o resultado é obtido:
~a ·
b = |~a||
b|cos(~a,
b) = ab cos α.
Propriedades:
b =
b · ~a
- distributiva em relação ao adição: ~a · (
b + ~c) = ~a ·
b + ~a · ~c
- multiplicação por um escalar: C(~a ·
b) = (C~a) ·
b
O produto interno é utilizado para determinar as componentes escalares de um
vector segundo uma direcção dada (projecção) e o ângulo entre dois vectores.
Exemplo - componentes escalares Cartesianas.
~e x
· ~e y
= 1 · 1 cos 90
◦
= 0; ~e x
· ~e x
= 1 · 1 cos 0
◦
= 1
- componentes Cartesianas (projecções na direcção dos eixos do referencial):
F
x
F
x
|~e x
F
x
F
x
· ~e x
F | cos α
F
x
| = proj x
F =
F
x
· ~e x
3.5. OPERAÇÕES BÁSICAS VECTORIAIS 19
3.5 Produto vectorial a dois vectores ou produto ex-
terno
O resultado da operação é um vector e é obtido por:
~c
~ b
α
~a
Definição:
~c = ~a ×
b
O vector ~c têm caracter diferente do vector que lhe deu origem, isto do vector
b, o
que graficamente será representada por uma recta orientada com seta dupla.
3.5.1 Produto vectorial a dois vectores
Os elementos que definem o vector resultante são:
- intensidade (módulo ): |~c| = |~a ×
b| = |~a||
b| sin (~a,
b) = |~a||
b| sin α
o ângulo α representa o menor ângulo entre os vectores ~a e
b.
- direcção : direcção perpendicular ao plano formados pelos vectores ~a e
b.
- sentido : pela regra da saca-rolha ou regra da mão direita.
Pela regra da saca-rolha o sentido do vector ~c coincide com o sentido de
progressão de uma saca-rolhas que rodasse acompanhando o movimento de
rotação que levaria o primeiro vector do produto externo ( ~a) a ir a ter com
o segundo vector (
b)
Propriedades:
b 6 =
b × ~a; ~a ×
b = −(
b × ~a)
- distributiva em relação ao adição: ~a × (
b + ~c) = ~a ×
b + ~a × ~c
- multiplicação por um escalar: C(~a ×
b) = (C~a) ×
b = ~a × (C
b)
O produto vectorial é utilizado para calcular o momento de um vector em relação
a um ponto e identificar um vector perpendicular a dois vectores complanares.
Exemplo - vectores base do referencial Cartesiano (referencial direito) Os vectores
base do referencial direito obedecem as seguintes regras:
~ez = ~ex × ~ey ; ~ex = ~ey × ~ez ; ~ey = ~ez × ~ex
~e x
× ~e x
= 0; ~e y
× ~e x
= −~e z
20 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
O
~ez
~e y
~ex
z
x
y
Produto externo expresso em termos de componentes Cartesianas
Seja o vector ~a e
b expressos em componentes Cartesianas:
~a = ax~ex + ay~ey + az~ez ;
b = bx~ex + by~ey + bz~ez
O produto externo é:
~c = ~a ×
b =
~e x
~e y
~e z
a x
a y
a z
b x
b y
b z
ay az
b y
b z
~e x
az ax
b z
b x
~e y
ax ay
b x
b y
~e z
~c = ~a ×
b = (a y
b z
− a z
b y
)~e x
b x
− a x
b z
)~e y
b y
− a y
b x
)~e z
O produto externo é usada para calcular o momento de um vector em relação a
um ponto.
Se o vector representa uma força, então o momento é a capacidade de rotação de
uma força.
3.6 Momento de uma força em relação a um ponto
O vector momento é um vector fixo , pelo que varia com o ponto em relação
ao qual se calcula. O momento de uma força
F em relação a um ponto O, é a
capacidade de rotação de força em torno do ponto representado por
MO, sendo a
unidade [F m].
M
O
= ~r ×
F
onde ~r é o vector posição do ponto de aplicação do vector
F relativamente ao
ponto O.
A vector momento pode ser obtido através do produto vectorial (Secção 3.5.1),
determinando a sua intensidade, direcção e sentido ou utilizando a expressão ana-
lítica, produto externo (Secção 3.5.1) obtendo as componentes segundo os eixos
coordenados.
22 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
- O momento de um vector em relação a um ponto é nulo sempre que a linha
de acção do vector passe pelo ponto em causa, sendo os vectores ~r e
F
colineares (α = 0).
- O momento de um vector varia escolhendo um outro ponto em relação ao
qual se calcula.
O momento relativamente ao ponto O é dado por:
M
O
= ~r OA
×
F
~ F
O
~ M O
~rOA
Q
~ MQ
~ MP
A
~rP A
P
Figura 3.13: Variação do momento de uma força em relação a um ponto
Escolhendo um ponto P , o momento em relação a esse ponto será:
MP = ~rP A ×
F = (~rOA −
OP ) ×
F =
MO −
OP ×
F
Como
OP = −
P O:
MP =
MO +
P O ×
F (3.1)
A equação (3.1) representa a propagação dos momentos, com a mudança do
ponto relativamente ao qual se deseja calcular o momento.
Observação: Se o ponto (Q) for numa linha paralela a linha de acção da
força, o momento relativamente a esse ponto
MQ =
MO ( o vector
QO e
F
ficarão paralelas ou colineares).
- O momento resultante de várias forças concorrentes relativamente a um
ponto é igual à soma dos momentos das várias forças relativamente a esse
ponto.
~r × (
F
1
F
2
F
n
) = ~r ×
F
1
F
n
= ~r ×
R
Esta relação que representa a propriedade distributiva é a Teorema de Va-
rignon.
3.6. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO 23
3.6.1 Exemplos de cálculo de momento de uma força em rela-
ção a um ponto
Problema 3.8 Sabendo que a força de intensidade F = 600 N e com linha de
acção BC , determine o momento em relação ao ponto A_._
x
z
y
~ F
B(0, 8 , 0)
O
3 m
~rAB
4 m
A(4, 0 , 3)
~ MA
~rAC
C(0, 0 , 6)
Resolução:
M
A
= ~r AC
×
F
F = |
F |
λ BC
2
2
(− 8 ~e y
+6~e z
) ; ~r AB
= (0−4)~e x
+(8−0)~e y
+(0−3)~e z
M
A
= ~r AB
×
F =
~e x
~e y
~e z
= 1440~e x
Em alternativa o momento da força
F em torno do ponto A pode ser calculada
utilizando o vector de posição ~r AC
, deslizando o vector
F ao longo da linha BC
com ponto de aplicação em C_._
M
A
= ~r AC
×
F ; ~r AC
= (−4)~e x
MA =
~e x
~e y
~e z
= 1440~ex + 1440~ey + 1920~ez
3.6. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO 25
[mm]
x
B
70
◦
102
A
y
x
d
B
102
A
y
~ P ⊥
457
~r C BC
~ F
C
~ β P
~ P‖
70
◦
~r BA
10
◦
MB | = |~rBC ||
F | sin 90
◦
= 0. 102 × 890 = 90.78 [Nm]
- direcção: direcção do eixo z (perpendicular ao plano xOy )
- sentido: sentido horário ( −~e z - pela regra de mão direita).
b) A intensidade da força
P aplicada no ponto A para
M
B
= 90.78 [Nm] :
M
B
= ~r BA
×
P
o
Pelo produto externo
P = P cos 10
◦
~ex − P sin 10
◦
~ey
~r BA
= − 0 .457 cos 70
◦
~e x
◦
~e y
= − 0. 156 ~e x
M
B
~e x
~e y
~e z
P cos 10
◦
−P sin 10
◦
0
= − 90. 78 ~e z
[Nm]
P =
(0. 156. cos 10
◦ − 0 .429 sin 10
◦ )
= 229.374[N]
o
Pelo produto vectorial:
M
B
| = |~r BA
P | sin β = 0. 457 P sin 60 = 0. 474 P = 90.78 [Nm]
M
B
| = |~r BA
P | sin β = 0. 457 P sin 60 = 90.78 [Nm]
P =
0 .457 sin 60
= 229.37 [N]
o
Decompor a força
P em duas componentes, uma paralela com a di-
recção AB (
P
‖
) e outra perpendicular a AB (
P
⊥
), sendo:
P =
P
‖
P
⊥
Aplicando a teorema de Varignon:
26 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE VECTORES
M
B
= ~r BA
×
P = ~r BA
× (
P
‖
P
⊥
) = ~r BA
×
P
‖
︸ ︷︷ ︸
=0 (sin 0=0)
+~r BA
×
P
⊥
M
B
= ~r BA
×
P
⊥
M
B
| = |~r BA
P
⊥
| = 0. 457 P sin β
P =
0 .457 sin 60
= 229.37 [N]
c) A menor força que produz o mesmo momento (ver alinha b) − 3
o ), se obtêm
no caso em que
P =
P
⊥
, isto é sin(~r BA
P ) = 1
M
B
| = |~r BA
P | = 0. 457 P ; ⇒ P =
= 198.64 [N]
3.7 Produto misto a três vectores
Entende-se por esta operação um produto interno e um produto externo, sendo o
resultado um escalar e é usada para calcular o momento de um vector em relação
a um eixo.
~c · (~a ×
b) = ~c ·
~ex ~ey ~ez
a x
a y
a z
b x
b y
b z
cx cy cz
a x
a y
a z
b x
b y
b z
3.8 Momento de uma força em relação a um eixo
O momento de uma força
F em relação a um eixo definido por um versor
λ, é a
projecção do vector momento sobre o eixo, obtido em relação a um ponto desse
eixo M λ
O momento do vector
F em relação a um eixo representa a tendência que a força
impõe para a rotação em torno desse eixo.
M
λ
= proj ~ λ
M
O
onde O é um ponto no eixo (e) de versor
λ. O momento Mλ é obtido por um
produto misto:
M
λ
λ ·
M
O
λ · (
OA ×
F )
