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Cap. 01: Introdução
Este capítulo apresenta os objetivos e a organização do curso. Serve também para discutir as leis que guiarão nossos estudos (regras do jogo). Aqui definiremos os limites teóricos do texto bem como nomenclaturas que no meu modo de ver ajudam a dividir o seu entendimento. XXX seções são usadas com esta finalidade. A primeira seção responde o objetivo do curso a partir das perguntas básicas: o que é, para que serve e como usá-lo. A seção número dois indica quais conhecimentos prévios se deve ter para melhorar aproveitá-lo.
1. INTRODUÇÃO E HIPÓTESES BÁSICAS A seguir são postas algumas perguntas com suas respectivas respostas que contextualizem o leitor.
1.1. O que é este curso Este curso é uma tentativa de difundir e facilitar a compreensão do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) a partir da sua aplicação em problemas de análise de estruturas. Ao longo de toda sua extensão será usado apenas o Sistema de Coordenadas Cartesiano ( x, y, z ). 1.2. Para que serve este curso Tem como intuito servir a estudantes (de graduação e pós-graduação) e engenheiros que tenham tido, assim como o autor, dificuldades na compreensão dos assuntos mais básicos, como por exemplo, método da carga unitária, deslocamentos prescritos, apoios elásticos e variação de temperatura. 1.3. Qual conhecimento prévio se deve ter Deve se saber conceitos como: equações de equilíbrio, reações de apoio, princípio da conservação de energia e conhecimento na construção de diagramas de esforços de estruturas isostáticas. Os três primeiros tópicos são vistos em disciplinas como Mecânica Geral e/ou Física Fundamental 1; já o último deve ter sido visto no curso de Análise de Estrutura Isostática. O conteúdo matemático deste curso é restrito apenas as operações básicas de soma, produto e algumas operações matriciais. Exceto para justificar a aplicação da
tabela de Kurt-Bayer, NÃO aparecerão integrais de qualquer tipo!! Quando necessitar resolver um sistema de equações com mais de três variáveis se recomenda o uso de um programa de matemática simbólica. 1.4. O que não esperar deste curso Este curso evitará ao máximo o uso de textos com abordagens históricas e elucidativos sobre a construção e aplicação de modelos estruturais. Também não há explicação sobre o que aconteceria se as hipóteses que adotamos não fossem usadas. Essa abordagem é usada tanto para facilitar o uso deste material quanto por julgar que já existem publicações com essas finalidades suficientemente bem estabelecidas. 1.5. Como usar Recomenda-se fortemente o que tradicionalmente se faz ao se estudar um conceito novo. Faça as contas você mesmo. Para isso, aceite duas dicas: 1) use um programa de matemática simbólica para fazer as contas por você, por exemplo (mathcad, matlab, maple, etc) use um programa de análise de estruturas (eu usei o FTOOL para verificar os exemplos que estão aqui). 1.6. Qual objeto de estudo Nosso objeto de estudo é estudar estruturas compostas por elementos planos retos reticulados com seções transversais constantes sujeitas à variação de temperatura, apoios elásticos, recalques de apoio e submetidas a cargas distribuídas constantes e concentradas. Mais especificamente, estudaremos vigas, pórticos, grelhas e treliças. Para conhecimento de mais modelos estruturais, veja Soriano [1].
2. DEFINIÇÕES DO PROBLEMA DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS A PARTIR DE UMA DIVISÃO DE ESCALAS (SISTEMAS DE COORDENADAS) O engenheiro estrutural se preocupa, principalmente, com duas grandezas físicas: forças, deslocamentos e a relação entre elas. Essa duas quantidades físicas são grandezas vetoriais e seus efeitos na estrutura são separados de forma automática ao longo dos cursos de graduação. Normalmente os sistemas de coordenadas Global e Local só são apresentadas ao aluno em disciplinas como Análise Matricial de Estruturas e Elementos Finitos, que na maioria dos cursos são optativas. Por esta razão que se apresenta logo no começo do curso esses sistemas. Além da separação tradicional, adiciona-se um terceiro sistema, denominado aqui de Sistema de Coordenadas Infinitesimal.
entender o próprio conceito formal de tensão como o limite da razão entre o esforço normal ou cortante e uma área interna de um sólido quando esta área tende à zero, o que matematicamente pode ser escrito por:
(^) j
i ij (^) A A
N
lim j 0
onde os índices i e j indicam que tanto o esforço como a área podem ser tomados em referência a qualquer uma das três coordenadas do sistema de coordenadas Cartesiano. A própria ideia de limite aí já nos leva ao conceito de infinitésimo (nada mais apropriado usar o termo que define nome da escala). Como indicado na seção 1. espera-se que o leitor já tenha visto que toda componente de tensão [] tem associada uma componente de deformação []. Portanto, nesta escala, “forças” são denotadas por [] e “deslocamentos” por []. Essa escala aparece para o estudante de engenharia, durante sua graduação, nas disciplinas de Resistência dos Materiais. Na pós graduação, em geral, essa escala aparece em disciplinas como, por exemplo, Teoria da Elasticidade. A Figura 1.1 apresenta um resumo das três escalas definidas anteriormente.
Figura 1.1 – Divisão do problema de análise de estruturas em três escalas, notar a representação de forças a partir de setas e de momentos por setas de ponta dupla.
Note que a escala global contém a estrutura com todas as informações para descrever seu comportamento, tais como: cargas e vínculos. A escala local descreve o comportamento de cada elemento da estrutura (3 neste exemplo). Cada elemento é definido pelos nós inicial ( I ) e final ( J ). Normalmente, a origem do sistema local
coincide com o nó I , em que e coordenada xL descreve o comprimento da barra e tem sua origem no centro de gravidade (CG) da seção esquerda. Já na escala infinitesimal, tem-se um elemento infinitesimal de área (d A ) em uma seção interna da barra. Este elemento infinitesimal de área é caracterizado pelo seu vetor normal ({ n }). Nela atuam os esforços infinitesimais (d N, d V, d M e d T ), cuja combinação feita pela equação (1.2) resultam em tensões diferentes. Nesta escala aparecem informações sobre as propriedades dos materiais presentes na estrutura. Observação 1.2: os termos forças e deslocamentos usados na definição das três escalas podem ser tanto forças e deslocamentos como também momentos e rotações!
2.4. Equilíbrio em cada escala. A equação (1.1) é aplicável em cada escala. Quando usada na escala global, ela pode ser usada para verificar reações de apoio e com isso verificar o equilíbrio da estrutura como um todo. Quando NÃO há variação do esforço normal e nem deformação cisalhante, o uso da equação (1.1) na escala local fornece relações que são decoradas ao longo de todo curso de engenharia, as quais são:
(^) dd .
dd , V x xM x
qx xV x
onde q ( x ) é a carga externa distribuída e perpendicular ao eixo do elemento reticulado, V ( x ) e M ( x ) são respectivamente, o esforço cortante e o momento fletor. Na escala infinitesimal, a aplicação da equação (1.1) resulta em equações que pouco são exploradas ao longo da graduação. Quando vistas, são rapidamente apresentadas em cursos de Resistência dos Materiais ou em optativas como Introdução ao Método Elementos Finitos. Contudo, elas são fundamentais em disciplinas como Teoria da Elasticidade. Essas equações são:
, , 0 ,
^
x x y y x y^ Y
x x y y x y X xy yy
xx xy
onde X e Y são forças de corpo (peso é um exemplo deste tipo de força) e xx^ e^ yy são
as componentes de tensão normais na direção x e y e xy é a tensão cisalhante. As
componentes de tensão para o elemento reticulado são obtidas da seguinte forma:
ainda a abordagem de se obter os campos de deformações). Contudo, na abordagem utilizada no nível de graduação, temos (relembrando os passos) que verificar o equilíbrio global. A partir das forças externas (cargas atuantes e reações de apoio) obter a variação dos esforços e finalmente, em seguida, determinar as tensões e deformações ao longo de cada elemento que compõe a estrutura reticulada. Utilizando a lógica ilustrada no quadro anterior, apresenta-se a seguir como se alteram as informações de força de uma escala para outra. Partindo da escala global, passando pela local e finalmente obtendo a infinitesimal. A Figura 2 mostra em esquema da análise de estrutura nas escalas global e local. Notar que se convencionou os esforços (forças na escala local) com setas tracejadas.
Figura 1.2 – Detalhamento das escalas global e local.
A Figura 1.2 apresenta na escala global uma estrutura isostática com apoios que impedem deslocamento de corpo rígido. Na parte superior do lado esquerdo se mostra o mesmo problema com a substituição dos apoios pelas suas respectivas reações (destacadas em vermelho e com traço nas setas e curvas para indicar que se tratam de reações). As reações de apoio são obtidas a partir da equação (1.1). Também são mostradas a carga distribuída qX(Y) que atua na direção X global mas que varia na
direção Y global, uma carga concentrada no meio da barra inclinada e um momento concentrado no canto superior direito (momento representado por curva). Na escala local, parte superior direita, identifica-se um elemento genérico e com seus nós inicial I e final J em que se deseja obter os esforços na seção S distando x do nó I. A parte imediatamente abaixo mostra dois cortes ( “]” e “[“ ) na barra separando-a em dois lados. No lado esquerdo aparecem os esforços normal, cortante, fletor e torçor ( N , V , M e T ) respectivamente. Do outro lado estão os esforços N’ , V’ , M’ e T’ que podem ser expressos por:
d ,
d ,
d ,
d ,
T T T
M M M
V V V
N N N
ou seja, as grandezas com superescrito ' indicam os esforços obtidos a uma distância x
do nó I com possíveis variações ao se mudar d x de posição. Na parte de baixo apresenta-se um elemento infinitesimal de comprimento d x que interliga os dois lados do elemento e. Aqui vem o ponto chave de toda argumentação em favor da lógica fundamental da análise de estrutura adotada, por isso destacaremos ela na observação abaixo. Observação 1. 4 : a estrutura apresentada tem um determinado arranjo de vínculos (apoios) que faz com que toda a estrutura esteja em EQUILÍBRIO. Portanto, cada parte de cada elemento também estará!!
Conforme se viu, a verificação do equilíbrio é feito a partir da aplicação da equação (1.1). Na escala global ela nos fornece as reações de apoio (se a estrutura for isostática). Na escala local, quando aplicada no elemento infinitesimal de comprimento d x ela nos fornece as relações apresentadas na equação (1.3). Quando aplicada nos lados de qualquer elemento separados pela seção S , a equação (1.1) fornece o esforços ao longo do elemento em função das cargas externas. Genericamente, no exemplo da Figura 1.2, teriam-se os seguintes esforços em um elemento e: (Y), , .
(Y), , ,
(Y), , ,
(Y), , ,
4 X
3 X
2 X
1 X
T f q P M
M f q PM
V f q PM
N f q PM
As relações entre as forças nas escalas local e infinitesimal são obtidas pelas seguintes equações:
cortante, usa-se a área da seção transversal com um fator de correção (ver Timoshenko para mais detalhes). Momento fletor: assume-se que o elemento reticulado se curva como um arco de círculo ao ser fletido. Consequentemente, tanto a deformação quanto tensão axial variam linearmente ao longo de qualquer seção do elemento. A deformação e tensão normal são nulas na linha neutra (linha que NÃO muda de comprimento após o elemento curvar). Portanto, a tensão normal varia com a distância y de
um elemento infinitesimal de área até a linha neutra, ou seja, xx By com B
sendo uma constante a ser determinada. Momento torçor: assume-se que a tensão cisalhante varia linearmente do centro da seção transversal circular (*destacar que não usaremos torção em elementos que não tenham seção transversal circular) até um elemento infinitesimal de área que está sendo analisado. Esta tensão cisalhante é colocada em função do raio R da seção, da distância genérica e da máxima tensão cisalhante (^) MAX que ocorre nos bordos da seção (em R ).
Substituindo as hipóteses anteriores na equação (1.9), tem-se que:
T R J
M B I
V A
N A
MAX
z
xy
xx
onde A é a área da seção transversal com seu valor corrigido, B é uma constante a ser
determinada,
z (^) A
I y^2 d A e
A
J ^2 d A. Abaixo se faz uma observação importante.
Observação 1.5: a flexão ocorre em torno do eixo zL (eixo perpendicular ao plano xy do papel) e a torção ocorre em torno do eixo xL. Além disso, a primeira equação, de N , é válida quando só há a solicitação axial.
Isolando B e MAX na terceira e quarta equações de (1.10), obtêm-se as
expressões das componentes de tensão conhecidas de Resistência dos Materiais:
J
T
I
M y xx z
^
2.7. Transformações de deslocamentos entre as escalas. A partir do conceito de diferencial total, tem-se que:
d u xx d x ,onde xx limd x 0 dd ux , (1.12)
onde xx é deslocamento na escala infinitesimal e a integral de d u é o deslocamento na
escala local. Em peças carregadas axialmente, em geral, se adota deformação constante ao longo de toda peça (ver livros de Resistência dos Materiais para mais detalhes). Como resultado, tem-se que:
u x uJ uI xx L
L xx
u u
J I
^ ^ ^
0
d d , (1.13)
onde uI e uJ são os deslocamentos do nó I e J. Definindo a diferença entre os deslocamentos como u uJ uI , tem-se que:
L
u xx
^
que é a fórmula aprendida em cursos de Resistência dos Materiais para se definir deformação específica. Para o caso de barras retas fletidas a relação cinemática que se usa é dada por: dd (^1) , x r
onde r é o raio de curvatura. Como na teoria de flexão, usa-se a hipótese de que a
barra se deforma como um arco de círculo, viu-se que a deformação axial varia linearmente com a altura do ponto da seção em relação à linha neutra, resultando em:
, xx r
y
ou seja:
xx y dd^ x. (1.17)
