Estatística Aplicada, Exercícios de Estatística Aplicada

Baixe Estatística Aplicada e outras Exercícios em PDF para Estatística Aplicada, somente na Docsity! Aula de 31/10/2014 Esta é a parte final da aula. Resolução do exercício de formulação da página 4 da Sebenta Formulação do problema de programação linear 1) Definir as variáveis de decisão: xy D Nºde camiões a fabricar por semana x2 D Nº de automóveis a fabricar por semana 2) Definir a função objectivo: Maximizar o lucro =9.000x + 6.000x, $ 3) Definir as restrições: Rj [5x + 2x3 <180dias, limitações da secção de montagem R$ 43x +3x2 < 135 dias, limitações da secção de acabamentos x1;X2 20, condição de não negatividade Resolver o problema de programação linear (método gráfico — 2 variáveis) SBA D conjunto das soluções básicas admissíveis Solução óptima: solução admissível que optimiza a função objectivo Como o ponto zero substituindo o x, eo x,, satisfaz as condições das duas rectas, ou seja é menor ou igual as setas são no sentido do zero. 5x +2x2 = 180 3x +3x9 =135 Rj R, x x x x 0 90 0 45 36 0 45 0 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Teorema 1: O conjunto de todas as soluções admissíveis é convexo. Teorema 2: A Função Objectivo atinge o seu máximo ou mínimo (solução óptima) num ponto extremo do poliedro convexo das SBA. No caso da função assumir o óptimo em mais do que um ponto extremo, toda a combinação convexa destes pontos extremos será uma solução óptima. Função Objectivo: 9000x, + 6000x, = L x x2 L 0 0 0 6000 -9000 0 -6000 9000 0 60 -90 0 20 -30 0 Cálculo do ponto B, onde se intersectam as rectas 1 e 2: Ry [5x +2x, = 180 x =30 > R, [3x +3x = 135 0- 9000 + 45 - 6000 = 270000 w=1 Cálculo da Solução Óptima: Pontos x x2 L O 45 270.000 9000-0+6000- 45 = 270000 30 15 360.000 9000 -30 +6000-15 = 360000 36 O 324000 9000-36 + 6000-0 = 324000 0.0 0 9000 - 0 + 6000 -0 = O x, =30 camiões voam Portanto a Solução Óptima é: 4 x, = 15 automóveis L=360.000 2/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 2) Definir a função objectivo: Minimizar o custo = 20x, +30x, 8 3) Definir as restrições: R, |300x, + 400x, > 400, quantidade mínima de calorias da dieta R$ 4 28x, + 8x, < 28, quantidade máxima de gordura na dieta X1:% 20, condição de não negatividade Como o ponto zero substituindo o x, eo X,, satisfaz as condições da recta dois, pelo que a seta é direccionada no mesmo sentido do maior ou igual, no caso da recta um, não satisfaz as condições, pelo que a seta é direccionada no sentido contrário do sentido menor ou igual. 300x, + 400x, = 400 28x +8x, =28 R R, 4 %2 4 %2 0 1 0 7/2=3,5 4/3=1,33 0 1 0 Função Objectivo: 20x, +30x, =€ x ES) c 0 0 0 3 2 0 5/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Cálculo da Solução Óptima: Pontos | x x» Cc A o 72 105 20:0+30-7/2=105 20:0+30-1=30 20-10/11+30-7/22=27,7 B 0 1 30 Cc 10/11 7/22) 277 Cálculo do ponto C, onde se intersectam as rectas 1 e 2: Ry [300x, + 400x, = 400 x =10/11=0,91 > R, (28x, +8x, = 28 x =7/22=0,32 x, = 10/11 Kg de figado Portanto a Solução Óptima é: 4 x, =7/2 Kg de salsicha C=2718 6/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 07/11/2014 Estudo da Função (Generalidades) f:A>SB pb Aplicação de AemB A é o domínio da função (valores de x), em que a cada elemento se chama de “objecto”. Béo conjunto de chegada, e é o contradomínio da função (valores de y), em que a cada elemento de se chama de “imagem”. x> |y=f (6º) em que x é a variável independente e y a variável dependente. Função Real de Variável Real Os valores de x e de y são subconjuntos de IR. A função f é crescente Vxe lab), a <b: F(a)< f(b) A função f é estritamente crescente Vx € la, b) a<b: f(a)< f(b) Fog tb) 5 DR a Ha) 24 — — | —— ' TT TT o E A q 1 z 5 Função Estritamente Crescente A função f é decrescente Vxe la, bla <b: f(a)> f(b) A função f é estritamente decrescente Yx e la,bJa <b: f(a)> f(b) tt) 3 — 1 ' faj2 Eu Hb) 1 ' ' Ja q , T T Função Estritamente Decrescente 7/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 bj=as x=-avx=a,a>0 bh<as-a<r<asx>-avx<a bras x<-avx>a x2-2x+1 :sex2-2x+1>0 p2-20+]= 22041) sex? -2x+1<0 Função Exponencial Função Crescente Função Decrescente y=a” y=am * Afunção exponencial fx)=a',a> 0e a |, temas seguintes propriedades: 1. Afunção f é estritamente crescente para a > 1 e estritamente decrescente para0 <a < 1. O gráfico da função intersecta o eixo dos yys no ponto de coordenadas (0; 1). 3. A recta da equação y = O (eixo dos xx,) é uma assímptota horizontal do gráfico de f. A função não tem assímptotas verticais nem oblíquas. 4. O domínio de fé IR e o contradomínio é J0, +oo[. 5. Afunção fé injectiva (admite inversa). 6. A função fé contínua. A função exponencial admite uma função inversa: Função Logaritmo Resolva: (calcular o valor de x) 10/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 1) que Ls gr = 9 5 es? orH=261=2-16x=-"3 3 1/2 yet) Por os ps dors or 2103 2 2 2 39234 44.381 =666 [2.37 alocar ata ob a)s[4:38.0)-3.226, cofoat)(23º jeó6 os ttctdeltaeao a, 20) f)-108+ 198 SNS Ig! 96 3 =3b =? 9783 for 2 ) 2 2)= 36 for 8) (14) =3eo o [e ; se (4)=33-2”, substitui-se 2º pela variável auxiliar z, ou seja, 2º = =b+yb? -4ac f> : 8) (4) =33.726872-337+4= 0, através da fórmula resolvente à a (33) (-332 -4-8.4 33+/961 33+31 Sx= GS x= & 2.8 16 16 x=— x=4vx=d 8 Então: Poavriio nv De nt=atyvar cas e x=2vx=-3 2 11/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 11/11/2014 Exercícios de Exponenciais -2 97 4 go 7 e) DES LGUD gs 7H UA e4-2x-(2x-4)<06-2x-2x<-4-46 4x<BS4>861x>>61>2 6) 3X 43>4.3 63X -4.3%43> O, substitui-se 3º pela variável auxiliar t, ou seja, 3" =t 2 =btvb” —4a 2 -44+3> 0, através da fórmula resolvente RA O 2a (49) /(-4)2-4.34 4+4 4+2 6 x= x= Sx= Sx=>vx="6 x=3vx=1 21 2 2 2 = t>3 t-3 - - - 0 + t—1 - 0 + + + (t-3)-(t-1) + 0 - 0 Selecionando os intervalos que satisfazem a condição >0, fica: P-4+3>06t<lvt>3 Então: 3º <1v3" >363"<3/v3">3l 6 x<0vx>1 Função Logaritmo v=Logax a>1 0O<a>1 g=f IR! SIR g=fTiIR* SIR x,y=log,*,a>1 x ,y=log,* y=logux Oca<1 12/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aplicando logaritmos, vem: Log (xy) = Log (x)+ Log, (Y), c. q. m. D definição de logaritmo de um número Assim, por exemplo, Logs(27x9)= Log,27+ Log;9=3+2=5 Logaritmo de um quociente Repare que: 8 Log,8=3; Log,4=2; Loe:(5) =1=Log,8-log,4 O logaritmo do quociente é igual à diferença entre os logaritmos dos termos x Loga (5) =Logax— Logay Demonstração: x=al8a* also p definição de logaritmo de um número alºsar a alºsay = qlo8ar-Logay Log = =Logax-log, Y,c. qm. » definição de logaritmo de um número y Assim, por exemplo: Log !é =Log,16-Log,)2=4-1=3 Logaritmo de uma potência Repare que: Log,8=3; Log, 82)=6; Log,|82)=1=2L08,8=2x3=6 O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base. Logale? = ptogax Demonstração: Tem-se que x=alosa! 6 que xP = (lota x F. x=a plogax Aplicando logaritmos vem: Logalx? )= pLogax, como. q. m. Assim, por exemplo: Logos )- 5L0g,8=5x3=15 Mudança de base Repare que é possível calcular, por exemplo, Loga(5), usando logaritmos na base e. Seja: y=Log563=56h3=In5Syhn3=n5&y -— & y=1464973521 n De um modo geral, tem-se: Logdt)= e = 16 Logolo?)= Log; (1) & vLogo(a)= Logo(x) & Log (xx Logo(a) = Logy() 15/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Loga(x) Logp(a ) Logio(8) 0903089987 | Logyw(2) 0,3010298957 Assim: y = Loga(x) ou Loga(x) = Exemplo: Log, (8)= Exercícios: Logs8 = Logs(12)-2 1) Logs18+ Logs4- 2Logo8 = Loga(18-4)- 2Logo8 = Logs(12)- 2 La = 83 = Log372- Log38 = Logs = =Log39=2 2) Loss) —ALogs64 —Logsl6)= Loss) (ee) = Loss) altos E) = 5 21 Logsl6 5 2 16 = Logs(2)-Logs(5)- Logs(Va)= Logs(2)- Logs(5)- Logs(2)=-Logs(5)=—1 3) tm] = Logalt6? “oa)- Logals 2) 32 = Loga (16º )+ Log (l6a )- Logo(6º H Logo32)= =Logo(2*P + Logo (BS PP = tosse! P- toe PP = = Logo! 2) Logo(22)- Dodo + Logo(2º)= =12Log»(2)+ 2Loga(2)-15Logo(2) 2 Logo(2)- 1442415414 = - Exercício da Exponencial: Fr 16 aff + -1=0, substitui-se e pela variável auxiliar t, ou seja, = =b+Nb? = 4ac 2 +1-1=0, através da fórmula resolvente à a —1) -1+3 Sx= 2:2 4 2 1 Sx==vi="Sx=-Ivx=— 4 2 Então: EX =-|v e = +. mas e =-1 é impossível Assim sendo, e = &3r= Logos &3r= (5) e 3x=In()-In(2) 6 3x=0-In(2)& —In(2) 3 SS Xx= 16/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 14/11/2014 1º Frequência 17/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Ponto de Acumulação: a diz-se ponto de acumulação de um conjunto C sse em qualquer vizinhança de a, existe pelo menos um elemento de C diferente de a. Ponto isolado: a diz-se ponto isolado do conjunto C, se pertence a € e não é ponto de acumulação de C. Df = asju (a) * 4é ponto isolado de Df e 3é ponto de acumulação de Df * 1,99é ponto de acumulação de Df e -4é ponto de acumulação de Df º [-4:3] é o conjunto dos pontos de acumulação de Df 20/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 21/11/2014 Regras operatórias com limites Para determinar os limites de algumas funções pode recorrer-se a regras operatórias com limites. Demonstram-se os seguintes teoremas: Limite da função constante: Sefé a função constante, f(x)=k, então, para qualquer valorde ae IR, lim f(x)= lim k=k. «5a «5a Limite da soma: lim [f(x)+ g(x)]= lim f(x)+ lim g(x) «5a «5a «5a Limite do paia lim [f'(x) = lim Fx)x lim g(x) «5a «5a Limite do quociente: lim f(x) im (9 | xa o lim|——|=>"—, desde que ambos sejam nulos ou não infinitos. «5a, g(x) lim g(x) «5a Limite da potência: p lim [f(x)]? = [im f(x ] , pen. «5a Limite da raiz: dim yr DI= up tim fx | com lim f(x)>0, no caso de p ser par. x>a Vr «5a Convenções Indeterminações 0 k+to=to,comk£o — 0 kx(£00)=c0, com k £ co SD k —=o 0x oo 0 k a) co? = 00, com pe IN Nos =00, com pe IN Exercícios: | 1) lim x+1 =dt1 = 2 =oo, será mais ou menos infinito? | «5ld=x) 1-1 0 | Se a >0, então depende se é 0º ou 07, pois: A PA ot 0” (5) +12 , lim [> |= "== +oo — asmd=x) 1-1 0 —— a Como a>0 el=p=+ = / 21/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 . (a) +12 lim |>—— |= =| =-o ao rtd=a) 1-1" 0" Comola>0)e L =-o0 o Então não existe lim f(x), porque lim f(x)=-c e lim f(g)=+o. xo rot x 2) lim + a x5A4-x 4-0) 4-4 0 . x+1 2+1 3 a lim z|= =— =+oo, como a>0 elmp = +. 4-x 4-4 of 0 452 lim (5) 241.3 esotl4-sx2) 4-4t 0 Então não existe lim f(x), porque lim fl)= -c e lim fl)= +00, 52 x52* x527 a =-oo, como 4>0 e — =—00. 3) lim (3 +x+1)=(-c0) +(-c9)+ 1=—c000=—c0 xo Sefosse: tim (Sar )= (ros) +(t00)4+1=-+00400= +00 x +00 Indeterminações: +c0— 09 —co +00 Funções polinomiais: Teorema: Num limite de uma função polinomial f, quando x > too, é igual ao limite do termo de mais alto grau do polinómio. 22/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 24-62) (+2)=[i-2) [o+2 x—2 :x>2 == —(x—2) :x<2 pê-4 *) lim «52 x—2 e lim bop+2 lim (r-2)(1+2) lim (x+2)=2+2=4 x52* 1-2 x52* (2) x52* —9.lx +] —(x—2). eim AA im (D+ —(e+2)=-(2+2)=-4 x52 1-2 x52 (x—2) x52 Portanto não existe lim x52 x-2 25/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 25/11/2014 Indeterminações: 0-c0 Página 176 (Preparação Exame Nacional 2012 — Matemática A) D lim x . 1 =0. ES =0-00, indeterminação + x501 x 0 Yx . 0. a 5 lim — = o indeterminação +41 o. o 5) =—, indeterminação x5+02x)-2 Limites com Exponenciais e Logaritmos: Limites Notáveis: Ver páginas 74 e seguintes do Livro “Funções NI” X pet pe lim (+), x50 x x50 0 x a o Intx lim É =+00 com pe IN lim ( lo x + yP x>+o X Página 177 (Preparação Exame Nacional 2012 — Matemática A) e q D lim >—— 2 indeterminação = lim e. tim x50 x50 h + = lim é. lim x50 dh x50 150 h 26/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 +o 1 — +— = +oto=+o ot of . 1 1 [A . 4) lim =D — =—— =—, indeterminação x>5-ox.et oe” —o o Substituição da variável: t=-—x, ou x=-—t e lim = lim >, que é um limite notável, então —(+ E) =—oo asto-pel xos+o-t VER ESTE EXERCÍCIO NOVAMENTE + 5) lim x. elx =0.e/0 =0-.e'" =0.00, indeterminação 250? e . 1 lim —5= (5), considerando que —=t e -=x, com x506t5+0, que 1-2 2 Regra Cauchy: , 1 31n?(x+1) 3 3 31m?(x+1).— 2 tim Inn)" lim Una) ). lim xt gm 2H tim (+01) x50 2x 150 (2x) 150 2 150 2 250 Ax+1) = tim 32041) 31mM(O+ 0) am?) 3m?(1) 3:00 0 6 “50 AD o NOM) AD 21) 2/20 Resolvido por mim: 3 11 +1 lo tim 1 nle+) 1502 x 27/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 A função é contínua em Hos;ol porque é uma função é uma função exponencial; A função é contínua em Pro porque é uma função é uma função polinomial; Em resumo a função é contínua em Df porque é a soma de duas funções contínuas. Teorema de Bolzano-Cauchy ou teorema do valor intermédio: Seja: f(x) contínua em [a:b] e Fla)< f(c)< F(b), então Ice [a:b] tal que Flc)=k. Corolário: Se f(x) é contínua em [a:b] e Fla): f(b)<0, então Ice fa; b] tal que F(c)=05 zero da Junção. flo sbjeo o Fla)<04 f(b)>0 > Sinais contrários D f(x)= xelon(1? +) 1 Df =IR, porque [e + 3) é sempre maior que zero, logo o logaritmo é sempre possível em IR. Prove que: a) f(x) admite pelo menos um zero em Joul A função é contínua em IR porque resulta da soma de duas funções contínuas em IR, logo é contínua em o;1]. Para aplicação do Teorema de Bolzano: . 110)=0+ogs/0? 3) = logs5= log31-l0g33=0-1=-1 queé <O - f(D=1+ tos 3) =1+ logs 5= 1+0,262=1,262 que é >0 Como f(0)<O0 e f(0)>0, então Ice Jo;i[ tal que f(c)=0 > zero da função. b)f é contínua em [1:2]c IR Aplicação do Teorema de Bolzano: - f(- tetogº 3) - Irlogs5= 1+0,262=1,262 - s()= 2+o[2? 3) = 2+10g5 E 2+1,335=3,335 ace [1;2]: f(c)=2 30/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 fl)= 25 calcular o valor de x 2=x+108;[1? 3) s logs[4? 5) =2-16 los[2? 5) = ogs 8") 5 2 4x-2-L o «(rt)-Lox=Iva-? 3 3 3 3 er +26 Será esta a solução? 31/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 02/12/2014 Assíúmptotas do Gráfico de uma Função: o. lim f(x)=to,ou lim f(x)= to = Equação da Verticais | sat 1547 à=a Assímptota Assímptotas | Horizontais |, lim | 1h) =b,ou x lim ft) =b y=b da da Oblíquas . lim [y(o)- (mx + b) =0, ou . tim [()- (mx+ b) =0 Os gráficos de funções reais podem ter três tipos diferentes de assímptotas: verticais, horizontais e oblíquas, como se verificar pelos exemplos seguintes: Cada um dos gráficos apresenta duas assímptotas. yo Fig1 Fig2e Fig3 Assimptotas vertical e horizontal Assimptotas verticais e oblíquas Assíúmptotas Verticais: A recta de equação x=a é assímptota do gráfico de uma função f se e só se: lim f(x)=too ou lim f(x)=too x5a rat Ff y 9 y Il 1! | | I 1 1 1 1 4 / 0 al 0 a! 1 1 I 1 1 1 | 1 ! 1 Nos exemplos, a recta de equação x=a é assímptota dos gráficos das funções f, geh As assímptotas verticais do gráfico de uma função podem existir: * Em pontos de acumulação do domínio que não pertençam ao domínio Ex: os zeros do denominador de uma função racional * Em pontos que pertençam ao domínio mas onde a função não seja contínua Ex: funções definidas por ramos Para encontrar assímptotas verticais do gráfico de uma função f deve-se: 1º - Determinar os pontos a tal que a& Df oufnão é contínua em a; 2º - Calcular lim fl)= too e/ou lim fl)= too, obtendo, como resultado, +00 (ou — co), xa” x5a Exercícios não dados nas aulas: Sem recorrer à calculadora (mas confirmando o resultado posteriormente), escreva as equações das assímptotas verticais dos gráficos das funções definidas por: 32/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 g(x) Se lim g(x)=0, também lim SO 0, dado que L-=0 x + xo+o X +oo Assim também se verifica lim [y(x)- (mx + b) =0 e obtêm-se as equivalências seguintes: x +00 . b b . lim fo) md =0, note-se que x > +0, — 50, peloque lim fl) xote) X xo x +oo xo+o X O declive da assímptota é dado por m= lim fb) sem=0, aassímpiota é horizontal xt X Determinar o valor b de uma assímptota não vertical do gráfico de uma função Como lim [f(x)-(mx+b)]=0 X oo lim [f(x)-mx-b]=0 XxX +o lim Lx) — mx]- lim b=0, o limite de uma constante é a própria constante, então: x + x oo im [(0)-m= b A ordenada na origem da assímptota é dada por b= lim [f(x)- ms] xt Resumindo, podemos afirmar que se a recta de equação y=mx+b é assimpiota do gráfico da função f;, então: m= tim LU) b= tim [()-ma] xt X e A too () 1 00) * Quando estes limites não existem ou não são números reais, o gráfico da função não tem assímptotas não verticais; e Sendo me b números reais, se m&O0 a assímpiota diz-se oblíqua e se m=0, trata-se de uma assímptota horizontal; º* O gráfico de uma função tem, no máximo, duas assímptotas não verticais: uma que acompanha o gráfico quando x > +ºº e outra que acompanha o gráfico quando x > —o. 298. Escreva equações das assímptotas dos gráficos das funções definidas por: 2 x2+3x a f)=>"> a O domínio da função é IRN t 1h logo: Estudo quanto a assímptotas verticais: x2+3x x-(x+3) 4 DE . , —>—— =D", como não é possível simplificar, deve-se investigar para x=—1 x+1 x+1 . 1+3 . 1+3 lim Fl) =-——=- e lim Fl) = = tee, confirma-se assímptota vertical para x = + 45-17 0 E 0 Estudo quanto a assímptotas não verticais: x2 43x 2 2 . x . . x“ +3x o xº+3x m= lim H ).. lim —H lim = lim =1 x5+0 x x5+0 x ao + x-(x+1) x> + x 4x 35/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 2 . x o x0 43x E da mesma forma m= lim tod lim =1, portanto m=1 x5-0 Xº xo y4y 2 2 2 . o x) 43x co x) 4+3x>x —x . 2x b= lim [r(xc)- mo]... lim -x= lm >>>>>—>—>—— = lim — =2 x>+ a5+0 x+1 x + x+1 x5+0 x+1 E da mesma forma b= lim [r(x)-mx]= lim 2-2, poramo b=2 xo x5-c x+1 Portanto o gráfico da função apresenta uma assímptoia vertical x=-1 e uma assímptota oblíqua y=x+2. 2 E 5-6] ae IR, determina a de modo que: x-—a Lo a) A recta de equação y=x+5 seja assímptota do gráfico fa. 299. Considera a família de funções definidas por: fa 6) = A recta de equação y=x+5 tem m=1 e b=5, logo: 2 xº—-x—6 > > tim ros tim —d to tim Co tim E oX6 | vaelR xo+o X x + x xo+e x-(x—a) xo +o x“xa xo 2 2 2 lim [f(0)-m]-=56 lim ED206 ,-so tim E oxcócx tar so, x +o XxX +oo x—a x +o Xx—a é lim DO6ta so tim ló so, tm ED 5 X>S + x—a X>S + x—a X>S + X x>—o a-l=56a=6 paraque y=x+5 seja assímptota é necessário que a =6. b)A função f, não tenha assímptotas verticais. Dado que a função é composta por expressões polinomiais, contínuas em IR, só poderá ter assímptota vertical quando x+a =0, logo: NI=CHE-K-6)=(H-3) x2-x-6 (x—3)-(x+2) A lim fa(x)= lim >> = lim 4 HA1ET O x5a x5a x-a x5a x-a Se a=3 temos que lim 6e-3)(e+2) lim (x+2), assim: Hea T=ERROR «53 x—3 153 lim fa (6º) = lim fa (6º) = lim (x+ 2) =3+2=5, pelo que não existe assímptota para x=3 2537 253" *53 Se a=-2 temos que lim fr-3)(0+2) = lim (x—3), assim: x5-2 x+2 x5-2 lim fi(x)= lim fi(x)= lim (x-3)=-2-3=05, pelo que não existe assímptota para x = 2 «527 1521 x5-2 300. Escreva as equações das assímptotas dos gráficos das funções definidas por: Wl=H=term-l) a) fl)= é et-1 O domínio da função é tre IR:et 1 of IR MO) logo: - Estudo quanto a assímptotas verticais: sen — q=ERROR 36/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 . . 0 lim Fx) = lim —L = —, indeterminação x50 x50e1%— . 1 1 1 1 o 07 , . lim = ="—— =— =1,o gráfico da função não apresenta assímptota vertical. a508%-1 ey IH1 0 0 0 Estudo quanto a assímptotas não verticais quando x > +00 ; X x m= tim O qm Elo tim E tim Dl xS3+o X xo+o X ate xe! 1) xo+0e*—-] +oo b= lim [f(9)-mx]= lim co —0-x=—, indeterminação 154% s5t+oçã—] co lim x +00 pf x x x Assímptota horizontal y=0, ou seja, o próprio eixo Ox Estudo quanto a assímptotas não verticais quando x — —o ; x . . X— . . 1 1 m= lim fe) lim €=I= tim T = im = =-1 x5-0 Xº x5-0 x soco xfe*1) x>+0et-1 0-1 b= lim [f(x)-ma]=" tim =(-1).x= lim +x= x —o x5-ce*—| x5-ce*-1 x . —oco-() = lm xe =22 1 200.0, indeterminação xo gt— 0-1 . —-o —“o o 5 lim ——— = — =, indeterminação x —oo 1 1 1-0 o 1-— 1-— es =x |5 lim A » mudança de variável. Se x > —o > y=—x > +oo x5-e 1 e -—x —x . = — . . | lim =——— =0, conclui-se assim que, quando x>-—o, o gráfico apresenta a y5+0 | e 3 assímptota oblíqua y =—x. x a) Determina a abcissa do ponto em que o gráfico de f intersecta o eixo das abcissas. 1 301. Seja f a função de domínio IR* definida por f(x)=2x+ ef ) xlnx f(x)=06 2x+ in( +) =062x+x(Inl-Inx)=062x-xnx=062x=1Inx62= X X S2=nróx=e 37/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 1 t=> 5 x=> x t e xo | lim , como lim =1, é um limite notável. 150 df 150 x 1 | ex-Ls+ Então: x-|e* —1 = existe uma assímptota oblíqua em y =x+1. -5+ x b= lim [f(x)-mx]= lim xex—(1)-x= lim xet-x= lim x[et-1|=1 xXx — —00 xXx — —o0 x>—o Xx>—o Existe uma assímptota oblíqua em y =x+1. nbs 2x Dy:x>0n2x405x>04x20>5x>0 A função é contínua em todo o seu domínio. In (e) 24 1) Assímptotas verticais: lim Fl) não faz sentido porque O" não pertence ao domínio. x507 + lim fl)= lim nx mO =] = —oo, assímptota vertical em x=0 x501 xo0t2x 2.0" of 2) Assímptota oblíqua: Inx 2x In Inx + m= lim Ho) lim 2x — lim x im x. 2 | indeterminação x5+e x xote x xo+ox(2x) x5+02y2 +oo . 1 “o nx 1 “o nx o . - 5 lim —. lim => .0, sendo que lim — =0 S limite notável, então: 0:0=0 x5+02x x5+o x 2:40 xo+o X Como m=0, não existe assímptota oblíqua. 3) Assímptota horizontal: In 1 In lim f()= lim 2É= im + lim PL x + xo+o 2X yo+02 yo+o X Existe assímptota horizontalem y =0. Para x > —oco não existe porque não pertence ao domínio. 40/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 05/12/2014 flx)=9x? —3x Df:9x2 -3x2053x-(3x-1)>0 py: Fesolo Se] CA: 3r(82-1)=0534=0v3t-1=051=Sv3r=151=0vx=5 —co 0 1 +oo 3 x 0 + + 3x-1 0 + 3x(3x-1) + 0 0 + D o verticais: lim, Flx )J= lim 9 x? 3x = 2 -3( =0, não há assímpiotas verticais. x50É x50É 2) Assímptotas oblíquas: m= lim LC) m= tim Í0) x5+o X x5-0 x b= lim [f(x)-mx] b= lim De) -ma] x + 3 (o = 9-—:x m= tim Í. tm Vo?-3r lim = xo+0 Xº xo+o in x +o = lim (o-2= E x + x +oo . f(x) . V9x? —3x . 9x2 3x . x-(9x—3) m= lim >= lim = lim 4 =— lim d—=S—= x X x>—o x x>—o x? x —o0 x2 =- tim (PO. 9-5 =. 9-3. XS —o X dim —o —co b= lim [f(x)- nu] = lim ( 9x2 -3x— 3x) =+oo—oo, indeterminação x + xo +o 2 2 2 [9,2 - (vox =) —(3x) |5 lim (57-31 a0) pde lim SOL = X2+e9 Vox? -3x+3x| 12400 Vox? -3x+43x 41/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 lim 9x? 39x? É —— = = — =— 2 indeterminação te lod —3x+3x «e foE a + |5 lim 2 im lim dx > = — =— = x +o [9x2 -3x+3x NOIS ox2. 43x 1o+te,. boss 3x 3x 3x =-— lim l 1 ot [Te a la o “os [1 2 1 Assímptota: y =3x— 3 b= lim [f(x)-my]= lim (No? -3x (39) =+oo+oo, indeterminação xo xo 5 2 2 2 lim a i =” de 69) = lim + >> = += vira 12-02 9x2 -3x-3x 9x? —3x— 9x? lim —oo determinação TF == = + in eterminação xo e /9x? = 3x + o ox2 3x = 3x —3x— o ro! | lim = lim 420/97? 3y-3y 4-0 (1-5) +) lim —3x = = lim oo —oo “qo 15 -3s[ nl “) xo im o “Vo X o 1 Assímptota: y =-3x + 3 Cálculo Diferencial: Taxa média de variação: b)- A taxa média de variação de uma função f no intervalo [a:b] é dada por tm [a:b] = +o)- la) ) Ha) Geometricamente, a taxa média de variação de uma função é o valor numérico do declive da recta secante BP, sendo: P, > a; f(a)] e P > b; f(b)] 42/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 09/12/2014 Derivabilidade e continuidade de uma função: Teorema. Toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste teorema também se pode concluir que se uma função é descontínua num ponto, então, necessariamente, não é derivável nesse ponto. re rot) Regras de derivação: Dy=constante y=k> y'=0 By=a+b >y'=a 3 y=ax” > y=an" neIR o (ftg) > Ste 9 (fg) > fe+feg 6) [£) 5 fBcÍes 4(g)z0 g g? 7) Derivada da função composta, seja fog afunção composta das funçõesfege xe Dfog * Se g é derivável em xy e se f é derivável em gl), então fog é derivável em xy, e (eg) (x) = Le(xo)]: e'(xo). E) 4) y=531º +43 q 2 reaf[S) +(3x) (7) = 3.343"! sia +3-0=-922 4143 5) y=28-3x'-2 45/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 y= (68) -f7x7) (42) =83813.747] (3) =8x] 2146 5558 —21x$ 15 o =2y2 9) ly2=00 OD DADA 7) E) (eg=fe+feg = (840) (Mera) + a) Vx+1) = abra (S + x). x2+1| = 1 = (240). Mx ie + x). EO =(2. T+32 4 x +) poa Zerir? 5 1 1 1 5 2 2 1 =(2. T+32 4x4) ul 4 5a? =312. 02 4302. 442 414142 4 142 = 1 5 1 2latfatada? 4d? 2 2 =3x Derivada no ponto x=2: 1 > 1 > — .22 — 2 v(2)=362)|22 |+1)+1+ E + 22 |=12-N2+]+1+ E +5h2)- 3 5 efe [ico ta, 413422 = ma +13+ 2-2 1; + 8 y= Vx+1 u uvouy v v2 46/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 y= (3 +.) xe) +) (xa) À bcp 1 fx? +) (x (Vx +1)- e 4a). x241 be? 1 -— (x? x+3x 2x4 (3 +41). 2a? +0 (xP 1 (x? 7432 4x +) x. adam 2" 2 1 1-5 5 1 a x+3x 24 Jx+1- lo lo (x) (x + P Derivada no ponto x=1: 5 1 PD 0 JD A)? gy? 3) 1+30+1+1-L)-L() , 2 2 27234517 v'(D= 5 = E +... (D+) + 3 2x-1 9y= Dc Função composta: y= A? > y'= (43) -A=3AA n nos u=nu ue ro(e (8 uy—uv' v? o 3x? j [een (3x) -(2x1)-(30)) | . es (2 [eta (25) [258 (22) (5) 3x 3x2 3 (ex 3 (xo 3 (2x3 (2x1 (2x-P 32x? 3x2 3x? 3x2; 3x2.3x? x2.3x? 3x4 10) y le? ax Potência da função composta: u” =n- ur eu y=1 (22x) eco voo 2 2 À [o 2) oo (eae )-HE-2e]5 der-2+0)=5 o? 5 À (2-2) 3 -2x+1)5 (2x-2)= 47/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 2)Se F(x)<0 Vxe ko; bl: fé estritamente decrescente em a; b]; Exercícios: 1) Determine os intervalos de monotonia da função real de variável real y = (1+ Inx2. Domínio: Df :Vxe IR* 1º Derivada: Através de ur) =n:u! .w', então: y=2 (Ina)! (1+Inx) = (istmo) [) Zeros da derivada: (tema) (1) 06 20 oo, 2+2m5-0-x65 21260 stna=Zona=-16n=e! 50/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Pontos de inflexão: x -o qt e!=037 +00 f(x) x - 0 + + fe) xd Min To + Para verificarmos o sinal, antes e depois do zero da derivada, podemos fazer o seguinte: , 1 »'(x=0,30)= 2*(1+1n0,30)- (5 5) =-1,36 , 1 3(s=0,40)= 2-(L+-1n 0,40) - DT ] =+0,42 Intervalos de monotonia: A função é estritamente decrescente em Vxe bie!] A função é estritamente crescente em Vx e ;tos| (x+1) . ex 2) Determine os intervalos de monotonia da função real de variável real f(x) = Domínio: IR 1º Derivada: u uv=uv' Através de — = 5 + então: v v pg beetle! (erp de) (ep! (er) de) -e ; a K 2 x+ (140). Her (+12 .2 (e +1)-(1)- (eae Rs us iÊ-er to] 2x 2x e x — 2xe” +2e* esti) es ceferea (errar) (oro x2-2x— ). 2x - 2x e e er Exa) (u+1)(cx+1) e es Zeros da Derivada: F)=0 51/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 (+) (-x+1)=06 x+1=0v-x+1=06x=-Ivx=1 e" ésempre >0 Pontos de inflexão: (-2+1).(2+1) —3 Fu) = É = = -22167 e e , 2+1). (-2+1 PF e=2)= fev) 2) L ) , (0+1)-(0+1) Fe=o)= E A função é estritamente decrescente Vx e + co;—1] U [l;+cs[ A função é estritamente crescente Vxe E t1] Tem um mínimo absoluto em x=-—1 Tem um máximo relativo em x=1 52/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 ??no ponto 3 A função tem um máximo relativo em f(2)=1 e um mínimo relativo em f(3)=0 Segunda derivada de uma função e sua aplicação prática: 2 y= x-2x2 4x y=( -2x? +a) =3x? —-A2x)+1=3x? —4x+1 yr= (3x2 -42+1) =23x)-4(1)+0=6x—4 y"=(6x-4) =6(1)+0=6 wv=(6)=0 Estudo da concavidade e pontos de inflexão: Db 1ºDerivada f crescente 2 Ff descrescente mn Concavidade D 2º Derivad 1020 2 y erivada f'<o A Pontos de inflexão: f“(c)=0, e representa graficamente o ponto em que a concavidade muda de sinal. Exemplo: y= (e? 3x4). e" (concavidades e pontos de inflexão) 1º Derivada: uv=uv+uv y'= (x2 -3x+4) et +? -3x44). (e:) =(2x-3).e” +? -3x+4). et = eslpx-3+a? -3x+4)= =ex? =2+1) 2º Derivada: uv=uv+uv y'= ese? —x+ ) = fes )fe2 —x ++ elx? —x +) = elx? —x ++ e(2x-1)= =elt -x+1+2x-1)=elx? + x Zeros da 2º Derivada el? +x)=06€ =ovft+s)=06e! =0va(x+])=06e"=0vx=0vx=-1 e“ ésempre >0. x —oo —1 0 +oo f(x) + 0 - 0 + fo) u Pro no PI U sten=5 s(o)=a MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 A função tem concavidade virada para cima em + ou [o:+co[ A função tem concavidade virada para baixo em E 10] A função tem pontos de inflexão em f(- 1) = 8 e F(0) =4 e 56/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 19/12/2014 Teste da 2º Derivada: Admitam uma função Fl) derivável em Jo; ol, ce [a:b] e Fe) =0 (pressupõe a existência de um extremo relativo). Se f(c)<0 — n — Máximorelativo Se f(c)>0 > U — Minimo relativo Exemplo: y= x —3x, determine os extremos relativos da função mediante o recurso à 2º derivada. y'= 3x2 —3 y'=2:3x=6x y=0632-3=06 a? “)=064? =16x=Wl6x=Ivx=-1, que são os pontos onde existem extremos. Min Qq1;-2) y(-1)=6(-1)=-6, que é <0 > 0 > Máximo > (1) -3(-1)=-1+3=25 P(-1:2) y(D=6-(D=6, queé>0>5U> Mínimo > (1 -=3(1)=1-3=-25> P(1:-2) Estudo da Função: 1) Obter o gráfico usando a calculadora gráfica; 2) Determinação do domínio; 3) Continuidade; 4) Intersecção com os eixos dos xx, e yys; 5) Simetrias (par ou impar); 6) Monotonia e extremos; 7) Concavidades - 2º derivada e f" (6º) =0; 8) Assímpiotas; 9) Confrontar os dados obtidos analiticamente com o gráfico da calculadora e indicar o contradomínio; x e Considere a função f (x) =— efaçao seu estudo. x 1) Gráfico MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Como lim Fx) =0, existe assímpiota horizontalem y=0. x —oo 9) Confrontar os dados obtidos analiticamente com o gráfico da calculadora e indicar o contradomínio; / --SeAinimo E Através da recta dos yys verifica-se que: Vye + e:0U fe;+es] 60/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 06/01/2015 Indefinido Primitivas e Integral: . Definido y=f()=« 12 m, Plj= = primitiva + [P(o)] = (1) [5] - = =x v=k . Ploj= de TIPO) =* y=a” a+ Pb j== le ) a+1 Função Primitiva Função Primitiva fl) Pr) ES) Pr) ta x* ku k- Pu a+1 1 a+ € Inh uu - ax x a+1 ee e th u as u xa amu Ina au du k k- im et u ou Ei Ina y=f()=« 11 2 x x P(x)= =— (15 Indefinido fria b Definido Íroda, a;b=limites de integração. YA a | H= fz) dx=diferencial da variável. Primitiva 2 fadr=P+C= S +C Limite inferior Limite superior Primitiva Jkde=P+c= kx +C 61/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Primitiva tt faºax =P+C= +C a+1 Primitiva Primitiva P f(x) Integral Pf(x) Integral kex k:x+C k- Pu k-Pu+C a a a+ a+1 z L 4c r r +C a+1 a+1 a+1 a+1 Inf Inj+C Inf] InfdJ+C es et +C Vu Vu+C o o Ina Ina Propriedades: PLyG)+ glo]= Py(o)+ Pelo) SLrt)+ gle)lte= | ylo)dr+ fale) elk-fle)=*-2r(s) fr -Lrlo)te =: [yo )ate Exercícios: 1) fax S+1 6 [a=rlsbec=* +C=L+C 5+1 6 2 les as Ly qt 1 ” NEM [lee sle = [uai + [xd = ——+C +Jx2dx= > +G |+ +C, |= 1+1 2 14 2 â 3 2 2 3 NX X = ta tata +o 2 3 Nx 3 [=> MF 4 1 3 1 3 = E 3 xvx 5 x lx fl-=-2H de= [3x 20x? lix=3fx 2d [x2de=3 =D +CG+C)= E 4 Í Í Í 1 434 2 1 5 x2 1x2 2141922 Laos 1 =gX0 o dO 32 L24C=6x)-. =6Wx-— a 5 10 tCa=3-7* 15 +0=64 19 Nx +C 6vVx 19 Nx +€ 2 2 62/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 10) [a 2x2 -3 a;b>0 > Expressão 1 (+) Ls a>0eb<0 > Expressão 2 Pag 42 ax +b a<0eb>0 > Expressão 2 Pag 42 a=2 b=-3 f Lo mAva ob e Log cg a2 nã, 2402-3 2-ab xVa+V-b 2/-2(-3) WO 26 2443 1) [—=E=4 2 Eae Expressão 15, página 43 a=2 b=-3 Est: ax Pebrc=1/2r? +(- +c=/22-3+c 2. 3 a 9 [=5E— 2x2 -x+1 Expressão 2, página 46 a=2 b=—1 c=1 A=b? -4ac 24(4N2- ax? +bx+c bi =( IP =t 4ac=4-(2).(1)=8 b2 <4ac > 1<8 f l dx= arctg Zax+b +k= 2 arctg 2x4 pn 2122-141 Vaac-b? Vaac-b? V8-1 8-1 2 4x—1 quis Ni +k= 13) — ow o —3x+1 Expressão 4, página 46 a=2 =-3 c=1 ax? +be+c x 2 Rn f z p= ima +bete)-Lp 3 +k, ver calculo auxiliar 2xº -3x+1 2a 2a ax+bx+c 1 2 (3), 4x-4 2 3, 4x-4 InÃB jo + 3) ADAM) —— =-Int2 3+1h—In 2(2) lo: (3-1) (9) 2(2) 4x-2 4 | 4x-2 Calculo auxiliar: 65/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 1 te 2 ax" +bx+c Expressão 1, página 46 a=2 b=-3 c=1 A=b? —-4ac b2=(-32 =9 ax? +bx+c (3) 4ac=4-(2).(1)=8 b2 >4ac 59>8 p 1 mn 20x bb? — 4a 2(2)x Eine ax +br+c T— ri "zar+ A EE mad a" 2(2)x+(-3)+,/9-8 4403 1, 4xc3-1 0, dxcd E axa 1 ax=3al 4x2 66/70 MATEMÁTICA APLICADA - 2014/2015 Aula de 16/01/2015 b Integral Definido: [ f(x)dx E 546) b = limite superior da integração a = limite inferior da integração dx = diferencial de x Propriedades: b c b * Jredix= [rl)ar+ fria, ce la;b); PR e Jusrlddr=kf ria; 5 É b b + Jlrt)+ slokie= | rlo)ar+ f eloddx; b a + Srtde=-[ lar. b Fórmula de Newton-Leibniz: b fred = P(b)- Pla) Exercícios: b 1) fds a ut dt x2 A primitiva, aplicand , Qt, fica: Plx)= =—, então: primitiva, aplicando a regra E fica. (x) [1 2 então. b Po 2 2.2 fuar=5] 24 ba -b+a)-(b-a) 2 2 2 2 a a 1 2) fera o 1 x lot feidx=e ==" =e-1=2718-1=1,718 o 67/70