Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
PARA APRENDER AS RESOLUÇÕES DE FISICA ESTATISTIVA, USADO PARA PESQUISAR SOBRE CAMINHO ALEATÓRIO.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
1 / 165
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
interessados nesta escala de tamanho. Este é um regime intermediário onde tanto os efeitos macro e microscópicos competem em pé de igualdade. Existe uma área ativa de pesquisa nesta escala de comprimento, mais complicada de ser estudada. Os objetos macroscópicos podem ser descritos através de grandezas como volume, temperatura, pressão, magnetização, etc., que são parâmetros gerais válidos para o sistema como um todo. Sendo assim, quando dizemos que a pressão de vapor de um gás encerrado em uma câmara é 1M Pa, estamos dizendo que na média a pressão em todos os pontos do gás mede este valor. Esta é uma afirmação válida somente quando o gás como um todo está em um situação de equilíbrio, i.e, a pressão, volume, e demais parâmetros que caracterizam o gás não variam no tempo. Em todo o curso, estaremos estudando sistemas em equilíbrio, i.e., sistemas cujas variáveis macroscópicas estão fixas no tempo. Fora do equilíbrio nada podemos afirmar sobre o sistema.
A chamada Termodinâmica é a disciplina onde se estuda as relações entre as variáveis macroscópias que caracterizam o sistema. Devido ao fato de se tratar de variáveis que descrevem sistemas de muitas partículas, suas leis básicas (Lei Zero, 1a, 2a^ e 3a^ leis da termodinâmica) são completamente gerais e intuitivas. Isto também explica o fato da termodinâmica ter suas origens no final do século XVIII e início do século XIX. É importante ressaltar que estas leis são válidas quando os sistemas estão em equilíbrio. Embora a termodinâmica seja extremamente importante mesmo nos dias de hoje, não é possível fazer progresso no entendimento detalhado dos sistemas sob consideração devido à sua generalidade. De fato, a virtude de permitir formular leis completamente gerais também é maior fraqueza desta disciplina pois não permite entender as diferenças observadas entre diversos sistemas. O progresso científico nesta área se deu quando tentou-se formular os problemas de um ponto de vista microscópico. O objetivo da Física Estatística é obter leis gerais que descrevem comportamentos de sistemas de muitas partículas através de uma aproximação microscópica. Neste caso, e isso ficará claro futuramente, conseguimos obter todos os resultados da termodinâmica mais resultados gerais baseados em aspectos microscópicos. No entanto, ainda temos a limitação à sistemas em equilíbrio assim como no caso da termodinâmica. Sistemas fora do equilíbrio são extremamente complicados não permitindo formular leis tão gerais como no caso do estado de equilíbrio. Atualmente, muito trabalho tem sido desenvolvido em problemas de não-equilíbrio, porém, para entender estas teorias precisamos aprender a formulação de equilíbrio.
Por fim, notamos que é possível descrever sistemas analisando as interações entre as partículas constituintes em detalhes e então calcular as variáveis macroscópicas. Esta metodologia é aplicada na chamada teoria cinética e é válida também para sistemas fora do equilíbrio. No entanto, é o método mais difícil de ser aplicado além de não permitir a generalidade que é obtida na teoria de física estatística de equilíbrio que estaremos estudando.
1.1 O problema da caminhada aleatória e a distribuição binomial
Na introdução, discutimos aspectos gerais da física estatística e sua aplicabilidade a sistemas de muitas partículas. Isso de deve ao caráter estastístico da teoria que iremos considerar agora. O adjetivo “estatística" está relacionado à aplicação de métodos de teoria de probabilidades na descrição dos sistemas físicos. De fato, como não temos como calcular todas as quantidades físicas a partir de primeiros princípios, partimos para uma descrição coletiva do sistema. Com isso, fica subentendido que não estamos preocupados com a descrição detalhada de cada partícula no sistema.
Quando falamos em probabilidade, estamos considerando a chance de um determinado evento ocorrer quan- tificando essa chance através de um valor situado entre 0 e 1. Assim, quanto mais próximo de 1, maiores são as chances do evento ocorrer. Este número só faz sentido quando consideramos um número muito grande de tentati- vas de maneira que a probabilidade é a fração de eventos que ocorrem dentro do número total de tentativas. Para ficar mais claro, consideremos um exemplo simples de jogo de cara e coroa. Quando dizemos que a probabilidade é de 50% de aparacer cara, estamos na verdade afirmando que após um número muito grande de lançamentos da moeda, em metade dos lançamentos teremos cara como resultado final. Isto, é claro, considerando que a moeda é “honesta" ou seja, que as condições em que a moeda foi lançada são iguais em todos os lançamentos. De ma- neira equivalente, podemos pensar em um número muito grande de moedas sendo lançadas ao mesmo tempo e sob as mesmas condições. A teoria da probabilidade nos diz que neste caso, aproximadamente metade das moedas apresentará cara e a outra metade coroa. O ponto essencial aqui, é o fato de que a descrição estatística só faz sentido quando consideramos um número N muito grande de sistemas similarmente preparados. Este conjunto de sistemas é chamado de ensemble estatístico. A probabilidade de ocorrência de um evento é definida com respeito a este ensemble e então definida pela fração de sistemas no ensemble que são caracterizados pela ocorrência deste evento particular.
A seguir, vamos desenvolver os conceitos básicos probabilidade em um problema específico cujos resultados são bastante úteis e recorrentes em várias problemas físicos. Este problema, é chamado de problema da caminhada aleatória ou do inglês the random-walk problem. Em sua forma mais simples, o problema é formulado da seguinte forma:
Um homem bêbado se desloca a partir de um poste localizado em x = 0 (Veja Fig. 1.1). Cada passo dado pelo homem, para direita ou esquerda, tem um comprimento igual a l e é independente do passo precedente. Tudo o que pode ser dito é que existe uma probabilidade do passo ser dado para a direita é p e q = 1 − p é a probabilidade para um passo à esquerda. No caso mais simples, q = p e as probabilidades são iguais, no entanto, no caso geral temos p ̸= q. Isto pode ser realizado considerando que a rua tem uma inclinação de maneira que a probabilidade
medida pelo chamado tempo de relaxação, que é calculado através do modelo de caminhada aleatória. Você mesmo pode experimentar o movimento difusivo quando tenta caminhar no meio de uma multidão em algum lugar lotado. Neste caso, fica muito difícil caminhar em linha reta e no final, após N passos, a sua posição será determinada de maneira probabilística, conforme discutido a seguir.
Vamos considerar o problema da caminhada aleatória no caso unidimensional em detalhes. Aqui será conveniente usar uma nomenclatura mais técnica onde falamos de uma partícula fazendo N deslocamentos ou passos a partir de uma dada origem. Após um total de N passos, cada um de comprimento l , a partícula estará localizada em
x = ml (1.1)
onde m é um número inteiro dentro do intervalo
− N ≤ m ≤ N. (1.2) O objetivo é calcular a probabilidade PN ( m ) de encontrar a partícula na posição x = ml após N passos. Vamos denotar o número de passos para a direita por n 1 e n 2 o número de passos para a esquerda. Estes valores estão relacionados por
n 1 + n 2 = N. (1.3) O deslocamento líquido (medido para a direita em unidades do comprimento l ) é dado por m = n 1 − n 2_._ (1.4) Combinando as Eqs. (1.3) e (1.4) podemos escrever ainda m = n 1 − n 2 = n 1 − ( N − n 1 ) = 2 n 1 − N
donde vemos que se N é ímpar, os possíveis valores de m também são ímpares. Reciprocamente, se N é par então os valores de m também devem ser pares. Aqui consideramos uma hipótese fundamental para que o problema da caminhada aleatória possa ser resolvido. Consideramos que os passos dados pela partícula são estatisticamente independentes. Neste caso, cada passo é caracterizado por sua respectiva probabilidade e a probabilidade para um conjunto de N passos pode ser facilmente calculada através do produto de probabilidades individuais. Abaixo, fazemos as seguintes definições:
p = probabilidade de que o passo seja para a direita q = 1 − p = probabilidade de que o passo seja para a esquerda.
A probabilidade de uma seqüência de n 1 passos para a direita e n 2 passos para a esquerda é dado simplesmente pelo produto das probabilidades de cada passo, i.e.,
p p ︸ ︷︷ · · · p ︸ n 1 fatores
q q ︸ ︷︷ · · · q ︸ n 2 fatores
= pn^1 qn^2_._ (1.5)
Agora, existem diferentes maneira possíveis de dar n 1 passos para a direita e n 2 passos para a esquerda de modo que o número total de passos seja igual N. O número das diferentes possibilidades é dado por N! n 1! n 2!.^ (1.6) A Eq. (1.6) é bem conhecida em problemas de análise combinatória. Para ilustrar este ponto, considere o seguinte problema: temos N cadeiras e desejamos acomodar N pessoas. De que maneiras diferentes podemos distribuir estas pessoas nas cadeiras? Para resolver isso, considere que existem N maneiras diferentes de colocar uma pessoa na primeira cadeira. Após a primeira cadeira ser ocupada, sobram ( N − 1) maneiras diferentes de ocupar a segunda cadeira; em seguida, sobram N − 2 maneiras diferentes de ocupar a terceira cadeira e assim por diante. No final, o número total de modos de ocupar as cadeiras é dado por:
N ( N − 1)( N − 2)( N − 3)( N − 4)( N − 5) · · · 1 ≡ N! Na equação acima consideramos que todas as pessoas são diferentes. Mas agora considere que dentre as N pessoas, temos n 1 mulheres e n 2 homens. Se consideramos apenas o sexo como característica que diferenciam estas pessoas, então as n 1! permutações das mulheres entre elas próprias não levam a um modo diferente de acomodar N pessoas. Similarmente, as n 2! permutações dos homens levam ao mesmo resultado. Assim, o número total de diferentes modos de acomodar N pessoas é dado por N! /n 1! n 2 !. O mesmo raciocínio é usado para chegar na Eq. (1.6) em relação ao número de passos para a direita e esquerda no caso da caminhada aleatória. A probabilidade WN ( n 1 ) de tomar n 1 passos para a direita e n 2 passos para a esquerda, em um total de N passos e em qualquer ordem, é obtida pelo produto da probabilidade dada pela Eq. (1.5) e os diferentes modos de dar os passos (Eq. (1.6)). Assim, escrevemos:
WN ( n 1 ) = (^) n 1 N! n^! 2! pn^1 qn^2 (1.7)
e desde que n 1 + n 2 = N , podemos escrever ainda
WN ( n 1 ) = (^) n 1 !( NN −^! n 1 )! pn^1 qN^ − n^1_._ (1.8) A Eq. (1.8) é chamada de distribuição binomial. A razão é que a Eq. (1.8) representa um termo típico encontrado na expansão do binômio ( p + q ) N^ pelo teorema binomial. A expansão binomial é dada pela fórmula:
( p + q ) N^ = ∑^ N n =
n !( N − n )! p
nqN − n. (1.9)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Figura 1.2: Nesta figura, temos um total N = 20 passos e iguais probabilidades para esquerda e direita. O envelope em destes valores discretos é uma curva em forma de sino. O significado físico disto é óbvio. Após N passos aleatórios, a probabilidade da partícula estar a uma distância de N passos da origem é muito pequena enquanto que é mais provável que a partícula fique localizada em torno da origem para m = 0.
discretos
u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , · · · uM
com as respectivas probabilidades
P ( u 1 ) , P ( u 2 ) , P ( u 3 ) , P ( u 4 ) , P ( u 5 ) , · · · P ( uM ). O valor médio (ou simplesmente média) de u , denotado por u ¯, é definido por: u ¯ = P^ ( u^1 ) Pu (^1 u^ + 1 ) +^ P^ ( uP^2 () uu 22 ) +^ +^ P P^ ( ( uu^33 )) + u^3 + · · ·^ · · · +^ + P^ P ( u^ ( MuM )^ ) uM,
o que pode ser expresso em uma notação mais compacta:
u ¯ =
∑^ M n =
P ( un ) un ∑ M n =
P ( un )
A Eq. (1.11) já foi usada por você quando calcula médias aritméticas. De fato, se queremos calcular a média das notas de uma classe, fazemos isso simplesmente somando todas as notas e então dividimos pelo no^ total de alunos. Mas isso é exatamente o que está sendo proposto na Eq. (1.11). Para ver isso, precisamos apenas organizar os dados. Vamos considerar que para uma turma de N alunos, temos n 1 alunos com nota u 1 , n 2 alunos com nota u 2 , etc.. Isto significa que temos uma probabilidade P ( u 1 ) = n 1 /N de encontrar alunos com nota u 1 , P ( u 2 ) = n 2 /N de encontrar alunos com nota u 2 e assim sucessivamente. Aqui convém lembrar que a probabilidade é definida como a razão do número de eventos que ocorrem no ensemble pelo número total de elementos. Assim, média u ¯ das notas da turma pode ser calculada da seguinte forma:
u ¯ = u^1 P^ P ( u (^1 u ) + 1 ) +^ u 2 PP (^ ( uu 22 ) +) + · · ·^ · · · P^ u ( Nu^ PN^ () uN^ )
e substituindo-se os valores das probabilidades como P ( uj ) = uj /N obtemos ainda
¯ u =
u 1^ n N^1 + u 2^ n N^2 + · · · uN^ n NN n 1 N +^
n 2 N +^ · · ·^ +^
nN N u ¯ = u^1 n^1 n^ + 1 +^ u 2 nn 22 +^ + · · ·^ · · · n^ uNN^ nN = u^1 n^1 +^ u^2 n N^2 +^ · · ·^ uN^ nN
e reconhecemos a última fração como a média aritmética das notas dos alunos. Note que a média aritmética aparece quando a distribuição de probabilidades se reduz à frações do tipo nj /N. No caso geral, a distribuição de probabilidades pode ser mais complicada e representada por uma função qualquer. No caso do problema da caminhada aleatória, deduzimos que P ( uj ) é uma distribuição binomial. Para uma dada função f ( u ) qualquer, podemos calcular o seu valor médio da seguinte maneira:
f ( u ) =
∑^ M n =
P ( un ) f ( un ) ∑^ M n =
P ( un )
A expressão dada pelas Eqs. (1.11) e (1.12) podem ser simplificadas considerando que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Isto equivale a dizer que a probabilidade de se ter qualquer resultado possível, dentro é claro de todas as possibilidades, é de 100%. Assim, temos:
P ( u 1 ) + P ( u 2 ) + · · · + P ( uM ) = ∑^ M n =
P ( un ) = 1
que é chamada “condição de normalização" satisfeita por toda distribuição de probabilidade. Como resultado, a Eq. (1.12) se torna:
f ( u ) = ∑^ M n =
P ( un ) f ( un ). (1.13)
Outro valor médio útil é a média do desvio ao quadrado, que também é chamado de segundo momento de u em torno de sua média ou ainda, de dispersão de u. Este é definido como:
(∆ u )^2 = ∑^ M n =
P ( un )( un − ¯ u )^2 ≥ 0 (1.17)
onde notamos que a dispersão de u é sempre um no^ positivo. Note então que, diferente da média do desvio, a dispersão somente será nula para o caso de todos valores un serem iguais a média. Além disso, quanto maior o espalhamento dos valores un em torno da média, maior será o valor de (∆ u )^2. Para calcular a dispersão de qualquer distribuição, observamos primeiramente a seguinte relação: (∆ u )^2 = ( u − ¯ u )^2 = u^2 − 2 uu ¯ + ¯ u^2 = u^2 − 2¯ uu ¯ + ¯ u^2 = u^2 − 2¯ u^2 + ¯ u^2 = u^2 − u ¯^2
(∆ u )^2 = u^2 − ¯ u^2 (1.18)
o que implica em
u^2 ≥ u ¯^2 , desde que (∆ u )^2 ≥ 0_._ Podemos ainda definir momentos de ordem superior tais como (∆ u ) n , o n -ésimo momento de u em torno de sua média para n > 2. Estes momentos de ordem superior são menos úteis nos cálculos e, em geral, utilizamos os momentos até segunda ordem. Notamos ainda que o conhecimento de P ( u ) nos fornece a informação completa sobre a distribuição de proba- bilidades. Um conhecimento de poucos momentos, como ¯ u e (∆ u )^2 implica em apenas uma informação parcial, embora útil, sobre a distribuição de valores. Em problemas gerais de física, podemos determinar apenas alguns destes momentos da distribuição sendo muito raro ter acesso à equação para a função distribuição. No caso do problema da caminhada aleatória, conhecemos a distribuição e podemos determinar todos os momentos da dis- tribuição. A seguir, faremos o cálculo do valor médio e da dispersão dos valores do deslocamento em torno da média.
No problema da caminhada aleatória obtivemos a função distribuição dada pela Eq. (1.8)
W ( n 1 ) = (^) n 1 !( NN −^! n 1 )! pn^1 qN^ − n^1_._
onde omitimos o índice N em W para simplificar a notação. Antes de calcular os valores médios, vamos verificar a condição de normalização que deve ser verificada por toda a distribuição de probabilidades:
∑^ N n 1 =
W ( n 1 ) = 1_._
Substituindo-se a distribuição de probabilidades (1.8) obtemos: ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! p
n (^1) qN − n 1
mas como vimos pela Eq. (1.9), a soma acima é a própria distribuição de Newton, i.e.,
∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! p
n (^1) qN − n (^1) = ( p + q ) N
mas como q = 1 − p então vemos que
( p + q ) N^ = ( p + 1 − p ) N^ = 1 ,
logo, vemos que a condição de normalização é satisfeita.
Cálculo dos valores médios
Vamos agora determinar o valor médio de n 1 , o número de passos para a direita. Usando a definição do cálculo do valor da média temos que:
¯ n 1 = ∑^ N n 1 =
W ( n 1 ) n 1 = ∑^ N n 1 =
n (^1) n 1 !( N^ N −^! n 1 )! pn^1 qN^ − n^1
¯ n 1 = ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! [ n^1 p
n (^1) ] qN − n 1
onde destacamos o fator n 1 pn^1. Desde que o problema se resume a calcular a soma acima, observamos que:
n 1 pn^1 = p ∂p∂ ( pn^1 )
e, assim, substituindo esta equação na soma temos:
n ¯ 1 = ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! q
N − n (^1) p ∂ ∂p ( p
n (^1) )
Calculo da dispersão
O próximo passo é a determinação da dispersão definida pela Eq. (1.18), a qual pode ser particularizada para o caso presente:
(∆ n 1 )^2 ≡ n 1 − ¯ n^21 = n^21 − n ¯^21_._ (1.20) Como já conhecemos o valor da média, precisamos apenas determinar o valor médio de n^21. Para isso, aplica- mos a Eq. (1.13) com a distribuição binomial no lugar de P ( un ), assim, segue que:
n^21 = ∑^ N n 1 =
W ( n 1 ) n^21
e substituindo W ( n 1 ) obtemos:
n^21 = ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! p
n (^1) qN − n (^1) n (^21).
Aqui usamos o mesmo procedimento adotado para o cálculo da média do valor n 1. Neste caso, observamos que a expressão abaixo nos permite eliminar o fator n^21 :
n^21 pn^1 =
( p ∂p∂
) 2 pn^1_._ Podemos verificar a expressão acima calculando diretamente: ( p ∂p∂
) 2 pn^1 = p ∂p∂
( p ∂p
n 1 ∂p
) = p
[ ∂pn^1 ∂p +^ p
∂^2 pn^1 ∂p^2
]
( p ∂p∂
) 2 pn^1 = p ∂p
n 1 ∂p +^ p
2 ∂^2 pn^1 ∂p^2
e aplicando as derivadas, segue que: ( p ∂p∂
) 2 pn^1 = n 1 pn^1 + p^2 n 1 ( n 1 − 1) pn^1 −^2 = n 1 pn^1 + n^21 pn^1 − n 1 pn^1 = n^21 pn^1
que é a relação que gostaríamos de demonstrar. Substituindo esta relação na equação para o valor médio, obtemos:
n^21 = ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! q
N − n (^1) [ n (^21) pn (^1) ]
ou ainda
n^21 = ∑^ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! q
N − n 1 ( p ∂p∂
) 2 pn^1
e trocando a ordem entre a soma e a integração, segue que:
n^21 =
( p ∂p∂
) (^2) ∑ N n 1 =
n 1 !( N − n 1 )! q
N − n (^1) pn 1
e considerando novamente que q e p são arbitrários, podemos escrever a soma usando a relação do teorema bino- mial, i.e.,
n^21 =
( p ∂p∂
) 2 ( p + q ) N^ = p ∂p∂
[ p ∂ ( p^ +^ q )
N ∂p
] = p ∂p∂
[ pN ( p + q ) N^ −^1
]
e aplicando a outra derivada obtemos:
n^21 = p
[ pN ( N − 1)( p + q ) N^ −^2 + N ( p + q ) N^ −^1
]
e como este é o resultado final, podemos particularizar para o caso em que p e q são probabilidades onde vale a restrição p + q = 1, assim:
n^21 = p [ N ( N − 1) p + N ] = p [ pN^2 − pN + N ] = p [ pN^2 + (1 − p ) N ] = ( pN )^2 + N pq
e de acordo com a Eq. (1.19) temos que ¯ n 1 = N p assim, podemos escrever:
n^21 = ¯ n^21 + N pq ∴ n^21 − ¯ n^21 = N pq
e identificamos o primeiro membro com a dispersão através da Eq. (1.20), assim, temos:
(∆ n 1 )^2 = N pq. (1.21) Quando a Eq. (1.21) é comparada com os deslocamentos, vemos que a dispersão é quadrática no deslocamento. Em outras palavras, como x = ( n 1 − n 2 ) l , então uma quantidade que depende do quadrado do número de passos à direita estará relacionada com o quadrado do deslocamento x. Assim, sua raíz quadrada, chamada de desvio médio quadrático ou do inglês root mean square deviation^1 é linear no comprimento e fornece uma medida linear da largura do intervalo dentro do qual os valores de n 1 estão distribuídos. Definimos então o desvio médio quadrático da seguinte forma:
∆∗ n 1 = [(∆ n 1 )^2 ]^1 /^2 = √ N pq. (1.22) Outra medida muito usada para a dispersão é a chamada largura relativa definida como a razão do desvio médio quadrático pelo valor médio, i.e., ∆∗ n 1 ¯ n 1 =
√ N pq N p =
√ (^) q p
(^1) Esta quantidade também é escrita como rms deviation. Você já deve ter ouvido falar em potência rms ou ainda na velocidade rms na introdução à teoria cinética dos gases no seu curso de física introdutório.
