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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, `as 12:09 p.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica
Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´ısica Te´orica Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica
Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a quarta edic¸ ˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’
Conte´udo
1 Campo El´etrico – [Cap´ıtulo 24, p´agina 32] 2 1.1 Quest˜oes................. 2 1.2 Problemas e Exerc´ıcios......... 2 1.2.1 Linhas de campo el´etrico.... 2 1.2.2 O campo el´etrico criado por uma carga puntiforme..... 3
1.2.3 O campo criado por um dipolo el´etrico............. 5 1.2.4 O campo criado por uma linha de cargas............ 7 1.2.5 O campo el´etrico criado por um disco carregado......... 9 1.2.6 Carga puntiforme num campo el´etrico............. 9 1.2.7 Um dipolo num campo el´etrico. 12
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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, `as 12:09 p.m.
1 Campo El´etrico – [Cap´ıtulo 24,
p´agina 32]
1.1 Quest˜oes
Q 24-2. Usamos uma carga teste positiva para estudar os campos el´etricos. Poder´ıamos ter usado uma carga negativa? Porque? N˜ao. Tal uso seria extremamente anti-natural e incon-
veniente pois, para comec¸ar, ter´ıamos o e apontan- do em direc¸ ˜oes diferentes. Tecnicamente, poder´ıamos usar cargas negativas sim.
Mas isto nos obrigaria a reformular v´arios conceitos e ferramentas utilizadas na eletrost´atica.
Q 24-3.
As linhas de forc¸a de um campo el´etrico nunca se cru- zam. Por quˆe? Se as linhas de forc¸a pudessem se cruzar, nos pontos
de cruzamento ter´ıamos duas tangentes diferentes , uma para cada linha que se cruza. Em outras palavras, em tal ponto do espac¸o ter´ıamos dois valores diferentes do campo el´etrico, o que ´e absurdo.
Q 24-5.
Uma carga puntiforme de massa ´e colocada em re- pouso num campo n˜ao uniforme. Ser´a que ela seguir´a, necessariamente, a linha de forc¸a que passa pelo ponto em que foi abandonada? N˜ao. A forc¸a el´etrica sempre coincidir´a com a direc¸˜ao
tangente a linha de forc¸a. A forc¸a el´etrica, em cada ponto onde se encontra a car- ga, ´e dada por ^ , onde e o vetor campo el´´ etrico no ponto onde se encontra a carga. Como a carga parte do repouso, a direc¸˜ao de sua acelerac¸˜ao inicial ´e dada pela direc¸˜ao do campo el´etrico no ponto inicial. Se o campo el´etrico for uniforme (ou radial), a trajet´oria da carga de- ve coincidir com a direc¸˜ao da linha de forc¸a. Entretanto, para um campo el´etrico n˜ao uniforme (nem radial), a trajet´oria da carga n˜ao precisa coincidir necessariamen- te com a direc¸˜ao da linha de forc¸a. Sempre coincidir´a, por´em, com a direc¸˜ao tangentea linha de forc¸a.
Q 24-20.
Um dipolo el´etrico ´e colocado em repouso em um cam- po el´etrico uniforme, como nos mostra a Figura 24-17a, pg. 30, sendo solto a seguir. Discuta seu movimento. Sem atrito, na situac¸˜ao inicial mostrada na Figura 24- 17a, o movimento do dipolo el´etrico ser´a peri´odico e oscilat´orio em torno do eixo e em torno da posic¸˜ao de alinhamento de com .
Q 24-3 extra. Uma bola carregada positivamente est´a suspensa por um longo fio de seda. Desejamos determinar num ponto situado no mesmo plano horizontal da bola. Para isso, colocamos uma carga de prova positiva neste ponto e medimos . A raz˜ao ser´a menor, igual ou maior do que no ponto em quest˜ao? Quando a carga de prova ´e colocada no ponto em quest˜ao, ela repele a bola que atinge o equil´ıbrio numa posic¸˜ao em que o fio de suspens˜ao fica numa direc¸˜ao ligeiramente afastada da vertical. Portanto, a distˆancia entre o centro da esfera e a carga de prova passa a ser maior que do que a distˆancia antes do equil´ıbrio. Donde se conclui que o campo el´etrico no ponto considerado (antes de colocar a carga de prova) ´e maior do que o valor medido por meio da referida carga de prova.
1.2 Problemas e Exerc´ıcios
1.2.1 Linhas de campo el´etrico
E 24-3. Trˆes cargas est˜ao dispostas num triˆangulo equil´atero, co- mo mostra a Fig. 24-22. Esboce as linhas de forc¸a de- vidas as cargas e e, a partir delas, determine a direc¸˜ao e o sentido da forc¸a que atua sobre , devi- doa presenc¸a das outras duas cargas. ( Sugest˜ao : Veja a Fig. 24-5) Chamando-se de de e as forc¸as na carga devidas `as cargas e , respectivamente, podemos ver que, em m´odulo, pois as distˆancias bem co- mo o produto das cargas (em m´odulo) s˜ao os mesmos.
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3 J ?@1A L:
H
V?@1A BTQ
3 I ! 1 G>H :
!HK?a1;^ W N/C!
Portanto, o campo total ´e
bFcDd . HC
(^) !HK?@1; W: MC! 5 V?a1; W N/CX
na direc¸˜ao da carga negativa .
(b) Como o el´etron tem carga negativa, a forc¸a sobre ele tem sentido oposto ao do campo. O m´odulo da forc¸a ´e
el´etron bTc]d el´etron 3 6e)+ : 3 ]1 (^) !M ?a1; B L: (^3) Mf! 5 g?@1A WN, : (^1) !h?@1A CB ]i^ N
no sentido da carga positiva.
E 24-12. Como a carga est´a uniformemente distribuida na es-
fera, o campo el´etrico na superf´ıcie ´e o mesmo que que ter´ıamos se a carga estivesse toda no centro. Isto ´e, a magnitude do campo ´e
FE
X
onde ´e a magnitude da carga total e 0 ´e o raio da esfe- ra. A magnitude da carga total ´e jk , de modo que
jk 5 (FE
3 J
a1; L: 3 J 5 : 3 ]1 (^) !M ?a1; (^) B L: Mf! M^5 h?@1A^ B
W
!mlK?a1;^
[^ N/C
P 24-17. Desenhe sobre uma linha reta dois pontos, e ; ,
separados por uma distˆancia , com a esquerda de ;. Para pontos entre as duas cargas os campos el´etricos in- dividuais apontam na mesma direc¸˜ao n˜ao podendo, por- tanto, cancelarem-se. A carga A tem maior magnitude que ; , de modo que um ponto onde o campo seja nulo deve estar mais perto de U do que de A. Portanto, deve estar localizado `a direita de ; , digamos em ponto n. Escolhendo como a origem do sistema de coordena- das, chame de o a distˆancia de at´e o ponto n , o ponto
onde o campo anula-se. Com estas vari´aveis, a magni- tude total do campo el´etrico em n e dada por´
5 (FE
p o
3 , perpendicular `a diagonal que passa pelas duas car- gas , apontado para ‘fora’ da carga H>. O m´odulo do campo ´e
/
H
Z{
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P 24-
Qual o m´odulo, a direc¸˜ao e o sentido do campo el´etrico no centro do quadrado da Fig. 24-31, sabendo que (^1) !V?@1A BFS C e G cm.
Escolhamos um sistema de coordenadas no qual o ei-
xo o passe pelas cargas e H , e o eixo | passe pelas cargas e H. No centro do quadrado, os campos produzidos pelas cargas negativas est˜ao ambos sobre o eixo o, e ca- da um deles aponta do centro em direc¸˜ao a carga que lhe da origem. Como cada carga esta a uma distˆancia `
u H>>H
u H do centro, o campo l´ıquido resul- tante devidos as duas cargas negativas ´e
}
FE
p H > >H
H-H s
5 (FE
H
3 J ?@1A L:^1 !h?@1A^ S (^36)! G :H l! 1 J ?a1; ~ N/C!
No centro do quadrado, os campos produzidos pelas car- gas positivas est˜ao ambos sobre o eixo |, apontando do centro para fora, afastando-se da carga que lhe da ori- gem. O campo l´ıquido produzido no centro pelas cargas positivas ´e
^1 5 ( FE
p H H
H'>H s
^1 5 (FE
H
l! 1 J ?a1; ~ N/C!
Portanto, a magnitude do campo ´e
} + (^)
HC3l (^)! 1 J ?a1; (^) ~:
(^1) !-H2?@1A W N/C! O ˆangulo que tal campo faz com o eixo dos o e´ > B
> B 3 D1 :
(^5) G c! Tal ˆangulo aponta do centro do quadrado para cima, di- rigido para o centro do lado superior do quadrado.
1.2.3 O campo criado por um dipolo el´etrico
E 24-23. Determine o momento de dipolo el´etrico constitu´ıdo por um el´etron e um pr´oton separados por uma distˆancia de (^5)!
nm. O m´odulo da carga das duas part´ıculas ´e 1 (^) !M? 1 ; (^) B L C. Portanto, temos aqui um belo exemplo de exerc´ıcio de multiplicac¸˜ao: ` 3 D1 (^) !M ?@1A 4B L: 3 <5 (^)!
?@1A CB L:
MC! R>R ?a1; B S C m!
E 24- Na Fig. 24-8, suponha que ambas as cargas sejam posi- tivas. Mostre que no ponto n , considerando 2` , ´e dado por:
H
Usando o princ´ıpio de superposic¸˜ao e dois termos da expans˜ao 3 ]1o :B e^1 OHoK
oi @5>of~x (^) !A! !X v´alida quando o41 , obtemos
p 3 I=r`m>H^
3 6.`4H :4s
p \ 1 O
`
H
B
`
H
B
s
p v 1 OrHf3D
`
(^) H : !A! !y
v 1 OrHf
`
(^) H : !A! !y s
H
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de onde se conclui que, considerando-se os termos at´e a segunda ordem, inclusive, temos
5 ( 87
A
p M
`
s
A ~
X
onde o momento de quadrupolo ´e definido como H` ! Em contraste com a derivac¸˜ao apresentada no livro- texto, observe que aqui foi necess´ario usarmos o ter- mo quadr´atico na expans˜ao em s´erie, uma vez que a contribuic¸˜ao devida ao termo linear era nula.
1.2.4 O campo criado por uma linha de cargas
P 24-30.
Um el´etron tem seu movimento restrito ao eixo do anel de cargas de raio 0 discutido na sec¸˜ao 24-6. Mostre que a forc¸a eletrost´atica sobre o el´etron pode fazˆe-lo oscilar atrav´es do centro do anel, com uma freq¨uˆencia angular dada por: ¡
£¢ k ; 5 ( 87
¤0 i! Como visto no livro-texto, a magnitude do campo
el´etrico num ponto localizado sobre o eixo de um anel homogeneamente carregado, a uma distˆancia do cen- tro do anel, ´e dado por (Eq. 24-19):
(^5) ( 87 >3I0 . :i^
X
onde e a carga sobre o anel e´ 0 e o raio do anel.´ Para que possa haver oscilac¸˜ao a carga sobre o anel deve ser necessariamente positiva. Para uma carga po- sitiva, o campo aponta para cima na parte superior do anel e para baixo na parte inferior do anel. Se tomar- mos a direc¸˜ao para cima como sendo a direc¸˜ao positiva, ent˜ao a forc¸a que atua num el´etron sobre o eixo do anel ´e dada por
k kU 5 ( 87
I0 . :i\^
X
onde k representa a magnitude da carga do el´etron. Para oscilac¸ ˜oes de pequena amplitude, para as quais va- le ¥¦0 , podemos desprezar no denominador da express˜ao da forc¸a, obtendo ent˜ao, nesta aproximac¸˜ao,
kU (^5) ( 87 0 i
2§£¨P !
Desta express˜ao reconhecemos ser a forc¸a sobre o el´etron uma forc¸a restauradora : ela puxa o el´etron em
direc¸˜ao ao ponto de equil´ıbrio . Al´em disto, a magnitude da forc¸a ´e proporcional a , com uma con- tante de proporcionalidade ¨ kU> ( 87
i A: (^) , como se o el´etron estivesse conectado a uma mola. Ao longo do eixo, portanto, o el´etron move-se num movimento harmˆonico simples, com uma freq¨uˆencia angular dada por (reveja o Cap. 14, caso necess´ario) ¡ ¢ ¨ ©¢ kU 5 ( 87
¤0 i
X
onde representa a massa do el´etron.
P 24-32. Uma barra fina de vidro ´e encurvada na forma de um semic´ırculo de raio 9. Uma carga est´a distribu´ıda uniformemente ao longo da metade superior, e uma car- ga , distribu´ıda uniformemente ao longo da metade inferior, como mostra a Fig. 24-35. Determine o campo el´etrico E no ponto n , o centro do semic´ırculo.
Para a metade superior:
`-
`
`
onde ª
2C3IH
: H> C
: e^ «^ ^9 ^ . Portan- to ` '
H
9 `
H
`
O m´odulo da componente } do campo total ´e, portan- to,
`
' } ¬ `' "%$'&
H
`
H
p sen
(^) s®
H
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Analogamente,
¬¯' (^) ¬°- sen
H
(^9
sen
`
H
p "$'&
(^) s®
N
H
(^9
Usando argumentos de simetria: Usando a simetria do problema vemos facilmente que as componentes hori- zontais cancelam-se enquanto que as verticais reforc¸am- se. Assim sendo, o m´odulo do campo total ´e simples- mente H = 5
com o vetor correspondente apontando para baixo. Usando ‘forc¸a-bruta’: Podemos obter o mesmo resul- tado sem usar a simetria fazendo os c´alculos. Mas temos que trabalhar bem mais (perder mais tempo durante a prova!!). Veja s´o: Tendo encontrado que } N±O² ®³´
, vemos que o m´odulo do campo devido `as cargas positivas ´e dado por
} .
u H
H
formando O5 (^) Gc com o eixo dos o. Para a metade inferior o c´alculo ´e semelhante. O resul- tado final ´e
B
u H
H
O campo B forma com o eixo dos o um ˆangulo de 3 J c .5 (^) G c: =
(^) Gc. Portanto, o m´odulo do campo total B apon- ta para baixo e tem magnitude dada por
+ B
u H
u H (^) B
u H v
u H
H
y
^5
Conclus˜ao: Termina mais r´apido (e com menos erro!) quem estiver familiarizado com a explorac¸˜ao das sime- trias. Isto requer treino...
P 24-35. Na Fig. 24-38, uma barra n˜ao-condutora “semi-infinita” possui uma carga por unidade de comprimento, de valor constante (^) ª. Mostre que o campo el´etrico no ponto n forma um ˆangulo de (^5) Gc com a barra e que este ˆangulo ´e independente da distˆancia 0.
Considere um segmento infinitesimal >o da barra, lo- calizado a uma distˆancia o a partir da extremidade es- querda da barra, como indicado na figura acima. Tal segmento cont´em uma carga' ª >o e est´a a uma distˆancia 9 do ponto n. A magnitude do campo que- produz no ponto n ´e dada por
`-
`
'o 9 °! Chamando-se de
o ˆangulo entre 0 e 9 , a componente horizontal o do campo ´e dada por
`' }2
`
>o 9 sen
X
enquanto que a componente vertical | e´
`- ^1 5 ( 87
`
>o 9
Os sinais negativos em ambas express˜oes indicam os sentidos negativos de ambas as componentes em relac¸˜ao ao ponto de origem, escolhido como sendo a extremida- de esquerda da barra. Vamos usar aqui o ˆangulo
como vari´avel de integrac¸˜ao. Para tanto, da figura, vemos que
"%$'&
X sen
o 9 X o 0 >
X
e, portanto, que
`'o 0 &]μ;"
`
`
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apontando de cima para baixo.
(d) A raz˜ao entre as magnitudes das forc¸as el´etrica e gra- vitacional ´e ¾½ ¿
M
a1; D^!
Portanto, vemos que o peso ¿ do pr´oton pode ser completamente ignorado em comparac¸˜ao com a forc¸a el´etrost´atica exercida sobre o pr´oton.
E 24-45.
(a) Qual ´e a acelerac¸˜ao de um el´etron num campo el´etrico uniforme de (^1)! 5 Á?Â1; ¼ N/C? (b) Quanto tem- po leva para o el´etron, partindo do repouso, atingir um d´ecimo da velocidade da luz? (c) Que distˆancia ele per- corre? Suponha v´alida a mecˆanica Newtoniana. (a) Usando a lei de Newton obtemos para o m´odulo
da acelerac¸˜ao:
k U ½
3 ]1 (^) !M ?a1; (^) B L: 3 D1 (^)! 5 g?@1A (^) ¼: J !^1 =?a1;^ B i\ H! (^5) M ?@1A Q m/s (^)!
(b) Partindo-se do repouso (i.e. com à ) e usando a equac¸˜ao à à -Ä^ obtemos facilmente que
Ä Å 41A^
?a1; (^) S41A H! (^5) M ?@1A Q ! 1 UH>H2?a1; B L s!
(c) A distˆancia percorrida ´e
`
H
-Ä ^1
H
3 IH
! 5 M ?@1A
Q: 36
! 1 UH>HK?@1A 4B L
1 !R
?a1; B i m!
E 24-46.
Uma arma de defesa que est´a sendo considerado pe- la Iniciativa de Defesa Estrat´egica (“Guerra nas Estre- las”) usa feixes de part´ıculas. Por exemplo, um feixe de pr´otons, atingindo um m´ıssil inimigo, poderia inu- tiliz´a-lo. Tais feixes podem ser produzidos em “ca- nh˜oes”, utilizando-se campos el´etricos para acelerar as part´ıculas carregadas. (a) Que acelerac¸˜ao sofreria um pr´oton se o campo el´etrico no canh˜ao fosse de H !e?q1A (^) ~ N/C. (b) Que velocidade o pr´oton atingiria se o campo atuasse durante uma distˆancia de 1 cm? (a) Usando a segunda lei de Newton encontramos:
kU
J
H
K?@1A D^ m/s ! (b) Usando a Eq. 15 do Cap. 2, encontramos:
à º H 3 6ogaoÆ : 1
J
(^) M km/s! E preciso lembrar-se das f´´ ormulas aprendidas no cur- so de Mecˆanica Cl´assica (F´ısica I).
E 24-47. Um el´etron com uma velocidade escalar de (^) G4! Ç?Â1A (^) S cm/s entra num campo el´etrico de m´odulo (^1) !@? 1A i N/C, movendo-se paralelamente ao campo no sentido que retarda seu movimento. (a) Que distˆancia o el´etron percorrer´a no campo antes de alcanc¸ar (momentanea- mente) o repouso? (b) Quanto tempo levar´a para isso? (c) Se, em vez disso, a regi˜ao do campo se estendesse somente por R mm (distˆancia muito pequena para pa- rar o el´etron), que frac¸˜ao da energia cin´etica inicial do el´etron seria perdida nessa regi˜ao? (a) Primeiro, calculemos a acelerac¸˜ao do el´etron de- vida ao campo:
kU ½
(^) 3 D1 (^) !M ?@1A B L: 3 D1 (^) !V?@1A i: J !^1 =?@1A^ B i[ (^1) !lM ?a1; ~ m/s (^)!
Portanto, usando o fato que à à /H 3 H (^) !HK?@1A D^ m/s ! Portanto, a frac¸˜ao da energia cin´etica perdida ´e dada por q
Ã
aà Ã
H'H (^) !HerH (^) G HG
! 1 >1UH
ou seja, perde 1 >1 (^) !H'É da sua energia cin´etica.
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Se voce gosta de trabalhar mais, pode calcular as ener- gias explicitamente e determinar o mesmo percentual. A energia cin´etica perdida ´e dada por
Ê
H ǽ\Ã
H 3
J
(^)! 1 =?a1; 4B i\^ : 3 IH'H (^) !Hh?a1; ]^ :
(^1) !f1?@1A CB Q J!
A energia cin´etica inicial q era
H
½Ã
H
J
!^1 =?a1;^ B i[^ : 3 G C! V?@1A^ ¼
R ?a1; 4B Q J!
E 24-49.
Na experiˆencia de Milikan, uma gota de raio (^1) !M 5 eË m e de densidade (^) !RG 1 g/cmi fica suspensa na cˆamara infe- rior quando o campo el´etrico aplicado tem m´odulo igual a (^1) !JH?¤1A (^) W N/C. Determine a carga da gota em termos de k. Para a gota estar em equil´ıbrio ´e necess´ario que a
forc¸a gravitacional (peso) esteja contrabalanc¸ada pela forc¸a eletrost´atica associada ao campo el´etrico, ou se- ja, ´e preciso ter-se tÀ , onde ´e a massa da gota, e a carga sobre a gota e´ ´e a magnitude do campo el´etrico no qual a gota est´a imersa. A massa da gota ´e dada por ÍÌrÎt (^365) (
: 9 i Î, onde 9 e seu raio e´ Î ´e a sua densidade de massa. Com isto tudo, temos
^À
i Î À
D1 (^) !M 5 h?@1A BT¼ m: ]i^3 RG 1 kg/mi : 3
J
(^) !R m/s A:
3 D1 (^)!
J
H ?@1A W N/C:
R !h?@1A B L CX
e, portanto,Ï
k
R
'H (^) M ?a1; (^) B L C (^1) !M ?@1A (^) B L C
G
X
ou seja, Gk.
P 24-54.
Duas grandes placas de cobre, paralelas, est˜ao separadas por (^) G cm e entre elas existe um campo el´etrico uniforme como ´e mostrado na Fig. 24-39. Um el´etron ´e libera- do da placa negativa ao mesmo tempo que um pr´oton ´e
liberado da placa positiva. Despreze a forc¸a que existe entre as part´ıculas e determine a distˆancia de cada uma delas at´e a placa positiva no momento em que elas pas- sam uma pela outra. (n˜ao ´e preciso conhecer o m´odulo do campo el´etrico para resolver este problema. Isso lhe causa alguma surpresa?)
A acelerac¸˜ao do pr´oton ´e >Ð (^) kUKU Ð e a acelerac¸˜ao do el´etron ´e ½ k;hUǽ , onde ´e a magnitude do campo el´etrico e Ð e ¤½ representam as massas do pr´oton e do el´etron, respectivamente. Consideremos a origem de referˆencia como sendo na posic¸˜ao inicial do pr´oton na placa `a esquerda. Assim sendo, a coordenada do pr´oton num instante Ä qualquer ´e dada por oÐ >ÐUÄ^ H enquanto que a coordenada do el´etron ´e oT½ ÒÑ ½ÄH. As part´ıculas pas- sam uma pela outra quando suas coordenadas coinci- dem, o Ð o½, ou seja, quando ÐÄH ÓÑ ½Ä>H. Isto ocorre quando Ä HÑ 43 Ð ½:, que nos fornece
o Ð
Ð
Ð ½ Ñ
k UK Ð k;hU Ð .kUK¤½
Ñ
¤½. Ð
Ñ
J
'1?@1A B i[ J !^1 >1?a1;^ B i\^ / (^) !Ml2?@1A (^) B Q^3 I^! G m
H !l ?@1A CB W m H !l ?@1A Bi cm!
Portanto, enquanto o el´etron percorre os (^) G cm entre as placas, o pr´oton mal conseguiu mover-se!
P 24-55. (a) Suponha que o pˆendulo fac¸a um ˆangulo com a vertical. Desenhado-se o diagrama de forc¸as temos tÀ para baixo, a tens˜ao no fio, fazendo um ˆangulo
para a esquerda do vetor , que aponta para cima j´a que a carga ´e positiva. Consideremos o ˆangulo assim definido como sendo po- sitivo. Ent˜ao o torque sobre a esfera em torno do ponto onde o fio esta amarrado `a placa superior ´e Ô 3 6tÀK@ :« sen !
Se ^À.ÕÓ , ent˜ao o torque ´e um torque restaurador: ele tende a empurrar o pˆendulo de volta a sua posic¸˜ao de equil´ıbrio.
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 18 de Novembro de 2002, `as 12:09 p.m.
e
e o ˆ´ angulo entre o momento de dipolo e o campo el´etrico. O torque ´e sempre ‘restaurador’: ele sempre tende agi- rar o momento de dipolo em direc¸˜ao ao campo el´etrico. Se
´e positivo o torque ´e negativo e vice-versa: Ô sen
. Quando a amplitude do movimento ´e pequena, pode- mos substituir sen
por
em radianos. Neste caso, Ô . Como a magnitude do torque ´e pro-
porcional ao ˆangulo de rotac¸˜ao, o dipolo oscila num movimento harmˆonico simples, de modo an´alogo a um
pˆendulo de tors˜ao com constante de tors˜ao Ý . A freq¨uˆencia angular ´e dada por ¡ Ý Ö
Ö
X
onde Ö e o momento de in´´ ercia rotacional do dipolo. Portanto, a freq¨uˆencia de oscilac¸ ˜ao ´e
Þ
H
H
Ö
LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, `as 10:10 p.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica
Mat´eria para a TERCEIRA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a quarta edic¸ ˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
1 O Campo Magn´etico – [Cap´ıtulo 30, p´agina 175] 2 1.1 Quest˜oes................. 2 1.2 Problemas e Exerc´ıcios......... 3 1.2.1 Definic¸˜ao de B – 1/8...... 3 1.2.2 A Descoberta do El´etron – 9/13 6 1.2.3 O Efeito Hall – 14/18...... 6
1.2.4 Movimento Circular de uma Carga – 19/37.......... 7 1.2.5 C´ıclotrons e Sincrotons – 38/42 9 1.2.6 Forc¸a magn´etica sobre fio trans- portando corrente – 43/52... 9 1.2.7 Torque sobre uma Bobina de Corrente – 53/61........ 10 1.2.8 O Dipolo Magn´etico – 62/72.. 12
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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, `as 10:10 p.m.
Dica: A energia potencial magn´etica de um dipolo magn´etico colocado num campo magn´etico externo e ´ (^) (^)
Q 30-21.
Mostramos, no exemplo 9, que o trabalho necess´ario para inverter uma espira de corrente, num campo magn´etico externo, a partir da posic¸˜ao em que est´a ali- nhada com o campo vale "!^. Este resultado ´e v´alido para qualquer rotac¸˜ao de #%$'&)( que parta de uma posic¸˜ao arbitr´aria? N˜ao.
+-,/.0 (^) 1+ "!32546 +7,/.0^ 98) (^) "!/254)6 ;: "!3254)6 =<
pois 2 54^
+>,?.0 (^) 2
2
.0 (^) @ (^2) A4 Desta ex- press˜ ao vemos que o resultado final depende do ˆangulo , do qual partimos, ao fazer a rotac¸˜ao de #B$&(.
Q 30-22.
Imagine que no aposento em que vocˆe est´a sentado exis- ta um campo magn´etico uniforme apontando verti- calmente para cima. Uma espira circular tem seu plano horizontal. Para que sentido da corrente (vista de cima) estar´a a espira em equil´ıbrio est´avel em relac¸˜ao `as forc¸as e torques de origem magn´etica? Anti-hor´ario, pois minimiza ^.
1.2 Problemas e Exerc´ıcios
1.2.1 Definic¸ ˜ao de B – 1/
E 30-
Expresse a unidade de um campo magn´etico! em ter- mos das dimens˜oes C , D , E e F (massa, comprimento, tempo e carga). Uma maneira simples de se fazer isto ´e usando-se a
Eq. 30-6, GH 3 I , que fornece J!LK J M K (^) J K (^) JN K CODQP^ E-R F
A D SPTE
C FUE
E 30- Quator part´ıculas seguem as trajet´orias mostradas na Fig. 30-28 quando elas passam atrav´es de um campo magn´etico. O que se pode concluir sobre a carga de cada part´ıcula? O que podemos concluir sobre o sinal da carga ´e o seguinte, considerando-se a atuacVV / ¸˜ao da forc¸a magn´etica : A part´ıcula 1 tem carga positiva, pois desloca-se no mesmo sentido em que atua
. Analoga- mente, as part´ıculas 2 e 4 tem carga negativa. Para a part´ıcula 3 podemos concluir mais do que apenas seu sinal: a part´ıcula 3 n˜ao tem carga pois, como se per- cebe claramente da figura, a possibilidade do produto vetorial ser zero (isto ´e, termos W // ) est´a excluida. Em outras palavras, perceba que uma part´ıcula carrega- da poderia atravessar um campo magn´etico sem sobre deflex˜ao, desde que viajasse paralelamente ao campo. Isto ´e uma conseq¨uˆencia direta do produto vetorial que define .
E 30- Um el´etron num tubo de TV est´a se movendo a X #%&'Y m/s num campo magn´etico de intensidade $Z mT. (a) Sem conhecermos a direc¸˜ao do campo, quais s˜ao o maior e o menor m´odulo da forc¸a que o el´etron po- de sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a acelerac¸˜ao do el´etron ´e [ \ #B&^]`_ m/s R. Qual ´e o ˆangulo entre a velocidade do el´etron e o campo magn´etico? (a) As forc¸as m´axima e m´ınima ocorrem para a &(^ e^ a &( , respectivamente. Portanto M max
N (^) ! sen^ &( #b #B&dc ]fe^
5 X
%& Y
5 $ Z #%&gcih
\dkjlb #B&^ c ]m_^ N
M min
N (^) ! sen^ &( & N
(b) Como n M PToqp
N ! sen
P o rp temos que senc ]ts^ o pn (^) N!u senc ]ts^
\t^ ##^ #%&^ cvh^ ]
A [ \
B&^]`_
\dkjlb #B&^ c ]m_^ u & bX(
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E 30-
Um pr´oton que se move num ˆangulo de lZ)( em relac¸˜ao a um campo magn´etico de intensidade (^) b mT experimen- ta uma forc¸a magn´etica de (^) bdkj #B& (^) c ]fw N. Calcular: (a) a velocidade escalar e (b) a energia cin´etica em el´etrons- volt do pr´oton. (a) A magnitude da forc¸a magn´etica no pr´oton ´e dada
por
M x N! sen y , onde
N e a velocidade do pr´´ oton, ! e a magnitude do campo magn´´ etico, e y ´e o ˆangulo
entre a velocidade da part´ıcula e o campo. Portanto
N M x! sen y b dkj #%&^ c ]mw^ N #b #B& (^) c ]fe C
5 b
B& (^) cih T
sen lZ (^) ( [ #%&'z m/s
(b) A energia cin´etica do pr´oton ´e
{ # o N R #^ #bX #%& c R|w kg
5 [
%&'z m/s
R #Zl[ #%& c ]mY^ J
<
energia esta que equivale a
#Zl[ #%& c ]mY J #b #%& (^) c ]fe J/eV
$'Z^ j eV
P 30-
Um el´etron que tem velocidade
B&'Y m/s
m}~, Z #B&Y m/s
penetra num campo magn´etico &&Z'&'E
m} , &
j E
. (a) Determine o m´odulo, direc¸˜ao e o sentido da forc¸a sobre o el´etron. (b) Repita o c´alculo para um pr´oton tendo a mesma velocidade. (a) A equac¸˜ao que fornece a forc¸a ´e G ^.
Portanto, basta calcular o produto vetorial:
}
#B&Y Z #B&Y & &&'Z'& &#j &
& #j
A
B& Y
&&'Z'&
5 Z
B& Y
<
onde Vx
b
B& c ]fe C. Fazendo as contas, obtemos,
G , b d b[ #%&^ c ]`_^
(^)
(b) Neste caso o c´alculo ´e idˆentico ao anterior, por´em usando-se agora U ,
b
%& (^) c ]me C: G b d b[ #B&^ c ]m_^
(^)
P 30- Um el´etron num campo magn´etico uniforme tem uma velocidade [ )& km/s
f}, Z j km/s
. Ele experi- menta uma forc¸a G [ fN
f}, [ $ fN
. Sabendo- se que !^ (^) &, calcular o campo magn´etico [que da origem `a forc¸a]. Nota: o prefixo = femto = #B& c ]z. Como! &, escrevemos (^) ! ,^ ! e tratamos de descobrir o valor das duas componentes desconheci- das, !7^ e !^. Com este campo obtemos para a forc¸a magn´etica: W q N}t,^ N ! >,^ !7 0 M }t,^ M <
onde M [
%& c ]z N e M [ $ #B& c ]z N. Efetuando o produto e simplificando encontramos que M N! < M O N! < N'! (^) & <
e, portanto, que !7^ (^) &. Assim sendo, temos
9 (^)!
M (^) N
[
B&^ c ]z #b #B& (^) c ]fe
5 Z j
B& (^) h
& Xj
0 E Ser´a que a relac¸˜ao
M NT!7 , que n˜ao foi usada nos c´alculos acima, tamb´em fica satisfeita? ´E f´acil verificar que tal relac¸˜ao tamb´em ´e obedecida, consistentemente: M M O (^) [)$ [^
@ (^) $ X
O (^) [)& Z j
O ^
N N
P 30- Os el´etrons de um tubo de televis˜ao tˆem uma energia cin´etica de # keV. O tubo est´a orientado de modo que os el´etrons se movam horizontalmente do sul magn´etico para o norte magn´etico. A componente vertical do cam- po magn´etico da Terra aponta para baixo e tem m´odulo de (^) jj T. (a) Em que direc¸˜ao o feixe ser´a desviado? (b) Qual a acelerac¸˜ao de um el´etron devida ao campo
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1.2.2 A Descoberta do El´etron – 9/
E 30-
Um el´etron com energia cin´etica de (^) j keV se move ho- rizontalmente para dentro de uma regi˜ao do espac¸o onde existe um campo el´etrico direcionado para baixo e cujo m´odulo ´e igual a #%& kV/m. (a) Quais s˜ao o m´odulo, a direc¸˜ao e o sentido do (menor) campo magn´etico capaz de fazer com que os el´etrons continuem a se mover hori- zontalmente? Ignore a forc¸a gravitacional, que ´e bastan- te pequena. (b) Ser´a poss´ıvel, para um pr´oton, atravessar esta combinac¸˜ao de campos sem ser desviado? Se for, em que circunstˆancias? (a) Usamos a energia cin´etica para determinar a velo-
cidade:
N { o
kj #B&^ h eV
5
b &
B& (^) c ]fe J/eV
\d #'#^ #B&^ cih^ ] kg 'b #%&^ w m/s
Usando a Eq. 30-10, obtemos:
! ª©^ N #%&^ #%&^ h V/m 'b #B&^ w m/s
Z Z )X #B& c _ T
O campo magn´etico tem que ser perpendicular tanto ao campo el´etrico quanto `a velocidade do el´etron.
(b) Um pr´oton passar´a sem deflex˜ao caso sua velocidade seja idˆentica a velocidade do el´etron. Devidoa carga do pr´oton ter sinal positivo, observe que as forc¸as el´etricas e magn´eticas revertem suas direc¸ ˜oes, por´em continuam a cancelar-se!
E 30-
Um campo el´etrico de #kj kV/m e um campo magn´etico de & [ T atuam sobre um el´etron em movimento de mo- do a produzir uma forc¸a resultante nula. (a) Calcule a velocidade escalar m´ınima N do el´etron. (b) Desenhe vetores ¦
< e . Como a forc¸a resultante ´e nula, o m´odulo da forc¸a
el´etrica ´e igual ao m´odulo da forc¸a magn´etica: x © xN!
. Portanto (a)
N ª© !
#kj #%& (^) h & [
Z X j
%&'h m/s
(b) Uma possibilidade ´e: com saindo perpendicular- mente ao plano da p´agina e ¦ apontando para baixo, temos um desvio para cima quando o el´etron entrar da esquerda para a direita, no plano da p´agina. Fac¸a este desenho!
P 30- Uma fonte de ´ıons est´a produzindo ´ıons de YLi (massa = (^) b u), cada um com uma carga
, x
. Os ´ıons s˜ao acele- rados por uma diferenc¸a de potencial de #B& kV e entram numa regi˜ao onde existe um campo magn´etico unifor- me vertical! # T. Calcule a intensidade do menor campo el´etrico, a ser estabelecido na mesma regi˜ao que permitir´a aos ´ıons de YLi a passagem sem desvios. Para que a forc¸a total ^ , x¦ , 1 U^ se anule, o campo el´etrico ¦ tem que ser perpendicular a velocida- de dos ´ıons e ao campo magn´etico. O campo ´e per- pendicular `a velocidade de modo que «^ tem magni- tude N ! , sendo a magnitude do campo el´etrico dada por © N! . Como os ´ıons tem carga
, x e s˜ao acelerados por uma diferenc¸a de potencial ¬ , temos o N R%Pl Hx ¬ , ou seja N (^) ¡ x ¬>P o. Portanto,
© !
x ¬ o #7E
b &
%& (^) c ]fe
5
B& #B& (^) h ¬
bd &®^
A
b 'b # #%&^ c R|w¯)°^ P®
bt $ #B&^ z ¬>P^ o Note que a massa, dada em ® , precisou ser convertida para kg.
1.2.3 O Efeito Hall – 14/
E 30- Mostre que, em termos de do campo el´etrico Hall © e da intensidade de corrente ± , o n´umero de portadores de carga por unidade de volume ´e dado por ² ± ! x © Chamando o campo el´etrico Hall de ©³ , temos que M ´ M¶μ (^) ·x © ³ ou seja, x ©-³ Vx N'¸^!
. Como a velocidade de deriva ´e dada por
N '¸ (^) ± ¹P
² x , basta substitui-la na equac¸˜ao anterior para se encontrar que ² x±! © ³
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1.2.4 Movimento Circular de uma Carga – 19/
E 30-19.
Campos magn´eticos s˜ao freq¨uentemente usados para curvar um feixe de el´etrons em experimentos de f´ısica. Que campo magn´etico uniforme, aplicado perpendicu- larmente a um feixe de el´etrons que se move a #Z #B&Y m/s, ´e necess´ario para fazer com que os el´etrons percor- ram uma trajet´oria circular de raio & Zj m? Sabemos que xN! o NR%PTº. Portanto º
o
N P
x !
. Desta ´ultima equac¸˜ao obtem-se sem dificul- dades que
! o
N x º
t ##^ #%&^ cvh^ ] Kg
5
Z
%&'Y m/s
#b #%& (^) c ]fe C
A & Z j m
#'#^ #B&^ cz T
E 30-20.
(a) Num campo magn´etico com! & kj T, qual ´e o raio da trajet´oria circular percorrida por um el´etron a #B&^» da velocidade escalar da luz? (b) Qual a sua ener- gia cin´etica em el´etrons-volt? Ignore os efeitos rela- tiv´ısticos. (a) Use a Eq. 30-17 para calcular o raio:
º o p
N !
\t ##^ #B&^ cvh^ ]
5 &
A Z &
B&'¼
#b& #B& (^) c ]fe
A & kj &
Z [ #%& c_ m
(b)
{
o rp N R
\t ##^ #B&^ cvh^ ]
5 Z &
%&'w
^ R #b #B& (^) c ]me J/eV
b #%&^ h eV
E 30-21.
Que campo magn´etico uniforme deve ser estabelecido no espac¸o de modo a fazer um pr´oton, de velocidade escalar # #B&'w m/s, mover-se numa circunferˆencia do tamanho do equador terrestre.
Use a Eq. 30-17:
! o¾½^
N º
b X
B& c R|w
A
&
B&'w
#b& #B& (^) c ]fe
5 b d Z)X^ #B&^ Y
# bZ #%&^ c ¼ T
E 30-22. (a)
N { o
'& #B& (^) h
5
b &
B& (^) c ]fe
\t^ ##^ #%&^ cvh^ ] &j #B&^ w m/s (b) Use a Eq. 30-17: ! o p
N º
\d #'#^ #B&^ cvh^ ]
5 & j
B&'w
#b& #B& (^) c ]fe
5 j g & #B&^ c R
[ bX #%&gc _ T (c)
N . º
& j
. %&'w j g & #%&^ c R
#Zd# #%& w Hz (d)
E
Z t# #%& w XbZ #%& c ¼ s
E 30-24. . O per´ıodo de revoluc¸˜ao do ´ıon de iodo ´e E º'P
N . o¿P
!
, o que nos fornece
o ! .E
#b& #B& c ]fe
5 [ j g & #B&^ cih^
5
\
B& cih
X
.0A
b 'b #B&^ c R|w^ kg/u
#X u
P 30-31.
