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10 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
10.1 Inferência Estatística
O campo da inferência estatística consiste naqueles métodos usados para tomar decisões ou tirar conclusões acerca de uma população. Esses métodos utilizam a informação contida em uma amostra da população para extrair conclusões. A inferência estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: estimação de parâmetros e testes de hipóteses. Como exemplo de um problema de estimação de parâmetros, suponha que um engenheiro de estruturas esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um chassi de automóvel. Uma vez que a variabilidade da resistência à tração está naturalmente presente entre os componentes individuais, devido as diferenças nas bateladas da matéria-prima nos processos de fabricação e nos procedimentos de medidas (por exemplo), o engenheiro está interessado na estimação da resistência média à tração dos componentes. Na prática o engenheiro usará dados da amostra para calcular um número que é, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da média verdadeira. Este número é chamado de estimativa.
10.2 Amostragem Aleatória Na maioria dos problemas de estatística, é necessário usar uma amostra de observações a partir de uma população de interesse, de modo a tirar conclusões relativas à população. A População consiste na totalidade das observações em que estamos interessados enquanto que Amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma determinada população. Para que nossas inferências sejam válidas, a amostra tem de ser representativa da população. A seleção de uma amostra é um experimento aleatório e cada observação na amostra é o valor observado de uma variável aleatória. As observações na população determinam a distribuição de probabilidades da variável aleatória.
10.3 Erro-Padrão estimado Quando o valor numérico ou a estimativa de um parâmetro é reportado, geralmente é desejável dar alguma idéia da precisão da estimação. A medida de precisão geralmente empregada é o erro padrão do estimador que está sendo usado.
Suponha que estejamos amostrando a partir de uma distribuição normal com média e desvio padrão. Agora, a distribuição é normal, com média e desvio padrão ; assim, o erro padrão estimado de é : (10.1) Se não conhecermos, e substituirmos o desvio padrão S da amostra na equação (10.1), então o erro padrão estimado de será: (10.2) Exemplo: Num artigo do Journal of Heat Transfer (1974) é apresentado um novo método de medir a condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma temperatura de 100 oF e uma potência de 550W, as 10 medidas de condutividade térmica (em BTU/h.ft.- oF) obtidas conforme valores a seguir: 41,60 41,48 42,34 41,95 41,86 42,18 41,72 42,26 41,81 42, Uma estimativa da condutividade térmica média a 100 oF e 50 W é a média amostral ou
= 41,924 BTU/h.ft.-oF. O erro padrão da média amostral e sendo desconhecido, podemos trocá-lo pelo desvio padrão da amostra S = 0,284, de modo a obter o erro padrão estimado de como == 0,
10.4 Distribuições Amostrais A inferência estatística trata como tomar decisões acerca de uma população baseando- se na informação contida em uma amostra aleatória proveniente daquela população. Por exemplo, podemos estar interessados no volume médio de enchimento de uma lata de refrigerante. Um engenheiro considera uma amostra aleatória de 25 latas e calcula o volume médio amostral de enchimento como ml. O engenheiro decidirá, provavelmente, que a média da população é 300 ml, muito embora a média amostral tenha sido 298 ml, porque ele sabe que a média amostral é uma estimativa razoável de e que a média amostral de 298 ml é muito provável de ocorrer, mesmo se a média verdadeira da população for =300 ml. De fato, se a média verdadeira for 300ml, então os testes de 25 latas feitos repetidamente, talvez a cada 5 minutos, produzirão valores de que variarão acima e abaixo de =300 ml. A média amostral é uma estatística; isto é, ela é uma variável aleatória que depende dos resultados obtidos em cada amostra particular. Uma vez que uma estatística é uma variável aleatória, ela tem uma distribuição de probabilidades.
é aproximadamente normal padrão, se as condições do teorema central do limite se aplicarem. Se as duas populações forem normais, então a distribuição amostral de Z será exatamente a normal padrão. Exemplo: A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina de um avião a jato é uma variável aleatória, com média de 5000 h e desvio padrão de 40 h. A distribuição da vida efetiva é razoavelmente próxima da distribuição normal. O fabricante do motor introduz uma melhoria no processo de fabricação para esse componente, que aumenta a vida média para 5050 h e diminui o desvio padrão para 30 h. Suponha que uma amostra aleatória de n 1 =16 componentes seja selecionada do processo “antigo” e uma amostra de n 2 =25 seja selecionada do processo “melhorado”. Qual a probabilidade de que a diferença entre as duas médias amostrais seja no mínimo 25 h? Considere que os processos antigo e melhorado possam ser considerados como populações independentes. Solução: Dados: n 1 =16; n 2 =25; ; = -2,14 ( Z=0,4838) P(= 0,5 + 0,4838 = 0,9838 (98,38%)
Aplicações:
Um tubo de PVC é fabricado com um diâmetro médio de 1,010 cm e um desvio padrão de 0,003 cm. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória n=9 seções do tubo ter um diâmetro médio amostral maior que 1,009 cm e menor que 1,012 cm.
Uma fibra sintética, usada na fabricação de carpete, tem uma resistência à tração que é normalmente distribuída, com média 75,5 psi e desvio padrão 3,5 psi. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n=6 corpos de prova de fibra ter uma resistência média amostral à tração que exceda a 75,75 psi.
Considere a fibra sintética do exercício anterior. Qual o erro padrão da média amostral?
A elasticidade de um polímero é afetada pela concentração de um regente.Quando baixa a concentração é usada, a média verdadeira da elasticidade que é 55 e quando aumenta a concentração é usada a elasticidade média de 60. O desvio padrão da elasticidade é 4,
independente da concentração.Se duas amostras aleatórias de tamanho 16 forem retiradas, encontre a probabilidade de.
10.7 Estimação de Parâmetros Estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar valores para a média e o desvio padrão de uma população e a proporção populacional.de parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Entre os mais comuns As estatísticas amostrais são utilizadas como estimativas de parâmetros populacionais que podem ser classificadas em pontual ou intervalar. Estimativa pontual: estimativa única de parâmetro populacional. Estimativa intervalar: estimativa que especifica um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional.
10.8 Intervalos de Confiança O intervalo de confiança é uma estimativa intervalar que inclui uma afirmação probabilística que indica a percentagem de intervalos que podemos esperar abranger o verdadeiro valor do parâmetro em seus limites. A amplitude de um intervalo de confiança depende de quatro itens: a dispersão dos valores populacionais, o nível de confiança indicado, o erro tolerável e o tamanho da amostra.
10. 9 Estimativa do Intervalo de Confiança da Média Aritmética (F 07 3 conhecido) Na inferência estatística, devemos tomar os resultados de uma única amostra e tirar conclusões sobre a população, e não o inverso. Na prática, a média aritmética da população é a quantidade desconhecida que está para ser estimada. Em geral, pode-se interpretar que uma estimativa do intervalo de confiança de 95% significa que, se todas as amostras possíveis de um mesmo tamanho igual a n fossem retiradas, 95 % delas iriam conter a verdadeira média aritmética da população, em algum lugar dentro do intervalo em torno de suas médias aritméticas de amostras, e somente 5% delas estariam fora do intervalo. Uma vez que, na prática, somente uma amostra é selecionada e é desconhecida, nunca sabemos ao certo se determinado intervalo obtido contém uma média aritmética da população. No entanto, podemos afirmar que temos uma confiança de 95% de que selecionamos uma amostra cujo intervalo efetivamente inclui a média aritmética da população.
distribuição normal. A estatística para um distribuição t com graus de liberdade é definida como: (10.6) Na prática, enquanto o tamanho da amostra for grande o suficiente e a população não for muito assimétrica, a distribuição t pode ser utilizada para calcular a média aritmética da população quando for desconhecido. A estimativa do intervalo de confiança (1- ) X1 00% para a média aritmética com desconhecido e expressa através da equação (10.7) onde é o valor crítico da distribuição t , com graus de liberdade, para uma área /2 na cauda superior.
Exemplo: Uma máquina produz peças cilíndricas. Uma amostra acusou os seguintes valores de diâmetros (em polegadas): 1,00 0,98 1,02 1,03 0,99 0,97 1,00 1, 1, 03. Admitindo que a distribuição dos diâmetros seja aproximadamente normal, determinar um intervalo de confiança para a média populacional dos diâmetros de: a) 98% b) 95% Dados: a) 98 % Dados: n=9; 1,003; S= 0,0212; /2= =0,01; ; Intervalo de Confiança: 0,9831, b) 95 % Dados: n=9; 1,003; S= 0,0212; /2= =0,025; ; Intervalo de Confiança: 0,9871, 10.11 Estimativa do Intervalo de Confiança para a Proporção O intervalo de confiança de dados categorizados para calcular a proporção da população a partir da proporção da amostra ps =. Quando a distribuição binomial pode aproximar-se da distribuição normal a estimativa d o intervalo de confiança (1- )X100% para a proporção da população p é dada por:
(10.8) p (10.9) onde: é a proporção da amostra
p é a proporção da população Z é o valor crítico da distribuição normal
Exemplo: O gerente de produção de um grande jornal da cidade deseja determinar a proporção de jornais impressos que apresentam algum tipo de problema, tal como excesso de tinta, montagem de páginas inapropriada , falta de páginas, páginas duplicadas e assim por diante. Experiências do passado envolveram o exame detalhado do primeiro jornal que sai da impressora, porém nenhuma avaliação posterior era feita dos milhares de jornais impressos. O gerente de produção determinou que fosse selecionada para a análise uma amostra aleatória de 200 jornais. Suponha que esta amostra de 200 jornais contém 35 jornais com algum tipo de problema. Se o gerente de produção deseja ter 90% de confiança na estimativa da real produção da população de jornais, o intervalo de confiança deveria ser calculado do seguinte modo: , com um nível de confiança de 0,45 (z = 1,64) Intervalo de Confiança: p
0, [13,09 % , 21,91%]
10.12 Determinação do Tamanho da Amostra Se o objetivo for estimar a média, ou a proporção, podemos usar os intervalos de confiança anteriormente estabelecidos para obter n, o tamanho da amostra. Para isso, precisamos fixar o maior erro de estimativa aceitável e o nível de confiança com que queremos trabalhar. Seja o caso da média. Se estivermos dispostos a aceitar um erro máximo com probabilidade,o intervalo de confiança de nível ()X 100% será [;]. Logo o erro e o tamanho da amostra n para a média aritmética são respectivamente: (10.10) No caso de estimativa de proporções, o erro e o tamanho da amostra n são respectivamente: (10.11)
Exemplo 1: Em nosso exemplo anterior, suponha que o gerente de produção queira ter 90% de confiança de calcular a proporção de jornais sem problemas, numa margem entre 0,04 do
O gerente de marketing de uma empresa que fornece óleo para calefação de residências deseja calcular o consumo médio anual (em galões) em domicílios unifamiliares, em determinada área. É selecionada uma amostra aleatória de 35 domicílios unifamiliares, onde o consumo médio anual destes domicílios e o desvio padrão são respectivamente iguais a e S = 295,72. Suponha que exista uma população de 500 domicílios unifamiliares atendidos pela companhia e que gerente de marketing deseja estimar um intervalo com 95 % de confiança para o consumo médio anual ( em galões) desses 500 domicílios unifamiliares. Dados: ; S = 295,72; n=35; N=500; ; = 1024,65 1220, Exemplo 2: Na pesquisa realizada pelo gerente de marketing sobre o consumo anual de óleo para calefação, o tamanho da amostra necessário para ele obter 95% de confiança de estar certo, numa margem de(pressupondo um desvio padrão de 325 galões), seria 163, uma vez que o =162,31. Logo o tamanho da amostra será: 123 Exemplo 2: Na pesquisa realizada pelo gerente de marketing sobre o consumo anual de óleo para calefação, o tamanho da amostra necessário para ele obter 95% de confiança de estar certo , numa margem de (pressupondo um desvio padrão de 325 galões), seria 163, uma vez que o =162,31. Logo o tamanho da amostra será: 123
Aplicações:
Os sistemas de escapamentos de uma aeronave funcionam devido a um propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma característica importante do produto. Um técnico da qualidade seleciona uma amostra aleatória de n=25 e obtém uma taxa média amostral de queima de= 51,3 cm/s. As especificações requerem que a taxa média de queima seja de 50 cm/s. Sabemos que o desvio padrão da taxa de queima é de cm/s. Encontre um intervalo com 95% de confiança para a taxa média de queima.
Conforme problema anterior, suponha que quiséssemos agora um erro de estimação da taxa média de queima do propelente do foguete menor que 1,5 cm/s. Qual seria o tamanho requerido da amostra?
Um artigo no periódico Materials Engineering (1989, v(2) n.4 pp.275-281) descreve os resultados de teste de tensão quanto a adesão em 22 corpos de prova de liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova é dada a seguir (em Mpa): 19,8 19,85 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11, 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7 11,9 11,4 10,1 7, Encontre o intervalo de confiança de 95 % para a carga média no ponto de falha do corpo.
Uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis, 10 mancais têm um acabamento de superfície mais rugoso do que as especificações permitidas. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de mancais com acabamento de superfície mais rugoso.
Considerando a situação do problema anterior, qual deverá ser o tamanho da amostra se quisermos estar 95 % confiantes de que o erro para estimar p seja menor que 0,05?
Em um teste de sensitividade levado a efeito em 18 válvulas de certa marca, acusou os seguintes valores de sensitividade (em microvolts): 3,31 3,37 2,97 2,83 3,34 2,96 3,11 3,14 3, 3,70 3,11 2,95 3,15 3,29 3,26 3,24 3,22 3, Determinar um intervalo para a sensitividade média da população de válvulas: a) com 95% de confiança b) com 99% de confiança.
Para verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidentes de trabalho cujo objetivo é estimar o parâmetro = média da redução percentual de acidentes de trabalho, devido ao programa preventivo, em todas as empresas da construção civil da região, fez-se um estudo experimental, implementando este programa em dez empresas da construção civil, escolhidas ao acaso, numa certa região. Os dados abaixo referem-se aos percentuais de redução de acidentes de trabalho nas 10 empresas observadas: 20 15 23 11 29 5 20 22 18 17 Usando nível de 95% de confiança encontre o erro de amostra máximo provável e o intervalo de confiança para a média da redução percentual de acidentes de trabalho.
Refazer o problema anterior considerando que se conhece o número de empresas da construção civil da região: a) N = 30 empresas b) E se a população fosse constituída de N= 400 empresas
