Instituto Nacional de Telecomunicações
Curso de M003 - Cálculo I
2o Período
Capítulo 1
2o Semestre de 2017
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Limites e Continuidade em Funções, Exercícios de Cálculo
Um conjunto de exemplos e respostas sobre o cálculo de limites e verificação de continuidade em funções, abordados no curso de cálculo i do instituto nacional de telecomunicações.
Tipologia: Exercícios
2020
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Instituto Nacional de Telecomunicações
Curso de M003 - Cálculo I
o
Período
Capítulo 1
2o Semestre de 2017
Capítulo 1
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL - LIMITES
1.1. Introdução
O universo do cálculo diferencial e integral traz as respostas para três grupos de
questões básicas:
- Como uma função se comporta em torno de um ponto, no qual a mesma não é
definida? Qual é o comportamento inicial de um circuito quando o mesmo é
alimentado? Como se comporta um circuito para freqüências muito baixas ou muito
elevadas?
- Como identificar se uma função está aumentando ou diminuindo? Qual é o seu valor
máximo? Qual é o seu valor mínimo? Como determinar a taxa de variação de uma
função? Como obter a equação da reta tangente a uma curva em um ponto?
- Como calcular áreas delimitadas por curvas? Qual é o valor médio de uma função
contínua dentro de um intervalo? Como calcular probabilidades de variáveis aleatórias
contínuas? Como analisar o conteúdo de freqüências de um sinal contínuo no tempo?
O primeiro grupo de questões nos leva ao estudo de limites, o segundo grupo nos leva
ao estudo de derivadas e o terceiro grupo nos leva ao estudo de integrais. Limites,
derivadas e integrais são ferramentas matemáticas básicas que serão úteis e necessárias
ao longo do curso de Engenharia. Iniciaremos agora o estudo de limites.
1.2. Limite de funções
É de interesse do cálculo saber o valor f (x) de uma função f para valores de x nas
vizinhanças de um valor 0 x , mas não necessariamente para 0 x , mesmo porque, em
muitos casos o valor f x D 0
. Isto é, para 0 x x a função não é definida.
Exemplo 01: Analisemos o comportamento de
1
2
x
x f x em torno do ponto x 1.
Sabemos que f x 1 D , pois 0
f ( 1 ) é uma expressão indeterminada. Vamos então
construir uma tabela de valores para esta função:
x (^) 2 1 0 0,9 0,99 0,
f(x )
x 3 2 1 1,1 1,01 1,
f(x )
Observamos que a função se aproxima do valor 2 à medida que x se aproxima do valor
1, tanto por valores menores do que 1, quanto por valores maiores do que 1. Quando
Exemplo 03: Analise o comportamento de
3 6
3 2
x
x x f x quando x se aproxima de
Exemplo 04: Calcule:
a)
1 1
lim 0
x
x
x
b)
2
lim
3
(^) x
x
x
c) lim 3 1 5
x x
d)
2
lim (^2)
(^) x
x
x
1.3. Representação gráfica e limites laterais
Dado f x L x x
lim ( ) 0
, temos:
Se 0 x x por valores menores que 0 x , dizemos que x tende a 0 x pela esquerda e
escrevemos
0 x x. Este é o limite lateral esquerdo. Se 0 x x por valores maiores
que 0 x , dizemos que x tende a 0 x pela direita e escrevemos
0 x x. Este é o limite
lateral direito.
O limite de uma função existe se, e somente se os limites laterais forem iguais, ou seja,
f x f x L x x x x
lim ( ) lim ( )
0 0
, como observado no gráfico da figura anterior.
Para o gráfico da figura a seguir,
observamos que 1 lim ( )
0
f x L x x
e 2 lim ( )
0
f x L x x
. Como 1 2 L L, concluímos que
lim ( ) 0
f x x x
não existe.
Exemplo 05: Analise o comportamento de
| |
x
x f x em torno do ponto x 0.
Esboce o gráfico desta função.
Exemplo 06: Calcule os limites a seguir:
a) (^) lim ( ) 1
f x x
, em que
x
x
f x
x
x
x
b) lim ( ) 3
gx x
, em que
2 x
x g x
3
x
x
c)
2
4
lim 16 x x
d) lim ( ) 2
f x x
, em que
2
x
x
f x
x
x
x
1.4. Propriedades dos limites
P1) Limite de uma constante k
k k x x
(^0)
lim
P2) Limite do produto de uma constante por uma função
lim ( ) lim ( ) 0 0
k f x k f x x x xx
P3) Limite da soma ou diferença de funções
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
0 0 0
f x g x f x g x x x xx xx
P4) Limite do produto de funções
lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )
0 0 0
f x g x f x g x x x xx xx
P5) Limite do quociente de funções
lim ( )
lim ( )
lim
0
0
0 g x
f x
g x
f x
x x
x x
x x
P6) Limite da potência de uma função
p
n
x x
p
n
x x
f x f x
lim ( ) lim ( ) 0 0
P7) Limite do modulo de uma função
lim ( ) lim ( ) 0 0
f x f x x x xx
P8) Limite do logaritmo de uma função
lim log ( ) log lim ( ) 0 0
f x f x x x
a a x x
P9) Limite de uma exponencial
lim ( ) ( ) 0
0
lim
fx f x
x x
x x a a
Diversas outras propriedades podem ser anunciadas, como exemplo, o limite do seno de
uma função resultando no seno do limite da mesma função, o limite do cosseno de uma
função resultando no cosseno do limite, e assim por diante.
Exemplo 10: Calcule os seguintes limites:
a) (^) lim( 3 ) 0
x x
b) lim( 4 ) 4
x x
c) lim( 2 10 ) 5
x x
d) lim( 3 2 )
2
0
x x x
e) lim(^325 )
2
1
x x x
f) lim ( 1 )
3 2
1
x x x x
g) lim( 3 1 )
5 4 3 2
1
x x x x x x
h) (^)
lim (^6) x
x
x
i) (^)
lim (^1) x
x
x
j) lim( 5 1 )
3 2
1
x x x x
k) (^) lim ( 10 ) cos( )
2
3
x x
x
1.5. Teorema do confronto
Considere g ( x) f(x)h(x) para qualquer valor de x pertencente a um intervalo
aberto contendo o valor a, exceto possivelmente em x^ ^ a. Se g x hx L x a x a
lim ( ) lim ( ) ,
então (^) f x L x a
lim ( ). Esta análise é demonstrada no gráfico da figura a seguir.
1
( )
sen ( ) lim ( ) 0
f x
f x
f x
A função do limite trigonométrico fundamental é conhecida como função sample (do
inglês, amostra), cuja notação é dada por
x
x x
sen( ) Sa( ) , e gráfico dado pela figura a
seguir. Esta função será bastante utilizada no estudo de Sinais e Sistemas e Sistemas de
Comunicação.
Exemplo 13: Calcule os limites a seguir:
a)
x
x
x (^5)
sen( 2 ) lim 0
b)
x
x
x
tg( 3 ) lim 0
c)
²
1 cos( ) lim (^0) x
x
x
d)
sen( )
sen( ) lim (^0) bx
ax
x
e) sen( 2 )
cos( 3 ) cos( ) lim (^0) x x
x x
x (^)
f) sen( 3 )
lim (^0) x
x
x
g)
² 4
sen( ² 4 ) lim (^2)
(^) x
x
x
h) limlog( 3 ) log[ ( 5 )]
0
x sen x x
Exemplo 14: Calcule o valor de a, sabendo que 5
cos
lim 0
(^) x
ax
x
1.7. Limites infinitos e limites no infinito
Uma função f (x)possui limites infinitos quando
lim ( ) 0
f x x x
ou
lim ( ) 0
f x x x
Uma função f (x)possui limites no infinito quando f x L x
lim ( ) ou f x L x
lim ( ).
Exemplo 15: Para a função
1
x
f x , pede-se:
a) Domínio.
b) Função inversa e imagem.
c) Raízes.
d) (^) lim ( )
1
f x x
e) lim ( )
1
f x x
f) lim f(x) x
g) lim f(x) x
h) Esboce o gráfico de f (x).
Exemplo 16: Para a função
| |
x
f x , pede-se:
a) Domínio.
b) lim ( )
0
f x x
c) lim ( ) 0
f x x
d) lim f(x) x
e) lim f(x) x
f) Esboce o gráfico de f (x).
g) Imagem.
Exemplo 18: Calcule:
a)
3
lim (^3)
(^) x
x
x
b)
³ 5
lim
x x
c)
x
x
lim 2
d)
x
x
lim 2
e) limlog ( )
2
1 x x
f)
x
x
lim
g) limln( )
0
x x
h) (^) limtg( )
2
x
x
Exemplo 19: Para a função
3
x
x f x , pede-se:
a) Domínio.
b) Função inversa e imagem.
c) Raízes.
d) (^) f( 0 )
e) lim ( ) 3
f x x
f) lim ( ) 3
f x x
g) lim f(x) x
h) lim f(x) x
i) Esboce o gráfico de f (x).
1.8. Expressões indeterminadas
Alguns limites resultam em expressões indeterminadas. São sete as indeterminações
encontradas no cálculo:
0 ,
1 , ,
0 0 e 0
1.9. Cálculo de limites indeterminados
1.9.1. Funções racionais em que x a
Sabemos que
( )
lim Da
P a
D x
P x
x a
Exemplo 20: Determine
3
lim 1
x
x x
x
Se P ( a) 0 e D ( a) 0 , temos 0
( )
lim Da Da
P a
D x
P x
x a
Exemplo 21: Determine
3
lim (^3)
(^) x
x x
x
Se P ( a) 0 e D( a) 0 , temos
ou
ou
lim x
P a
D a
P a
D x
P x
x a
Exemplo 22: Calcule:
a)
4
lim (^4)
(^) x
x
x
b)
| |
lim 0 x
x
x
Se P ( a) 0 e D( a) 0 , temos
0
lim D a
P a
D x
P x
x a
, que é uma expressão
indeterminada.
Neste caso x a é raiz do numerador P (x) e é também raiz do denominador D (x).
Para eliminar a indeterminação e calcular o limite, basta dividir P( x) e D( x) por
( x a ), ou então utilizar a fatoração para simplificar o limite.
Exemplo 26: Calcule:
a)
2 ³ ² 6 5
lim
(^) x x x
x x
x
b)
4 3
lim
x
x
x
c)
9
lim
x
x
x
1.9.4. Funções com radicais em que x
Quando existir no limite uma divisão de duas funções envolvendo radicais, coloca-se
em evidência o termo de maior grau do radicando. Quando existir no limite apenas uma
diferença de radicais de mesmo índice, deve-se utilizar a racionalização.
Exemplo 27: Calcule:
a)
3 ² 2
lim
4
x
x x
x
b)
4
lim
x
x x
x
c)
4
lim
(^) x
x x
x
d)
x x x
x x x
x
4 9 ²
6 ² 2 3 lim
e) 2 4 2
2 4 3
lim
x x x
x x x x
x
f) lim 3 2 4 4
2 2
x x x x x
g) lim 3 2 4 4
2 2
x x x x x
1.10. Funções exponenciais e limite exponencial fundamental
Para limites envolvendo funções exponenciais, utilizamos a propriedade vista
anteriormente:
lim () ( ) 0
0
lim
fx f x
x x
x x a a
.
O limite exponencial fundamental é dado pela expressão
a
f x
f x f x
a e ( )
lim 1
( )
( )
A demonstração do limite exponencial fundamental será dada posteriormente, no
capítulo de aplicações de derivadas.
Exemplo 28: Calcule:
a) x
x
x
1
0
lim 2
b)
2
2
lim 3
x
x
x
c)
² 4
3 ² 2
lim 4
x
x
x
d) ² 2 3
² 6
3
lim 2
x x
x x
x
e)
x
x (^) x
lim 1
f) x
x
x
1
0
lim 1
g)
x
x x
3 2 lim 1
h)
x
x (^) x
2
lim 5
i)
limln 1
x
x x
j)
x
x
x (^4)
ln( 1 ) lim 0
k)
5
limln 1
x
x (^) x
RESPOSTAS DOS EXEMPLOS
x (^) 2 1 0 0,9 0,99 0,
f (x ) -1 0 1 1,9 1,99 1,
x 3 2 1 1,1 1,01 1,
f (x ) 4 3 Não existe^ 2,1 2,01 2,
lim ( ) 2
f x x
a) 2 b) 12 c) 4 d) 0
lim ( ) 0
f x x
a) 2 b) c) d)
a) (^) 2 b) 0 c) d) 0 e) 2 f)
a) 0 b) c) 0 d) e) 4
f) g) (^) 4 h) 0 i) 6 j) 0
a) { 4 , 4 }b) , 8 c) 0 d) e) 2 f) 2
g) 8 h) 0 i) 2 j) 0 k)
a) 3 b) 0 c) 0 d) 2 e) 0 f) (^) 4
g) (^) 2 h) 8 i) 0 j) 8 k) 5
18
2
- lim ( ) 1 0
f x x
- Demonstração feita em sala de aula.
a)
5
b) 3 c)
2
d)
b
a
e) 2 f)
3
g) 1 h) (^)
log
- a 5