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Notas de Aula de NB
Prof. Melquisedec F. da Silva
Sequências e Séries
2014
Para entender séries, antes precisamos entender o que é uma sequência, vamos ver que
uma série é um tipo de sequência.
Sequências Infinitas (ou Sequências de números reais).
O que é uma sequência?
Uma sequência infinita, ou, simplesmente sequência é uma sucessão interminável de
números, chamados termos. Para representar sequência utilizamos a notação:
a , , , , , , , Imagem
n 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , , , Domínio
n 1 2 3 4 5 KK K
KK K
a a a a a a n
n
Ou mais precisamente, sequência é uma função onde o seu domínio é o conjunto dos
números naturais.
Definição
Suponha uma função
NNNN RRRR
f : → , que para cada
NNNN
n
associa um
nnnn
aaaa
real.
Escrevemos:
n
f (((( n^ ))))=^ a
Onde: n é o índice da sequência e
nnnn
aaaa n-ésimo termo da sequência.
Exemplos de sequências: Gráficos com auxílio do Mathcad.
Exemplo 1 Sequência {n^2 }
n := 1 .. 10
a n
n
2 :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
a 1 = 1
2 = 1
a 2 = 2
2 = 4
a 3 = 3^2 = 9
a 4 =^ 4
a 5 = 5
2 = 25
Representação gráfica
1
Exemplo 2 : Sequência {^
1
n
}
n := 1 .. 20 a n
1
n
:=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
Representação gráfica
Exemplo 3: Sequência {
1
n
}
n := 1 .. 26
a n
1
n
:=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
1
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
Representação gráfica
Temos que formalizar essa escrita.
Quantificar essa noção significa a sequência tender a um valor quando
n →+ ∞. Isto é a noção de limite.
Definição de Limite
Dizemos que uma sequência { a (^) n }converge para o limite L, se dado
qualquer ε > 0, existe n 0 ≥ 0 tal que
a n− L < ε , para todo
0
n ≥ n , ( )
0
n = f ε.
ou − ε <a n−L<ε ∴ L−ε<an<L + ε.
Se Épsilon é muito pequeno, tem que andar mais com os termos da sequência para cair
dentro da faixa.
Essa é a noção formalizada de se dizer que: L ouque lim =L
n
n
a
n
a.
Se
n → ∞
n
lim a existe, diz-se que a sequência converge (ou é convergente).
Caso contrário, diz-se que a sequência diverge (ou é divergente).
Exemplo 6: Tomemos a sequência
a
n
n
n e provemos que o limite da
sequência é
2
1. Da definição de limite, temos:
( )
( )
5 ,portanto 6. 4
de0.5,assimtemos
- 05 paraquecainumafaixaemtorno 100
.Porexemplo,tomando 4
,assimbastatomar 4
,temosqueapresentaro 4 2
paratodo 2
0 0
0
. 0
0
n n
n
n
n
=
n n n n
n n
n n
n
n
n
A partir do termo a 6 estou dentro da faixa. Portanto, dado qualquer ε
sempre encontro n 0 , essa é a ideia de convergir para L.
Ilustração gráfica da sequência
a n
n
2n + 1
:= Valor de Épsilon: εεεε = 0.
0 3 6 9 12 15
L + ε
} Faixa em torno de 0.
L - ε
Gráfico da sequência (^) {
n
2 n + 1
}
Notamos na representação gráfica que para esse épsilon ε = 0. 05 o n 6 0
=
resolve o meu problema, veja que para n 6 , 7 , 8 , 9 ,K
0
= todos estão
dentro da faixa. Está dentro da faixa significa
a (^) n− L<ε ouL−ε<an<L + ε,ouseja, ( 0. 45 , 0. 55 ).
Exemplo 7. Seja a sequência
n + 1
n
Para a sequência
n + 1
n
, temos: 1
n +
n
Da definição de limite, temos:
1 .Tomando 0. 1 9 ,ouseja, 10
1 ,assimbastatomar
Então,
1 paratodo n 1
0 0 0
0
n n n
n
n
n n n n
n n
n
n
n
n
Podemos tirar conclusões sobre limites de sequências sem necessariamente fazer
uso da definição de limite. O que permitirá tirar essas conclusões são as
Propriedades e os Teoremas.
Propriedades para limites de sequências
Se e éumaconstante. 2
e L 1
L k n
b
n
a → → Então, vale as seguintes propriedades:
P 1. lim ( + ) =L 1 +L 2 →∞ n
an b n
Limites notáveis: 1. Se 1 ,então 0 n
< lim = →∞
n a a
P 2. lim ( − ) =L 1 −L 2 →∞ n
an b n
→∞
n a a n
Se 1 ,então lim
P 3. lim (^ × )^ =L 1 ×L 2 →∞ n
an b n
k e
n
n
k
n
lim 1
P 4. lim ( ⋅ ) = ⋅L 1 → ∞
k an k n
se L 0 L
L
P. 2
2
1 5 lim^ = ≠
→ ∞ n
b
n
a
n
Exemplo 8.
Para as sequências que seguem, determine se as mesmas convergem ou divergem. Se
convergir, ache o limite.
(a) { }
∞
= 1
2
n
n (b) { }
∞
=
1
n
n (c)
∞
4 n + (^1) n 1
n (d) ( )
∞
=
1
1
4 1
n
n
n
n (e) ( )
n
n^1 1
1
Teoremas
Teorema 1. Limite de uma sequência por função extensão.
Seja a função f ( x ) (função extensão) definida no intervalo [ 1 , ∞) e seja a
sequência { a (^) n } definida por a (^) n = f ( n ) para cada inteiro positivo n****. Então, se
lim ( )= L
f x n
, segue-se que lim =L
→ ∞ n
a n
Qualquer função contínua vista no seu domínio sobre o conjunto dos números
inteiros se torna uma sequência.
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
Observação: Quando estivermos calculando
limite no estudo das séries, as propriedades P 3
e P 5 não valerão.
O Teorema 1 não é demonstrado,
mas o seu resultado é fácil de ser
entendido. Basicamente ele diz que
se uma função contínua converge
para L quando x →+∞, então
considerando a sequência f ( n ) ,
teremos esta sequência convergindo
para o mesmo número L. O gráfico ao lado mostra exatamente isto.
Nos casos em que é possível o uso do Teorema 1 , o cálculo de limites de sequências
torna-se simples, especialmente quando usamos a famosa regra de L’Hôpital.
Exemplo 9. Seja calcular o limite da sequência
n
ln n .
Solução:
Tomemos a função extensão x
x f x
ln ( )= definida para todo x ≥ 1 e coincidente
com a sequência dada em inteiros positivo.
A função x
x f x
ln ( )= é uma indeterminação da forma ∞
com x →+∞.
Aplicando a regra L’Hôpital para obter
lim
( )
(ln )
lim
ln lim
1 = = = = →∞ →∞ →∞
x
x x x x dx
d
x dx
d
x
x
. Concluímos que 0
ln lim = → ∞ n
n
n
Portanto a sequência é convergente.
Observe que primeiro concluímos sobre o que ocorre com o limite da função
contínua no infinito e depois, pelo Teorema 1, a sequência terá o mesmo limite.
Exemplo 10. Idem para a sequência
n
n
Teorema 2. Teste da razão para sequência.
Se uma sequência { a n } de termos positivos satisfaz à condição 1
lim = <
→ ∞
l a n
n
a
n
então ela converge para zero.
Para provar que {^ a n }converge para zero, raciocinamos por absurdo admitindo que seu
limite seja um número s ≠ 0. Como a sequência {^ }
a
n +
também converge para s, por
ser uma subsequência de {^ a n }, resulta que:
l
l
lim
im
im
1 = =
→ ∞ s
s
n
a n
n
a n
a
a l n
n
n
Exemplo 11. Usando o Teorema 2 provaremos que as sequências
{ } n
n
n n
a = , { } , 0
b = r >
n
r n
n
c
n
n n K
e { } n
p n n 2
d =
convergem todas para zero.
