UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS
BACHARELADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Jean kaio
Pedro Henrique
GEOMETRIA ANALÍTICA
Santarém Pará, 2026
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Estudo sobre cônicas, Slides de Geometria Analítica e Cálculo
Estudo detalhado sobre algumas funções cônicas e seu funcionamento.
Tipologia: Slides
2026
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS
BACHARELADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Jean kaio Pedro Henrique
GEOMETRIA ANALÍTICA
Santarém Pará, 2026
Sumário
**1. Introdução
- Circunferência** 2.1 Formação Geométrica 2.2. Elementos Principais 2.3 Equação da Circunferência 2.4 Construção no GeoGebra 2.5 Exploração dos Parâmetros 2.6 Aplicação no Mundo Real 3. Parábola 3.1 Formação Geométrica 3.2 Elementos Principais 3.3 Equação da Parábola 3.4 Construção no GeoGebra 3.5 Exploração dos Parâmetros 3.6 Aplicação no Mundo Real 4. Elipse 4.1 Formação Geométrica 4.2 Elementos Principais 4.3 Equação da Elipse 4.4 Construção no GeoGebra
distância positiva r , a circunferência é o conjunto de todos os pontos P tais que a distância de P a C é igual a r.
Figura 1 — Formação geométrica da circunferência: todos os pontos P estão à mesma distância r do centro C.
2.3 Equação da Circunferência
A propriedade que caracteriza os pontos da circunferência é, portanto, a equidistância : cada ponto da curva está à mesma distância do centro. Essa distância constante é o raio r. Quando r = 0, a circunferência degenera-se em um único ponto (o centro); quando r < 0, não há pontos reais satisfazendo a condição.
A partir da definição geométrica, podemos deduzir a equação da circunferência. Seja P ( x , y ) um ponto qualquer da circunferência de centro C ( x 0 , y 0 ) e raio r. Pela definição:
d ( P , C ) = r ⟹ = r (1)
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos a equação reduzida da circunferência:
( x − x 0 )^2 + ( y − y 0 )^2 = r^2 (2)
Quando o centro está na origem (0, 0), a equação simplifica-se para x^2
- y^2 = r^2. A equação geral da circunferência é obtida desenvolvendo
equação reduzida:
x² + y² − 2x ₀ x − 2y ₀ y + (x ₀ ² + y ₀ ² − r²) = 0 (3)
Denotando A = −2 x 0 , B = −2 y 0 e C = x^2 + y^2 − r^2 , a equação geral assume a forma:
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 (4)
2.4 Construção no GeoGebra
No GeoGebra, a circunferência pode ser construída de diversas maneiras. A forma mais direta é inserir a equação reduzida na barra de entrada. Por exemplo, para construir uma circunferência de centro C (-2, 2) e raio r = 2, digitamos:
Figura 2 — Construção da circunferência ( x + 2)^2 + ( y − 2)^2 = 2 no GeoGebra, com sliders para os parâmetros h, k e r.
Os elementos geométricos identificados na construção são: centro C (-2, 2), raio r = 2, e os pontos de interseção com os eixos coordenados quando existirem. A janela de álgebra exibe automaticamente a equação e as coordenadas do centro.
2. 5 Exploração dos Parâmetros
Utilizando sliders no GeoGebra, podemos explorar como cada parâmetro influencia
● O eixo central da roda corresponde ao centro C da circunferência; ● O raio da roda (distância do eixo a uma cabine) é o raio r da circunferência; ● A posição de cada cabine em um instante t pode ser descrita por coordenadas paramétricas: x ( t ) = x 0 + r cos( ωt ) e y ( t ) = y 0 + r sin( ωt ) , onde ω é a velocidade angular.
3. Parábola
3.1 Formação Geométrica da Curva
A parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo ( foco ) e de uma reta fixa ( diretriz ). Essa definição baseada em duas entidades geométricas — ponto e reta — diferencia a parábola das demais cônicas e explica muitas de suas propriedades reflexivas.
Figura 4 — Formação geométrica da parábola: todo ponto P equidistante do foco F e da diretriz d.
A propriedade característica da parábola é, portanto, a equidistância entre foco e
diretriz : para qualquer ponto P da parábola, a distância até o foco é igual à distância até a diretriz. A reta perpendicular à diretriz que passa pelo foco é chamada de eixo de simetria da parábola
3.2 Elementos Principais
Tabela 3 — Elementos principais da parábola.
Elemento Descrição Notação Foco Ponto fixo de referência (^) F Diretriz Reta fixa de referência d Vértice Ponto da parábola mais próximo da diretriz; ponto médio entre foco e diretriz
V
Eixo de simetria Reta perpendicular à diretriz passando pelo foco — Parâmetro Distância do vértice ao foco (ou vértice à diretriz) p Latus rectum Corda focal perpendicular ao eixo; comprimento^ = 4 p^ —
3.3 Equação da Parábola
Considere uma parábola com vértice na origem V (0, 0), foco em F (0, p ) e diretriz y = − p (parábola com eixo vertical). Para um ponto P ( x , y ) na parábola:
d ( P , F ) = d ( P , d ) ⟹ = ∣ y + p ∣
Desenvolvendo e simplificando, obtemos a equação reduzida :
( x − x 0 )^2 = 4 p ( y − y 0 )
Para uma parábola com vértice em V ( x 0 , y 0 ), a equação transladada é:
(x − x ₀ )² = 4p(y − y ₀ )
Tabela 4 — Influência dos parâmetros na parábola ( x − h )^2 = 4 p ( y − k ).
O parâmetro p é o mais significativo geometricamente: ele determina tanto a concavidade quanto a largura da parábola. Quando ∣ p ∣ é pequeno, a curva é "pontiaguda" próximo ao vértice; quando ∣ p ∣ é grande, a curva é mais "suave". O sinal de p controla a direção de abertura.
3.6 Aplicação no Mundo Real
Figura 6 — Ponte suspensa: os cabos de suspensão assumem formato parabólico sob carga uniformemente distribuída . As pontes suspensas constituem um exemplo clássico da aplicação da parábola
Parâmetro Variação Efeito na Curva
p ∣ p ∣ aumenta
A parábola se "abre" mais lentamente (mais larga); ∣ p ∣ diminui, a parábola se torna mais estreita p > 0 — Abertura para cima (eixo vertical) ou direita (eixo horizontal) p < 0 — Abertura para baixo (eixo vertical) ou esquerda (eixo horizontal) h h varia Desloca a parábola horizontalmente no plano k k varia Desloca a parábola verticalmente no plano
na engenharia civil. Os cabos principais de suspensão, quando submetidos a uma carga uniformemente distribuída ao longo do vão horizontal, assumem a forma de uma parábola. A relação matemática é estabelecida da seguinte forma:
● O ponto mais baixo do cabo corresponde ao vértice V da parábola; ● A carga distribuída (peso da pista, veículos) age como a diretriz que "puxa" o cabo para baixo; ● A tensão no cabo converge para um ponto equivalente ao foco F ; ● A equação que modela o cabo é y = (w/2T₀)x² + y₀, onde w é a carga por unidade de comprimento e T 0 é a tração horizontal.
4. Elipse
4.1 Formação Geométrica da Curva
A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos ) é constante. Essa definição, envolvendo a soma de distâncias, confere à elipse sua característica forma ovalada e está na base de importantes aplicações em astronomia e óptica.
Tabela 5 — Elementos principais da elipse.
4.3 Equação da Elipse
Para deduzir a equação da elipse, considere focos em F 1 (− c , 0) e F 2 ( c , 0) e a condição d ( P , F 1 ) + d ( P , F 2 ) = 2 a. Desenvolvendo algebricamente = 2 a
A equação geral da elipse assume a forma Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 com B^2 − 4 AC < 0 (condição de elipticidade) e A ⋅ C > 0.
4.4 Construção no GeoGebra
No GeoGebra, a elipse pode ser construída utilizando o comando Elipse [Foco1, Foco2, Ponto] ou inserindo diretamente a equação. Para a elipse vertical, utilizamos a seguinte equação: x²/9 + y²/25 = 1 (onde A = 25, B = 9 e C = 4).
Figura 8 — Construção da elipse vertical no GeoGebra com focos e eixos identificados.
Excentricidade Medida do "achatamento" da elipse e^ =^ c / a ,^ 0 ≤^ e^ < 1 Latus rectum Cordas focais perpendiculares ao eixo maior 2 b^2 / a
Agora, para uma Elipse Horizontal, é utilizada a seguinte equação: x²/25 + y²/9 = 1 (onde A = 25, B = 9 e C = 3).
Figura 9 — Construção da elipse horizontal no GeoGebra com focos e eixos identificados.
4.5 Exploração dos Parâmetros
Na construção, os elementos identificados são: A = (0,4), b = (0, -4), C = (-4, 0) e o ponto G que pode variar na função deslizante. Tabela 6 — Influência dos parâmetros, a, b, h,k em relação a a e b na elipse
A relação fundamental c^2 = a^2 − b^2 implica que os três parâmetros não são independentes: fixados a e b , a posição dos focos fica c² = a² − b² =
Parâmetro Variação Efeito na Curva a (semi-eixo maior)
a aumenta
Alonga a elipse na direção do eixo maior; aumenta o "tamanho" geral
b (semi-eixo menor)
b aumenta (^) Espessura a elipse na direção perpendicular; quando b → a , a elipse se aproxima de uma circunferência
h , k variam^ Translada a elipse no plano cartesiano
Relação a / b a^ ≫^ b^
Elipse muito achatada (alta excentricidade); a ≈ b , elipse aproximadamente circular
envolve uma soma constante, a hipérbole caracteriza-se pela diferença, resultando em uma curva com duas ramificações simétricas separadas.
Figura 11 — Formação geométrica da hipérbole: ∣ d 1 − d 2 ∣ = 2 a é constante, com focos, vértices e assíntotas indicados. A condição 2 a < d ( F 1 , F 2 ) = 2 c assegura que a hipérbole seja uma curva real com dois ramos distintos. Quando 2 a = 2 c , a hipérbole degenera em duas semirretas opostas contidas na reta que passa pelos focos. A hipérbole é a única cônica não fechada entre as quatro estudadas.
5.2 Elementos Principais
Tabela 7 — Elementos principais da hipérbole.
Elemento Descrição Relações Focos Dois pontos fixos de referência F 1 (− c , 0) e F 2 ( c , 0) Centro Ponto médio entre os focos C (0, 0) Vértices Pontos onde a hipérbole intersecta o eixo real A 1 (− a , 0), A 2 ( a , 0)
Eixo real (transverso)
Segmento que contém os vértices e os focos; comprimento 2 a
2 a
Eixo imaginário (conjugado)
Segmento perpendicular ao eixo real; comprimento 2 b
2 b
Assíntotas Retas que a hipérbole se aproxima infinitamente y = ± x
Distância focal Distância entre os focos 2 c , onde^ c^2 =^ a^2 +^ b^2 Excentricidade Medida da "abertura" dos ramos e = c / a > 1
Ramos As duas curvas simétricas separadas
Ramo direito e ramo esquerdo
5.3 Equação da Hipérbole
A partir da definição geométrica, com focos em F 1 (− c , 0) e F 2 ( c , 0) e condição ∣ d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 )∣ = 2 a , desenvolvemos algebricamente:
|√[(x+c)²+y²] − √[(x−c)²+y²]| = 2a x²/a² − y²/b² = 1
A Partir disso, obtém-se duas equações reduzidas: a horizontal e vertical, respectivamente.
(x − x ₀ )²/a² − (y − y ₀ )²/b² = 1 (y − y ₀ )²/a² − (x − x ₀ )²/b² = 1
Para cada uma delas existe um assíntota, para a equação horizontal é:
assíntotas.
5.5 Exploração dos Parâmetros
Tabela 8 — Influência dos parâmetros na hipérbole.
Parâmetro Variação Efeito na Curva a a aumenta Os vértices se afastam do centro; o eixo real aumenta b b aumenta As assíntotas ficam mais íngremes ( b / a aumenta); os ramos se "abrem" mais Relação b / a
b / a aumenta
Ramos mais abertos (ângulo entre assíntotas aumenta); b / a diminui, ramos mais "fechados" h , k variam^ Translada a hipérbole no plano cartesiano
A relação c^2 = a^2 + b^2 distingue a hipérbole da elipse ( c^2 = a^2 − b^2 ) e implica que todos os três parâmetros são independentes na hipérbole (exceto pela restrição c > a ). A excentricidade e = c / a > 1 mede a abertura dos ramos: quando e é próximo de 1, os ramos são mais "fechados"; quando e é muito maior que 1, os ramos se abrem amplamente.
5.6 Aplicação no Mundo Real
Figura 13 — Torre de resfriamento de usina nuclear: estrutura hiperbólica que otimiza a troca térmica e a resistência estrutura
As torres de resfriamento de usinas nucleares e termelétricas adotam o formato de hiperboloide de uma folha , uma superfície de revolução gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário. A escolha desse formato não é estética, mas fundamentada em princípios matemáticos e de engenharia:
● O perfil hiperbólico cria uma chaminé natural : o ar quente sobe mais rapidamente no centro estreito, acelerando o fluxo de ar e aumentando a eficiência do resfriamento; ● A estrutura de dupla curvatura (curvatura negativa) distribui uniformemente as tensões, permitindo paredes mais finas e menos material; ● O perfil hiperbólico cria uma chaminé natural : o ar quente sobe mais rapidamente no centro estreito, acelerando o fluxo de ar e aumentando a eficiência do resfriamento; ● A estrutura de dupla curvatura (curvatura negativa) distribui uniformemente as tensões, permitindo paredes mais finas e menos material; ● A hipérbole de revolução possui rigidez estrutural superior a cilindros ou cones;