Eu odeio EDO 2ª Edição, Notas de estudo de Engenharia Química

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EU ODEIO EDO

2° Edição

HELDER GUERREIRO

Deus seja Louvado.

Guerreiro, Helder

Eu odeio EDO 2ª ed./ Helder Guerreiro – Manaus, 2016.

Bibliografia

Livro não catalogado e não institucional, o mesmo é amador.

• 1. Conselhos de um amigo
• 2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial
  • 2.1 Teorema de existência e unicidade
  • 2.2 Os sete passos
  • 2.3 Primeiro Exemplo
  • 2.4 Segundo Exemplo
• 3. Os mais lights - Variação de parâmetros e variáveis separáveis
  • 3.1 Variação de parâmetros
    • 3.1.1 Primeiro Exemplo
    • 3.1.2 Exemplo sem variação de parâmetros
  • 3.2 Variáveis separáveis
    • 3.2.1 Primeiro Exemplo
    • 3.2.2 Segundo Exemplo
    • 3.2.3 Terceiro Exemplo
• 4. Ta ficando chato - Equações diferenciais exatas
  • 4.1 A função solução
  • 4.2 Primeiro Exemplo
  • 4.3 Segundo Exemplo
  • 4.4 Complicando a sua vida – Equação não exata em equação Exata
    • 4.4.1 Primeiro Exemplo
  • 4.5 Equação exata transformada – Fator integrante em função de y
    • 4.5.1 Primeiro Exemplo
• 5. Uma alternativa interessante - Equações homogêneas
  • 5.1 Primeiro Exemplo
• 6. Super Exemplo – Tá na hora de treinar
  • 6.1 Equação homogênea
  • 6.2 Variáveis separáveis
  • 6.3 Equações exatas
  • 6.4 Variação de parâmetros
  • 6.5 Método comum
• Um bônus para sua mente – Integral por partes
  • Exemplos
  • Integrais infinitas
    • Exemplo
• Exercícios resolvidos – Já estou bonzinho demais
  • Primeira questão
  • Segunda questão
• 7. Lembranças de um futuro esquecido - Trajetórias ortogonais
  • 7.1 Primeiro Exemplo
• 8. Equações de Riccati – Nome difícil para uma coisa difícil
  • 8.1 Primeiro Exemplo
• Exercícios resolvidos – Para não enferrujar
• 9. Equações lineares de segunda ordem – Aumentando o grau de dificuldade
  • 9.1 Sua forma
  • 9.2 Soluções gerais
  • 9.3 Equação característica
  • 9.4 Primeiro Exemplo
  • 9.5 Segundo Exemplo
  • 9.6 Terceiro Exemplo
• 10. Equações de Bernoulli e equações não lineares de segunda ordem
  • 10.1 Equações de Bernoulli – Um dia você vai se lembrar desse nome
    • 10.1.1 Primeiro Exemplo
  • 10.2 Equação de 2º ordem não linear sem o termo em y
    • 10.2.1 Primeiro Exemplo
  • 10.3 Equação de 2º ordem não linear sem a variável independente t
    • 10.3.1 Primeiro Exemplo
• 11. Conjunto fundamental de soluções – Álgebra? Me esquece por favor!
  • 11.1 Primeiro Exemplo (Regra de Cramer)
  • 11.2 Primeiro Exemplo (Sistema Comum)
  • 11.3 Segundo Exemplo (Regra de Cramer)
  • 11.4 Segundo Exemplo (Sistema Comum)
• 12. Equações características com raízes negativas – Sua vida cada vez mais negativa
  • 12.1 Número Complexos
  • 12.2 Equações características com raízes negativas
  • 12.3 Primeiro exemplo
• 13. Equação de coeficientes variáveis – Sim, o demônio é real
  • 13.1 Primeiro exemplo
• 14. Equações características com raiz única – Uma pegadinha básica
  • 14.1 Primeiro exemplo
  • 14.2 Segundo exemplo
• 15. Redução de Ordem – Domando o diabo
  • 14.1 Primeiro exemplo
  • 14.2 Primeiro Exemplo (método comum)
• Exercícios resolvidos – Se parar, a bicicleta cai
  • Primeira questão
  • Segunda questão
  • Terceira questão
• 1 6. Equações de segunda ordem não homogenias com coeficientes constantes
  • 16.1 Uma equação não homogenia – Ou seja, um saco de problema
  • Primeiro teorema
  • Segundo teorema
  • Explicando
  • 16.2 Método dos coeficientes indeterminados – Sua vida indeterminada
  • 16.3 Primeiro Exemplo
  • 16.4 Segundo Exemplo
  • 16.5 Terceiro Exemplo
  • 16.6 Quarto Exemplo
• 17. Formas de equações não homogenias – Diferentes formas de sofrer
  • Terceiro Teorema
  • Explicação
  • 17.1 Primeiro Exemplo
• 1 8 Caso especial de equação não homogênea – Ainda mais problemas
  • 18.1 Exemplo destrutivo
  • 18.2 Solução
  • 18.3 Exemplo Construtivo
• 19. Variação de parâmetros – Variando a sua pressão
  • 19.1 Primeiro Exemplo
  • 19.2 Segundo exemplo (com formula)
• 20. Equações de ordem superior – Estamos ferrados
  • 20.1 Primeiro Exemplo

2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial

2.1 Teorema de existência e unicidade

“Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto 𝐼 = (𝛼, 𝛽), que contém o ponto 𝑡 = 𝑡 0

, então existe uma única

função 𝑦 = ∅(𝑡) que satisfaz a equação diferencial:

′

Para cada 𝑡 ∈ 𝐼 e que também satisfaz a condição inicial: 𝑦

0

0

, onde 𝑦

0

é um valor inicial arbitrário. ”

• Ou seja, este teorema está dizendo que 𝑦

′

• 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑞(𝑡) é uma regra a se seguir para a resolução de PVI’s.

2.2 Os sete passos

São necessários 7 passos para resolver estes problemas:

Ajeitar a questão para regra geral

A regra geral apresentada pelo PVI deve ser da seguinte forma: 𝑦

′

• 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑞(𝑡), basicamente consiste em não haver

coeficiente algum a frente do 𝑦′. Caso a equação não apresente essa forma, deve-se ajeita-la.

Encontrar o fator integrante

O integrante será encontrado da seguinte forma 𝜇

∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡

, basta pegar a função 𝑝(𝑡) integrar e depois usar como

expoente de “e”.

Multiplicar o fator integrante

Encontrando-se o fator integrante multiplique-o pelos dois lados.

Simplificar e tornar integral

Do lado esquerdo da igualdade simplifique a expressão de tal forma que encontre a primitiva da derivada do produto

dessa forma:

𝑑

𝑑𝑥

[𝑘𝑥], e coloque uma integral no lado direito da igualdade anulando a derivada do lado esquerdo.

Integrar

Agora focando no lado direito, resolva a integral ordinária (não é um insulto).

Solução geral

Trocando a integral do lado direito pelo seu resultado (não esqueça da constante C) hora de isolar o y, ao terminar de

isolá-lo essa será a solução geral.

Solução do PVI

Com a solução geral pronta use o ponto que foi dado pelo enunciado usando um valor para y e um para t e encontre o

valor de C. Depois volte a solução geral e substitua o valor de C.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

2.3 Primeiro Exemplo

Temos a equação e o ponto: 𝑡

3

′

2

−𝑡

Ajeitar a questão para regra geral

3

′

2

−𝑡

3

′

3

2

3

−𝑡

3

′

−𝑡

3

Encontrar o fator integrante

∫ 𝑝

( 𝑡

) 𝑑𝑡

𝑑𝑡 = 4ln|𝑡| = ln |𝑡

4

ln 𝑡

4

4

Multiplicar o fator integrante

′

−𝑡

3

𝑡

4

4

′

3

−𝑡

Simplificar e tornar integral

4

′

3

4

3

[𝑦𝑡

4

]

[𝑦𝑡

4

] = 𝑡𝑒

−𝑡

4

−𝑡

Integrar

−𝑡

𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 → {

−𝑡

−𝑡

−𝑡

−𝑡

−𝑡

−𝑡

−𝑡

−𝑡

Solução Geral

4

−𝑡

−𝑡

𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦

−𝑡

3

−𝑡

4

4

Solução do PVI

−𝑡

3

−𝑡

4

4

−𝑡

3

−𝑡

4

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Passo 1

Passo 2

3. Os mais lights - Variação de parâmetros e variáveis separáveis

3.1 Variação de parâmetros

Equação Diferencial Ordinária Linear de 1° Ordem

I. 𝑦

′

II. 𝑦

′

• 𝑝(𝑡)𝑦 = 0 (𝑒𝑞. ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑖𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑒𝑞. 𝐼)

Multiplicando o fator integrante:

′

∫ 𝑝

( 𝑡

) 𝑑𝑡

∫ 𝑝

( 𝑡

) 𝑑𝑡

a) Simplificando e integrar:

[𝑦𝑒

∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

] = 0

[𝑦𝑒

∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡

]𝑑𝑡 = ∫ 0 𝑑𝑡

∫ 𝑝

( 𝑡

) 𝑑𝑡

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

(𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑖𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎)

b) Tornar c uma função

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

c) Substituindo em I.

′

′

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

′

− ∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

′

∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡

∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡

′

3.1.1 Primeiro Exemplo

Ache a solução do PVI abaixo:

′

Variação do parâmetro

′

Fator integrante

∫

𝑝(𝑡)𝑑𝑡 = ∫

𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = ∫

cos

( 𝑡

)

𝑠𝑒𝑛

( 𝑡

)

𝑑𝑡 → {

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑑𝑢 = cos(𝑡)𝑑𝑡

→ ∫

𝑑𝑢

𝑢

= ln |𝑢|= ln |𝑠𝑒𝑛(𝑡)|

ln |𝑠𝑒𝑛(𝑡)|

Multiplicar o fator integrante

′

× 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

′

′

cos(𝑡)

′

𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡) 𝑦 = 0

Simplificar e integrar

[𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑡)] = 0

Solução geral

(𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑟 𝑐 𝑓𝑢𝑛çã𝑜)

′

′

′

′

′

Substituindo c

Solução PVI

Passo 7

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

K é constante

de integração.

3.2 Variáveis separáveis

Equação Diferencial Ordinária Linear de 1° Ordem

I. 𝑦

′

II. 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Provando que I = II

′

[𝑝

𝑦 − 𝑞(𝑥)]

𝑀(𝑥,𝑦)

𝑁(𝑥,𝑦)

3.2.1 Primeiro Exemplo

Solução geral do PVI:

2

2

Separando variáveis (x de um lado, y do outro)

2

2

2

2

Integrando (solução geral)

2

2

3

3

3.2.2 Segundo Exemplo

Ache a solução do PVI:

2

Separar variáveis

2

2

2

• 2 𝑦) 𝑑𝑦 = cos(𝑥) 𝑑𝑥

Integrar (solução geral)

Passo 1

Passo 2

Passo 1

Passo 2

• 2 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ cos

𝑑𝑥 → ln

2

Solução PVI

ln|𝑦| + 𝑦

2

ln

2

= sen

• c

0 + 1 = 0 + c → c = 1

ln|𝑦| + 𝑦

2

3.2.3 Terceiro Exemplo

2

2

1

2 𝑑𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑦( 0 ) = 0

Separar variáveis

2

2

1

2 𝑑𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

2

2

Integrar (solução geral)

2

2

2

3

3

2

3

2

Solução PVI

3

2

3

2

3

2

3

2

Passo 3

Passo 1

Passo 2

Passo 3

• Primeiro parte-se da derivada parcial em relação a x, integre o valor dos dois lados e pronto.

• Segundo, na derivada parcial em relação a y como o valor de M e N são os mesmos o mesmo valor que foi

achado na derivada parcial em relação a x (valor de M) será o valor de y, pois se 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) então

𝜕𝛹

𝜕𝑥

𝜕𝛹

𝜕𝑦

Com esse valor atribuído deriva-se o valor do resultado em relação a y, substitua o valor original de

𝜕𝛹

𝜕𝑦

no lado

esquerdo enquanto no lado direito fica o valor da 𝛹(𝑥, 𝑦) isso será o suficiente para encontrar a constante “c”, após

encontra-la integre dos dois lados.

A constante “c” neste caso está se comportando mais como uma função, ao derivá-lo não podemos zerá-lo e ao integrá-

lo não podemos adicionar uma variável, então vamos mudar seu nome para: 𝑐 = 𝑓(𝑦).

Após encontrar o valor de 𝑓(𝑦) substitua em 𝛹(𝑥, 𝑦) e pronto, sua função solução já está pronta.

Neste caso a função solução é a solução do PVI e a solução igual a uma constante “c” é a solução geral.

Essa constate “c” aparece por que após identificar a solução função reconheceremos que 𝑑𝛹 = 0 , logo temos que 𝛹 = 𝑐.

4.2 Primeiro Exemplo

𝑦

2

𝑦

Teste do sistema

𝑦

2

𝑦

𝑦

𝑦

Sistema

𝑦

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

𝜕𝛹

𝜕𝑦

2

𝑦

𝑁(𝑥,𝑦)

Passo 1

Passo 2

Obs.:∫

𝜕𝛹

𝜕𝑥

Fazendo ∫ 𝑀

São iguais!

2

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

2

𝑦

′

2

𝑦

′

2

𝑦

Função solução

2

𝑦

Solução geral

Com a função solução temos

2

𝑦

4.3 Segundo Exemplo

𝑥

𝑥

Teste do sistema

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

Sistema

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝜕𝛹

𝜕𝑦

𝑥

𝑁(𝑥,𝑦)

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

′

𝑥

′

𝑥

Função solução

𝑥

Solução geral

Com a função solução temos

Passo 3

Passo 4

São iguais!

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 1

Multiplicar fator integrante desconhecido

2

2

Formando M(x,y) e N(x,y)

2

𝑀(𝑥,𝑦)

2

𝑁(𝑥,𝑦)

2

′

Encontrando Fator integrante desconhecido

A equação será exata se e somente se:

𝜕𝑀

𝜕𝑦

𝜕𝜇

𝜕𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥

𝜕𝜇

𝜕𝑥

𝑁, então.

2

′

[( 3 𝑥 + 2 𝑦) − ( 2 𝑥 + 𝑦)]𝜇(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 𝑦)𝜇

′

′

′

′

′

→ ln|𝜇| = ln|𝑥| → 𝜇(𝑥) = 𝑒

ln |𝑥|

Multiplicar fator integrante

2

2

2

2

3

2

Sistema

2

2

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

𝜕𝛹

𝜕𝑦

3

2

′

𝑁(𝑥,𝑦)

3

2

2

3

2

3

2

′

3

2

2

′

Integrar

′

Função solução

3

2

2

Solução geral

Passo 3

Passo 6

Passo 4

Passo 5

Passo 7

Passo 8

Passo 9

Passo 10

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

3

4.5 Equação exata transformada – Fator integrante em função de y

Temos uma equação ordinária

Esta equação não será exata se

𝜕𝑀

𝜕𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥

, neste caso deve-se encontrar um fator integrante que force a equação a ter o

resultado oposto, porém o fator integrante pode ser em função de x ou de y.

Multiplicando pelo fator integrante temos: 𝑀

A equação (I) será exata SE E SOMENTE SE:

[

]

[

]

Estamos analisando em função de y, então

𝜕𝜇

𝜕𝑥

Ao isolar 𝜇(𝑦) tem-se:

′

′

′

Integrando

′

→ ln|𝜇| = ∫

Logo vemos que o fator integrante de uma equação que foi transformada para exata é:

∫

𝜕𝑁

𝜕𝑥

−

𝜕𝑀

𝜕𝑦

𝑀

Perceba a diferença entre os fatores integrantes com a mudança de sua variável