Baixe Resolução de Equações Diferenciais - Método de Euler e Runge-Kutta e outras Trabalhos em PDF para Modelação Matemática e Simulação, somente na Docsity!
Resolução de Equação Diferencial - Método de Euler Trata-se de resolver a equação diferencial y’(x) = dy/dx = f(x,y) , passando pelo ponto (x 0 , y 0 ). O Método de Euler corresponde ao Método de Taylor, parando-se na primeira derivada. No desenvolvimento em Taylor, tem-se: y(x 0 + h) = y(x 0 ) + y’^ (x 0 ).h + y’’(x 0 ).h^2 /2!+ y’’’(x 0 ).h^3 /3! + .... No Método de Euler, toma-se: y(x 0 + h) y(x 0 ) + y’^ (x 0 ).h Lembrando-se que y ’ (x) é a própria equação diferencial, tem-se: y 1 = y(x 1 ) = y(x 0 + h) y(x 0 ) + f(x 0 ,y 0 ). h Em seguida, são calculados os demais valores da tabela (x,y). y 2 = y(x 1 +h) = y 1 + f(x 1 ,y 1 ). h ..... yi+1 = y(xi+h) = yi + f(xi ,yi). h Vejamos o que ocorre graficamente, (gráfico ...) Seja a equação diferencial dy/dx = y, passando pelo ponto (1,e), onde e = 2,718284590... base dos logaritmos neperianos. Sabemos que a solução exata é : y = e x Vamos estimar, por Euler, o valor em x = 1,5. y(1,5) = y(1,0) + y’(1,0).0,5 = 2,718 + 2,718 * 0,5 = 4, O valor exato, com três casas decimais, é: e1,5^ = 4,
No gráfico acima, vemos que o Método de Euler segue a tangente a curva, passando pelo ponto (x 0 ,y 0 ) , com inclinação y’(x 0 ), que no caso particular vale exo^ = exp(x 0 ) = e^1 = 2,718. O Método de Euler está levando a um valor abaixo do verdadeiro valor. 4,077 4, O erro tão grande deve-se a se ter tomado um h = 0,5, bastante grande diante dos valores com que se está trabalhando. Tivéssemos tomado um h = 0,1 e o erro seria bem inferior. Por Euler, y(1,1) = y(1,0) + y ’ (1,0).0,1 = 2,718 + 2,718 * 0,1 = 2, E o valor exato é: 3,0042 , com quatro casas decimais. Comentário sobre o Método de Euler Seja a equação diferencial já vista anteriormente: dy/dx = y, passando pelo ponto y(1) = e = 2,718284590... O gráfico abaixo mostra a solução exata e, em verde, o cálculo de y(1,5), por Euler, com h = 0,5. (figura) Vimos que: y(1,5) = y(1,0) + y ’ (1,0).0,5 = 2,718 + 2,718 * 0,5 = 4, Esse valor é abaixo do verdadeiro valor: y(1,5) = 4,482. O valor encontrado é inferior ao valor verdadeiro, porque partiu-se do ponto dado, (1,e), tomou-se a tangente à curva e chegou-se a (1,5 , 4,077), não levando em conta que a derivada estava aumentando, na solução exata. Daí chegar-se a um valor inferior ao correto. Quero enfatizar que não se considerou a variação da derivada primeira, não se considerou a derivada segunda. Fosse a derivada primeira constante, isto é, derivada segunda nula, a solução por Euler seria exata, pois a curva solução seria uma reta, coincidindo com a tangente.
yi+1 = yi + R*h Exemplo de Aplicação do Método de Runge-Kutta de segunda ordem dy/dx = x+y y(0) = 1 Trata-se de construir a tabela abaixo: X Y 0 1 0,1 y 1 0,2 y 2 .... ... xi yi xi+1 yi+ R1 = 0+1 = 1 y1E = 1 + R1 * 0,1 = 1 + 1 * 0,1 = 1, R2 = 0,1 + 1,1 = 1, R = (1 + 1,2)/2 = 1, y 1 = 1 + R * 0,1 = 1,11 (x 1 , y 1 ) = (0,1 , 1,11) Ponto seguinte: R1 = 0,1 + 1,11= 1, y2E = 1,11 + R1 * 0,1 = 1,11 + 0,121 = 1, R2 = 0,2 + 1,231 = 1, R = (1,21 + 1,431)/2 = 1, y 2 = 1,11 + R * h = 1,11 + 0,13205 = 1, E assim segue ...
Sabendo-se que a solução exata é y = 2ex^ – x –1, podemos comparar os valores obtidos com a solução exata. x y yexata 0 1,0 1, 0,1 1,11 1, 0,2 1,24205 1, Runge-Kutta de Quarta Ordem Como vimos, o Método de Euler estima o valor de y 1 , partindo de y 0 e seguindo a tangente à curva no ponto (x 0 , y 0 ). Nesse ponto, a inclinação da tangente é o valor da derivada no ponto (x 0 , y 0 ), isto é, a derivada no início do intervalo [x 0 , x 1 ]. Assim, R = f(x 0 ,y 0 ) e y 1 = y 0 + Rh No Método de Runge-Kutta de Segunda Ordem, leva-se em conta que a derivada pode variar no intervalo [x 0 ,x 1 ], isto é, considera-se que a segunda derivada pode não ser nula e, assim, a primeira derivada pode variar. Para levar em conta essa variação, calcula-se a derivada ( R1 = f(x 0 ,y 0 ) ) no início do intervalo [x 0 ,x 1 ]; em seguida estima-se o valor de y no final do intervalo (y1E = y 0 + R1h), como no Método de Euler; usa-se esse valor para se estimar a derivada no final do intervalo [x 0 ,x 1 ] (R2 = f(x 1 ,y1E)) e acha-se a média entre a derivada no início do intervalo (R1) e a derivada no final do intervalo (R2), isto é: R = (R1 + R2)/. Com essa derivada média, estima-se y 1 , partindo-se de y 0 , com essa inclinação média. y 1 = y 0 + Rh No Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, faz-se um estudo mais minucioso da primeira derivada no intervalo [x 0 ,x 1 ], estimando-se seu valor no início do intervalo (R1), estimando-se seu valor, duas vezes no meio do intervalo [x 0 ,x 1 ] (R2, R3) e estimando-se, também, seu valor no final desse intervalo (R4).
Lembrando que a solução exata é y = 2ex^ – x –1, podemos comparar os valores obtidos pelos métodos de Euler, Runge-Kutta de segunda ordem e Runge-Kutta de quarta ordem, com a solução exata. x YEuler YRK2 YRK4 YEXATA 0 1,0 1,0 1,0 1, 0,1 1,1 1,11 1,11034167 1, 0,2 1,22 1,24205 1,24280515 1,
