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Os métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias usando o método de euler e o método de runge-kutta de ordem quatro. O texto inclui a formulação dos métodos, exemplos de cálculo e análise da solução exata.
Tipologia: Notas de aula
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Seja um PVI dado por:
o o
y x y
f x y
dx
dy
Analisemos também o gráfico abaixo, representativo da derivada f(x,y):
1 1
x
x
y
y o o
1 o 1 o o o
y =y + x −x f x y
Fazendo h=x 1 - xo
'
( , )
o o o x y
f x y y
dx
dy
o o
'
1 o o
y =y +hy
Repetindo o procedimento n vezes teremos:
'
n 1 n n
y =y +hy
FÓRMULA conhecida como Método de Euler.
Seja também a série de Taylor onde y representa a solução do PVI:
1
2 1
k
n
k k
n
n
n k
n n n n
x x
k
y
k
x x
y x
x x
y x y x y x x x y x
ξ
Com x x n
≤ ξ≤
Fazendo x=xn+1 e x-xn=h teremos:
y(x n+ )=y(x n )+hy n ’ que representa a fórmula do Método de Euler.
Desta forma, o Método de Euler equivale à série de Taylor truncada em sua
primeira derivada e teremos um erro de truncamento da ordem de:
2
"
( ) h
y
e x n
ξ
=
Portanto k representa a ordem do método!
Trabalhando com um delimitante superior para o erro teremos:
2 h
e x M n
≤ onde M=máx ( )
'' y x com x pertenente ao intervalo [ ] n
x, x.
Exemplo: Seja o PVI dado por:
y
xy x y
. Encontre y(2,1) pelo Método de
Euler utilizando a) h=0,1 b)h=0.
Este método segue a formulação:
( )
4 3
2
3
1
2
1
1 1 2 3 4
k hf x h y k
k
y
h
k hf x
k
y
h
k hf x
k hf x y
y y k k k k
n n
n n
n n
n n
n n
Exemplo: Seja o PVI dado por:
y
xy x y
. Encontre y(2,1) pelo Método de
Runge-Kutta de ordem quatro utilizando a) h=0,1 b)h=0.
Como análise final determine a solução exata da equação diferencial e compare
com os métodos aplicados.
