Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Exame 1a´epoca 2 de fevereiro de 2021
Licenciatura em Engenharia
Eletrot´ecnica
An´alise Vetorial
Dura¸c˜ao das repeti¸c˜oes de testes 1h15.
Dura¸c˜ao do exame 2h30.
A cota¸c˜ao das quest˜oes nas repeti¸c˜oes de testes ´e o dobro da cota¸c˜ao indicada.
Identifique cada folha de teste com o seu nome e n´umero. Leia atentamente o enun-
ciado e justifique as suas respostas. N˜ao ´e permitido o uso de m´aquina calculadora.
Grupo 1 - Repeti¸c˜ao do 1oteste
1. Considere a fun¸c˜ao ~
fdefinida por ~
f(x, y)=(f1, f2) = ln(y2−x2),1
y−2x.
(a) Determine o dom´ınio de ~
fe apresente o seu esbo¸co. [1.0]
(b) Determine e esboce as linhas de n´ıvel de f2para l= 1, l=1
2e a linha de n´ıvel [1.75]
que passa no ponto (x, y) = 0,1
3. Usando a interpreta¸c˜ao geom´erica do vetor
gradiente, (e sem efetuar c´alculos) esboce um vetor com a dire¸c˜ao e sentido de
∇f2(0,1).
2. Seja f:R2→Ra fun¸c˜ao real definida por
f(x, y) = ysin(x) cos(y)
x2+y2(x, y)6= (0,0)
0 (x, y) = (0,0)
(a) Determine o dom´ınio de f. Calcule o limite de fno ponto (0,0). f´e cont´ınua [1.5]
no seu dom´ınio? Justifique.
(b) Calcule, se existirem, as derivadas parciais de fno ponto (0,0) usando a
defini¸c˜ao. [1.0]
(c) Calcule a derivada de fsegundo o vetor ~v = (1,1), no ponto (0,0). [1.0]
(d) fadmite plano tangente ao gr´afico no ponto (0,0, f (0,0))? Justifique. [1.0]
3. Seja f:R2→Ruma fun¸c˜ao diferenci´avel que verifica ∂f
∂u (π, π ) = −1 e ∂ f
∂v (π, π ) = 2
e~
G:R2→R2um campo vetorial definido por
~
G(x, y) = 2x2
y+ cos(x),2x−1 + sin(y)
(a) Sendo h=f◦~
G, calcule as derivadas parciais ∂ h
∂x e∂h
∂y no ponto π
2,π
2e [1.75]
apresente o gradiente de hnesse ponto.
(b) Qual a dire¸c˜ao e sentido em que a derivada direcional de h´e m´axima no ponto
π
2,π
2? Indique o valor desse m´aximo. [1.0]
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