Baixe Exemplo de Questões Resolvidas em Cálculo I da Universidade Federal de Itajubá e outras Provas em PDF para Mecatrônica, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
MAT- 001 - CÁLCULO 1 – EXAME FINAL – 15/12/
GABARITO
a Questão (20 pontos): Uma função f é definida por 1
x
x
x
x f. Achar:
a) f ( 1 );
b) x para que 4
1
2 3
−
− x
x f .
SOLUÇÃO:
a) Fazendo 1
x
x t e isolando a variável x , teremos ( ) 2 5
t
t f t t
t x.
Podemos, então, escrever: ( ) 2 5
x
x f x.
Para x = 1 , teremos f( 1 ) = 2
b) 2 1
1 2
3 1
3
≤ −
x
x^ x
x x
x
Esta desigualdade resulta na inequação: 0 1
x
x
Portanto, o intervalo de variação de x é:
x / 1 x
Questão (15 pontos): Sabendo que cosh x = 3 e x < 0 , encontre x e calcule o valor da
expressão (^)
cot
x A ghx tgh.
SOLUÇÃO:
Da Relação Fundamental: cosh 1
2 2 x − senh x=.
Assim: 3 1 2
2 − senh x= ⇒ senhx=±.
Como x < 0 , então senhx =− 2.
Sabemos também que:
x cosh x +senhx= e.
Assim: e = 3 − 2 ⇒ x=ln( 3 − 2 )
x
Podemos ainda escrever: 1
cosh cosh 1
2 2
2 2
−
−
x
x
x x
x x
e
e
senhx
x A
e e
e e
senhx
x
A.
Substituindo os valores obtidos acima:
A= A
Questão (15 pontos): Achar a equação da reta que é tangente à curva 3. ( x y ) 100 xy
2 2 2
ponto P( 3 , 1 ).
SOLUÇÃO:
Sabemos que a equação da reta tangente à curva da função y = f( x)pelo ponto P ( x 0 , y 0 )é
dada por y − y 0 = f′( x 0 ).( x−x 0 )ou y − y 0 =yP′ .( x−x 0 ).
No nosso caso, temos: x 0 = 3 e y 0 = 1.
Para obtermos f ′(^ x 0 ) =yP′, vamos derivar implicitamente a função dada.
Assim: 6. ( x + y ).( 2 x+ 2 y.y′) = 100 y+ 100 x.y′
2 2
- ( x + y ).( x+y.y′) = 100 y+ 100 x.y′ ⇒ 3 .( x +y ).( x+y.y′) = 25 y+ 25 x.y′
2 2 2 2
Substituindo o ponto P ( 3 , 1 )na expressão acima, obtemos:
( )( ) 9
- 9 + 1. 3 +y ′P = 25 + 75 y′P ⇒ y′P=.
Portanto, a reta tangente é: ( ) 3
y− 1 = x− ⇒ y= x−
a Questão (15 pontos): Calcule ∫
8
(^1 3 ) t. 1 t
dt I.
SOLUÇÃO:
Fazendo: 1 t x t x 1 t (x 1 ) dt 3 .( x 1 ). 2 x.dx
3 3 2 2 3 2 2
- Para t= 1 ⇒ x= 2
- Para t= 8 ⇒ x= 3
Assim:
( )
( )
( ) ∫ ∫
3
2
3
2
2 2
2 2
. 1
I x dx x x
x xdx I
Calculando: 2 2
3
3
2
I (^) − x I
x
