Estatística Descriptiva: Medidas de Dispersão e Histograma, Manuais, Projetos, Pesquisas de Estatística

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Excel INTERMEDI´ARIO

Estat´ıstica

Prof. Cassiano Isler

2017.1 - Turma 3

Agenda Bibliografia Estat´ıstica Descritiva Medidas dePosi¸c˜ao Medidas deDispers˜ao

Histograma Distribui¸c˜oes Estat´ısticas Padroniza¸Distribui¸c˜aoc˜ao de Normal C´Probabilidadealculo de

Exerc´ıcios

Agenda

Estat´ıstica Descritiva

Medidas de Posi¸c˜ao

Medidas de Dispers˜ao

Histograma

Distribui¸c˜oes Estat´ısticas

Padroniza¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Normal

C´alculo de Probabilidade

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Exerc´ıcios

Estat´ıstica Descritiva

A estat´ıstica descritiva ´e utilizada para descrever dados atrav´es de gr´aficos, distribui¸c˜oes de frequˆencia ou medidas associadas a essas distribui¸c˜oes.

S˜ao utilizadas vari´aveis unidimensionais para tratamento matem´atico de um problema quando apenas uma carac- ter´ıstica de interesse est´a associada a cada elemento do conjunto examinado.

As vari´aveis de interesse podem ser qualitativas ou quanti- tativas e essas ´ultimas podem ser classificadas em vari´aveis discretas ou cont´ınuas.

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Medidas de Posi¸c˜ao

As medidas de posi¸c˜ao s˜ao utilizadas para caracterizar os dados contidos em uma amostra.

M´INIMO(n´um1;[n´um2];...): retorna o menor valor ob- servado em um conjunto de n´umeros.

M´AXIMO(n´um1;[n´um2];...): retorna o maior valor ob- servado em um conjunto de n´umeros.

MAIOR(matriz; k): retorna o k-´esimo maior valor ob- servado em uma amostra de uma matriz ou vetor.

MENOR(matriz; k): retorna o k-´esimo menor valor observado em uma amostra de uma matriz ou vetor.

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Medidas de Dispers˜ao

As medidas de dispers˜ao representam a variabilidade dos dados de uma amostra em torno das medidas de tendˆencia central, mais especificamente da m´edia.

[M´AXIMO() - M´INIMO()]: retorna a amplitude, di- feren¸ca entre os valores m´aximo e m´ınimo observados.

QUARTIL(matriz; quarto): retorna um dos trˆes valo- res que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, segundo o valor de “quarto”. Primeiro quartil (quartil inferior): valor at´e 25% da amostra ordenada (25o^ percentil). Segundo quartil (mediana): valor at´e 50% da amostra ordenada ordenada(50o^ percentil).

Terceiro quartil (quartil superior): valor at´e 75% da amostra ordenada ordenada (75o^ percentil).

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Exerc´ıcios

Medidas de Dispers˜ao

PERCENTIL(matriz; k): retorna o k-´esimo percentil de uma amostra, medida que divide a amostra ordenada em 100 partes.

VAR.A(n´um1;[n´um2];...): retorna a variˆancia de um conjunto de observa¸c˜oes.

s^2 =

∑n i=1(xi^ −^ x¯)

2 n − 1

DESVPAD.A(n´um1;[n´um2];...) retorna o desvio padr˜ao de um conjunto de observa¸c˜oes.

s =

s^2 =

n i=1(xi^ −^ x¯)

2 n − 1

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Histograma

No caso de vari´aveis quantitativas cont´ınuas, o histograma ´e um gr´afico de colunas que representa a contagem de ocorrˆencias (frequˆencia) em um intervalo de classe.

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Histograma

Existem diferentes maneiras de construir um histograma a partir de dados das c´elulas em uma planilha do Excel.

O software possui um suplemento que constr´oi o gr´afico automaticamente, o qual ser´a apresentado posteriormente.

Nesta aula ser´a apresentada uma t´ecnica de constru¸c˜ao de histogramas que tem a vantagem de atualiza¸c˜ao autom´atica do gr´afico a cada altera¸c˜ao do conte´udo das c´elulas.

Pela pr´opria defini¸c˜ao, o histograma requer a contagem do n´umero de ocorrˆencias de valores uma vari´avel discreta ou do n´umero de ocorrˆencias de valores em um intervalo (classe) no caso de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas.

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Histograma

PASSO 5: Na primeira linha de uma coluna de “Limite Inferior da Classe”, insira o valor m´ınimo da s´erie de dados (utilize uma referˆencia relativa pelo s´ımbolo “=”).

PASSO 6: Na primeira linha de uma coluna de “Limite Superior da Classe”, insira o valor m´ınimo da s´erie de dados adicionado ao valor da amplitude da classe;

PASSO 7: Defina o valor da segunda linha da coluna de “Limite Inferior da Classe” igual ao da primeira linha da coluna de “Limite Superior da Classe” (utilize uma referˆencia relativa pelo s´ımbolo “=”).

PASSO 8: Replique as f´ormulas da segunda linha da coluna de “Limite Inferior da Classe” e da primeira linha da coluna de “Limite Superior da Classe” para as linhas das demais classes;

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Histograma

PASSO 9: Em uma coluna “Frequˆencia Acumulada”, calcule a frequˆencia de valores menores que o limite su- perior em cada linha pela fun¸c˜ao CONT.SE();

PASSO 10: Em uma coluna “Frequˆencia Relativa”, na linha da primeira classe insira o n´umero de ocorrˆencias calculado pela “Frequˆencia Acumulada”;

PASSO 11: Para as demais linhas, calcule a frequˆencia relativa subtraindo a frequˆencia acumulada da classe an- terior da frequˆencia acumulada da classe corrente;

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Distribui¸c˜oes Estat´ısticas

O conceito de distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria ´e utili- zado para caracterizar o comportamento dessa vari´avel sob a forma de uma fun¸c˜ao matem´atica.

Uma distribui¸c˜ao de probabilidade pode ser caracterizada como uma fun¸c˜ao cont´ınua correspondente `a aproxima¸c˜ao dos pontos centrais dos intervalos de frequˆencia de um his- tograma para uma linha.

A terminologia adequada ´e que vari´aveis discretas s˜ao representadas por “fun¸c˜oes de probabilidade” e vari´aveis cont´ınuas por “fun¸c˜oes de densidade de probabilidade”.

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Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao de Probabilidade

Na pr´atica, as frequˆencias de ocorrˆencia apresentadas no histograma de valores observados para a vari´avel aleat´oria s˜ao aproximadas para valores de probabilidade de ocorrˆencia obtidos a partir de fun¸c˜oes cont´ınuas (equa¸c˜oes) de formato conhecido.

Algumas distribui¸c˜oes de probabilidades s˜ao mais relevantes na modelagem de demanda de transporte.

Distribui¸c˜ao Normal

f (x; μ; σ) = √^1 2 πσ^2

e

[ − (x 2 −σμ 2 )^2

]

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Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao de Probabilidade

Distribui¸c˜ao χ^2 (Qui-quadrado)

f (χ^2 ; k) = (^2) k/ (^2) Γ(^1 k/2) (χ^2 k )k/^2 −^1 · e−χ^2 k^ /^2

Distribui¸c˜ao F-Fisher

f (x; m; n) = Γ^

( (^) m+n 2

) ·

( (^) m n

)m/ 2 · xm/^2 −^1 Γ

( (^) m 2

) · Γ

( (^) n 2

) ·

[ (^) m·x n + 1

] m+ 2 n

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Padroniza¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Normal

A distribui¸c˜ao Normal de uma popula¸c˜ao qualquer com m´edia x¯ e desvio padr˜ao s conhecidos pode ser reduzida para uma “Distribui¸c˜ao Normal Padr˜ao” com m´edia (μ = 0) e desvio padr˜ao unit´ario (σ = 1) atrav´es do procedimento de padroniza¸c˜ao da distribui¸c˜ao.

A padroniza¸c˜ao corresponde `a convers˜ao de cada valor ob- servado da vari´avel pela subtra¸c˜ao da m´edia da popula¸c˜ao e divis˜ao pelo respectivo desvio padr˜ao.

zi =

xi − μ σ