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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
o
Exerc´ıcio Computacional de Algoritmos Num´ericos I -
Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Odin´arias
Introdu¸c˜ao
Considere um sistema de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDO) de 1
a ordem
definido por:
dy 1
dx
= f 1 (x, y 1 , y 2 , · · · , y m
dy 2
dx
= f 2 (x, y 1 , y 2 , · · · , y m
dy m
dx
= f m (x, y 1 , y 2 , · · · , y m
sujeito `as condi¸c˜oes iniciais:
y 1 (x 0 ) = y 01
y 2 (x 0 ) = y 02
y m (x 0 ) = y 0 m
Definindo o Problema de Valor Inicial (PVI):
dY
dx
= F (x, Y )
Y (x 0 ) = Y 0
onde
Y =
y 1
y 2
y m
e F =
f 1
f 2
f m
desejamos encontrar uma aproxima¸c˜ao das grandezas f´ısicas y 1 , y 2 , · · · , y m em um
dom´ınio (x 0 , x n ), considerando que as fun¸c˜oes f 1 , f 2 , · · · , f m s˜ao conhecidas. O
dom´ınio discretizado constitui o conjunto de pontos x i tais que:
x i = x 0
x n − x 0
n
Objetivos do Exerc´ıcio Computacional
Este trabalho tem por objetivos:
implementar os m´etodos num´ericos Euler, Euler Aperfei¸coado e Runge-Kutta
de ordem 4 para resolver o PVI dado por um sistema de EDO.
observar a ordem do erro local e global para experimentos com solu¸c˜ao con-
hecida.
comparar solu¸c˜oes de um problema pr´atico considerando uma varia¸c˜ao ade-
quada de parˆametros
Descri¸c˜ao
Implemente fun¸c˜oes no octave para resolver o PVI dado pelas Eqs.(1) e (2) pelos
m´etodos Euler, Euler Aperfei¸coado (Runge-Kutta de ordem 2) e Runge-Kutta de
ordem 4 definidos pelas express˜oes a seguir:
Euler:
Yi+1 = Yi + F (xi, Yi)
RK2 (Euler Aperfei¸coado):
Y
i+
= Y
i
h
2
(K
1
+ K
2
K 1 = F (xi, Yi)
K
2 = F (x i
RK4 (Runge Kunta de ordem 4):
Y
i+
= Y
i
h
6
K
1
h
3
K
2
h
3
K
3
h
6
K
4
K
1 = F (x i
, Y
i
K
2 = F (x i
h
2
, Y
i
h
2
K
1
K 3 = F (xi +
h
2
, Yi +
h
2
K 2 )
K
4 = F (x i
Cada fun¸c˜ao deve ter como parˆametros de:
Entrada:
- Dados do dom´ınio: x 0 , x n
- N´umero de subdivis˜oes do dom´ınio: n.
- Tamanho do sistemas de EDOs: m.
Sa´ıda:
- Vetor x com dados do dom´ınio ( x = (x 0 , x 1 , · · · , x n
- Matriz Y com os valores aproximados das fun¸c˜oes y j nos pontos do
dom´ınio discretizado, y ij ≈ y j (x i ), para i = 0, · · · , n e j = 1, · · · , m
Y =
y 10 y 11 · · · y 1 n
y 20 y 21 · · · y 2 n
y m 0 y m 1 · · · y mn
k 1 = 0, 12 d
− 1 (constante de decaimento da DBO)
k 2 = 2, 0 d
− 1 (Coeficiente de reaera¸c˜ao)
ks = 0, 05 (coeficiente de remo¸c˜ao de DBO por sedimenta¸c˜ao)
c s = 7, 9 mg/L (Concentra¸c˜ao de satura¸c˜ao de oxigˆenio)
s d = 1g/(m
2 d) (Consumo de Oxigˆenio por sedimenta¸c˜ao)
Fa¸ca uma simula¸c˜ao do comportamento da concentra¸c˜ao de DBO e OD em 20
dias, ou seja, intervalo de interesse, (0, 20) considerando v´arios tamanhos de passo
para todos os m´etodos implementados. Apresente o gr´afico das suas simula¸c˜oes
e descreva o comportamento das concentra¸c˜oes de DBO e OD nesse intervalo de
tempo.
Relat´orio
Escreva um relat´orio com suas conclus˜oes sobre os objetivos listados acima. Postar
no Classroom os fontes .m e uma c´opia em pdf do relat´orio.
