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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 ) Escreva os primeiros cinco termos da sequência descrita pela seguinte lei: a 1 = 10 an = 2 · an-1 – n
Resposta
a 2 = 2 · a 1 – 2 = 2 · 10 – 2 = 18 a 3 = 2 · a 2 – 3 = 2 · 18 – 3 = 33 a 4 = 2 · a 3 – 4 = 2 · 33 – 4 = 62 a 5 = 2 · a 4 – 5 = 2 · 62 – 5 = 119
{10, 18, 33, 62, 119}
2 ) A soma dos n primeiros termos de uma sequência é Sn = n^2 + 1 O quarto termo dessa sequência é:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
Resposta A
Alternativa
3) Os primeiros números da Sequência de Fibonacci são 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55,... Escreva a fórmula geral dessa sequência.
Resposta
Na sequência de Fibonacci, a lei é: a 1 = a 2 = 1 an = an–1 + an–2 para n > 2
4 ) (FGV-RJ) Considere a sequência cujo termo geral é a n = (–1) n^ (2 + 3 n ), onde n = 1, 2, 3, … .Escreva os seis primeiros termos dessa sequência.
Resposta
5) Descubra a regra que descreve a seguinte sequência: S = {4, 9, 16, 25, 36...}
Resposta
Observando que os números são quadrados perfeitos e que o primeiro número é 2^2 , o segundo 3^2 , etc. Podemos escrever a regra an = (n+1)^2.
6 ) A função afim f(x) = 3x + 2 leva a PA {–1,1,3,5)} para outra PA {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 }. Calcule os termos da segunda PA.
Resposta
x 1 = 3 · (–1) + 2 = – x 2 = 3 · (1) + 2 = 5 x 3 = 3 · (3) + 2 = 11 x 4 = 3 · (5) + 2 = 17
{ -1, 5, 11, 17}
7) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000?
Resposta
Os múltiplos de 13 formam uma PA. O primeiro termo é o primeiro múltiplo de 13 maior que 100 e o último termo é o maior múltiplo de 13 menor que 1000. Calculamos, então, o primeiro termo. Fazendo 100 : 13, obtemos quociente 7 e resto 9. Somamos 13 – 9 = 4 e obtemos 104 (=13 · 8) a 1 = Fazendo 1000 : 13, obtemos 76 e resto 12. Portanto: na = 1000 –12 = 988 (=13 · 76) Assim, podemos calcular n usando a fórmula geral da PA. an = a 1 +(n–1)r => 988 = 104 + (n–1)13 => 988 – 104 = (n–1)13 => 884/13 = (n–1) => 68 = n –1 => n = 69
8 ) Quantos múltiplos de 14 existem entre 200 e 4000?
Resposta
Calcular o número de termos de uma PA de razão 14, com a 1 =210 e an= (primeiro e último múltiplos de 14 entre 2000 e 4000). an = a 1 + (n - 1)r
c) PA de razão –2, pois –1–1= –3 – (–1) = ...= –2. d) PG de razão 1/3, pois 9/27 = 3/9 =...= 1/3.
12 ) Escreva uma PG:
a) de 5 termos, onde a 1 = 2 e q=
b) de 4 termos, onde a 1 = - 2 e q = 2
c) de 6 termos, onde a 1 = 1/2 e q = -
d) de 5 termos, onde a 1 = 1/2 e q = -1/
Resposta
a) (2, 6, 18, 54, 162) b) (-2, -4, -8,-16) c) (1/2, -1, 2, -4, 8, -16) d) (1/2, -1/6, 1/18, -1/54, 1/162)
13 ) Numa festa, quando a música começou a tocar, os casais começaram a entrar na pista de dança. Uma pessoa reparou que a cada minuto cada casal na pista chamava outro casal. Se havia um casal na pista quando a música começou, quantas pessoas estavam na pista após 5 minutos de música? Qual é o tipo de sequência que expressa o número de pessoas após n minutos?
Resposta
Início: 2 pessoas 1 minuto: 4 pessoas (4 = 2^2 ) 2 minutos: 8 pessoas (8 = 2^3 ) n minutos: 2n+1^ pessoas Em 5 minutos, temos 2^6 = 64 pessoas A sequência é uma PG com primeiro termo 4 e razão 2.
13 ) Uma montadora de automóveis produziu 20.000 carros no ano passado. Se a demanda tende a crescer 10% por ano, calcule quantos automóveis serão produzidos daqui a três anos.
a) 26.000 b) 26.400 c) 26.600 d) 26.620 e) 26.
Resposta
Alternativa: D O número de automóveis produzidos daqui a n anos é dado por:
N = 20000. (1+ 0,1)n^ = 20000. (1,1)n Portanto, daqui a três anos serão produzidos: N = 20000. (1,1)^3 = 26.620 carros.
14 ) Sabendo que o primeiro termo de uma PG é positivo, o quarto termo é 192 e o segundo termo é 12, calcule o primeiro e o sétimo termo.
Resposta
Aplicando a regra geral dos termos de uma PG, temos: a 4 = a 1 ·q 3 = 192 a 2 = a 1 ·q = 12 Substituindo a segunda equação na primeira, temos: a 4 = a 1 ·q^3 = a 1 · q · q^2 = 12 · q^2 = 192 q^2 = 192/12 , q^2 = 16 , q = 4 ou q = – Para q = 4, temos: a 1 ·q = 12 , a 1 = 3 Para q = –4, temos: a 1 ·q = 12 , a 1 = –3 (não vale, pois o primeiro termo deve ser positivo) Para calcular o sétimo termo, temos: a 7 = a 1 ·q^6 = 3 · 4^6 = 12288
15) Calcule x e y, sabendo que (1, x, y) é uma PG de razão positiva e (x, y, 6) é uma PA.
Resposta
x^2 = 1. y = > y = x^2
=> 2 y = x + 6 substituindo y = x^2 na equação, temos:
2. x^2 = x + 6 = > 2 x^2 - x - 6 = 0 resolvendo:
x = 2 ou = −
Para x = 2 => y = x^2 => y = 2^2 => y = 4
Para = −
=> y =
( não serve, pois foi dado que a razão da PG
é positiva )
Portanto, x = 2 e y = 4
19) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG onde a1=1/4 e q=2.
Resposta
20 ) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2,4,8...)
Resposta
21) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,1717...
Resposta
Logo, a fração geratriz da dízima é
:
- Um capital Co é investido a 10% ao ano de juros compostos.
a) Qual é o valor obtido após 5 anos?
b) Usando o conceito de PG, escreva o termo geral que fornece o montante obtido de um capital (considere a 1 como o capital inicial).
b) Escreva os montantes obtidos de um capital inicial de R$ 1000,00 a cada um dos primeiros 10 anos (considere a 1 como o capital inicial).
c) Escreva os termos dessa PG..
Resposta
a) Iremos utilizar uma expressão da matemática financeira dada por:
C = Co.( 1 + i )n , em que i é a taxa de juro , n o tempo e Co o capital inicial. C = Co.(1+ 0,1)^5 => C = Co.(1,1)^5
b) Termo Geral da PG: an = a 1. qn - 1^ = > C = Co.(1,1)n-1^ onde n é a número de termos da PG , Co é o primeiro termo e 1,1 é a razão.
c) PG (R$1000,00; R$ 1100,00; R$ 1210,00; R$ 1331,00; R$ 1464,10; R$ 1610,51; R$1771,56; R$1948,72; R$ 2143,59; R$ 2357,95)
