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ALISE EM RN
LISTA 1
PROFESSOR: CRISTI ´
AN ORTIZ
1. Sejam (Xi, di), i = 1, ..., n espa¸cos m´etricos. Mostre que as fun¸c˜oes
i) d0((x1, ..., xn),(y1, ..., yn)) = Pn
i=1 di(xi, yi)
ii) d00((x1, ..., xn),(y1, ..., yn)) = maxi=1,...,n di(xi, yi)
definem distˆancias no produto cartesiano X1×... ×Xn.
2. Mostre que as fun¸c˜oes
i) kxk1=Pn
i=1 |xi|
ii) kxk∞= max{|xi| | i= 1, ..., n}
definem normas em Rn. Al´em disso, mostre que valem as desigualdades
i) kxk ≤ kxk1≤nkxk∞
ii) kxk1≤√nkxk
onde kxkdenota a norma euclideana em Rn. Interprete estas desigualdades geometricamente.
3. Seja Xum subconjunto de Rn. Mostre que Rn= Int(X)∩Int(Xc)∪Fr(X), onde Int(X),Fr(X)
denotam o interior e a fronteira de X, respectivamente. Verifique que esta uni˜ao ´e disjunta.
4. Mostre que A⊆Rn´e aberto se e somente se A∩Ac=φ.
5. Seja Vum subespa¸co vetorial de Rn. Mostre que V´e um subconjunto fechado. Al´em disso,
prove que se V6=Rn, ent˜ao Rn−V=Rn.
6. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Mostre que A⊆X´e fechado se e somente se ∂A ⊂A, onde
∂A denota a fronteira de A.
7. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Mostre que A⊂Xtem interior vazio, se e somente se, o
complementar Ac=X.
8. Considere uma fam´ılia enumer´avel {Fi}i∈Nde subconjuntos fechados em Rn. Suponha que
Int(Fi) = φpara cada i∈N. Mostre que F=∪i∈NFitem interior vazio. Conclua que a
interse¸c˜ao enumer´avel de abertos densos em Rn´e denso.
9. Sejam V, W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita munidos de um produto interno h·,·iVe
h·,·iW, respectivamente. Sejam k·kVek·kWas normas em VeWinduzidas pelos respectivos
produtos internos. Considere L(V, W ) o espa¸co vetorial de todas as transforma¸c˜oes lineares
T:V−→ W.
i) Mostre que toda transforma¸c˜ao linear T∈ L(V , W ) ´e Lipschitz com respeito `as distˆancias
em VeW, induzidas pelos respectivos produtos internos.
ii) Dada T∈ L(V, W ), defina kTk ∈ Rcomo o ´ınfimo das constantes K > 0 tais que
kT(x)kW≤KkxkVpara cada x∈V. Mostre que k · k define uma norma no espa¸co
L(V, W ).
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