Exercicios Capitulo 8 do Hayt, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Exercicios Capitulo 8 do Hayt e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! desse ponto na equação e avaliamos o valor de C. No caso em questão, 7 = C(—2), e C=-3, de forma que y = —3,Sx. Cada linha de força está associada a um valor específico de C e as linhas radiais mostradas na Figura 2.9d são obtidas quando C = 0,1, -1e 1/C=0. As equações de linhas de força podem também ser obtidas diretamente em coor- denadas cilíndricas ou esféricas. Um exemplo envolvendo coordenadas esféricas será examinado na Seção 4.7. EP2.7. Encontre a equação da linha de força que passa pelo ponto P(I, 4, —2) 2 S 4 no campo E = (a) a, E ra) 2eS[y(Sx + Da, + xa]. Resp. 2 +27) =33;y)=15,7+0,4x— 0,08 In(Sx + 1) REFERÊNCIAS 1. Boast, W. B. Vector Fields. New York: Harper and Row, 1964. Esse livro contém numero- sos exemplos e esboços de campos. 2. Della Torre, E., and Longo, €. L. The Electromagnetic Field. Boston: Allyn and Bacon, 1969. Os autores introduzem tudo sobre teoria eletromagnética com um desenvolvimento cuidadoso e rigoroso baseado em uma única lei experimental — a lei de Coulomb. Isso começa no Capítulo 1. 3. Schelkunoff, S. A. Electromagnetic Fields. New York: Blaisdell Publishing Company, 1963. Muitos dos aspectos físicos dos campos são discutidos nesse texto sem usar mate- mática avançada. PROBLEMAS 21) Três cargas pontuais estão posicionadas no plano xy da seguinte forma: 5SnCemy=5ecm,-10nCemy=—5Scme |SnCemx=-—Scm. Encontre as coordenadas xy de uma quarta carga pontual de 20 nC que produz um campo elétrico nulo na origem. 224 Cargas pontuais de | nC e —2 nC estão localizadas no espaço livre em (0, 0, 0) e(1,1, 1), respectivamente. Determine o vetor força que age sobre cada carga. 231 Cargas pontuais de SO nC cada estão posicionadas em A(1, 0,0), B(=1, 0,0), €(0,1,0) e D(O, —1, 0), no espaço livre. Encontre a força total na carga em A. 241 oito cargas pontuais idênticas de Q C estão posicionadas nos vértices de um cubo cujo lado tem comprimento a, com uma carga na origem e com as três cargas mais próximas em (a, 0, 0), (0, a, 0) e (0,0, a). Encontre uma expressão para o vetor da força total na carga em P(a, a, a), considerando o espaço livre. 25) Seja uma carga pontual Q, = 25 n€ que está posicionada em P,(4, —2,7) e uma carga Q> = 60 nC que está em Px(—3, 4, —2), (a) Se € = €9, encontre E em Px(1,2,3). (b) Em qual ponto no eixo y tem-se E, = 0? 2.61 2.7) 2.8) 291 2.108 2118 2.128 2.131 2148 2151 Duas cargas pontuais, de valores iguais a q, estão posicionadas em 7 = +d/2. (a) Encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo z; (b) encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x: (c) repita (a) e (b) se a carga localizada em z = — d/2 possuir valor — q em vez de +q. Uma carga pontual de 2 |1C está posicionada em A(4, 3, 5) no espaço livre. Encontre E,, Eg e E, em P(8, 12,2). Um dispositivo rudimentar para medir cargas é constituído de duas pequenas esferas isolantes de raio a, uma das quais mantém uma posição fixa. A outra pode se mover ao longo do eixo x e está sujeita a uma força restritiva kx, onde k é uma constante de elasticidade de uma mola. As esferas descarregadas estão centradas em x = 0e x = d, e a última é fixa. Se às esferas são dadas cargas iguais e de sinais opostos QC, obtenha a expressão pela qual a carga Q possa ser encontrada como uma função de x. Determine a carga máxima que pode ser medida em termos de eq, ke d, e determine a separação entre as esferas. O que acontecerá se uma carga maior for aplicada? Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em A(—1, 1, 3), no espaço livre. (a) Encontre o lugar geométrico de todos os pontos P(x, y, 2) em que E, = 500 V/m. (b) Calcule y; se P(—2, y1, 3) faz parte desse lugar geométrico. Uma carga de —1 nC está localizada na origem, no espaço livre. Qual carga deve ser inserida em (2, 0, 0) para fazer com que E, seja zero em (3, 1, 1)? Uma carga Qo posicionada na origem, no espaço livre, produz um campo para o qual E, = 1 kV/m no ponto P(=2, 1, —1). (a) Calcule Qg. Determine E em M(1,6,5) em (b) coordenadas cartesianas; (c) coordenadas cilíndricas; (d) coordenadas esféricas. Elétrons movem-se aleatoriamente em uma certa região do espaço. Durante qualquer intervalo de 1 jus, a probabilidade de encontrar um elétron em uma sub-região de volume 10-! m* é 0,27. Qual densidade volumétrica de carga, apropriada para tais durações de tempo, deve estar associada a essa sub-região? Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 0,2 uC/mº está presente em uma casca esférica que se estende der=3 cnar = 5 cm. Se p,=0em qualquer outra região, calcule: (a) a carga total presente na casca, e (b) rj, se metade da carga total estiver localizada na região 3 cm < r < rn. Um feixe de elétrons em determinado tubo de raios catódicos possui simetria cilíndrica, e a densidade de carga é representada por p, = —0,1/ (92 + 108) pC/mº para O <p <3 x 10-*me p,=0 para p>3 x 10-+ m. (a) Determine a carga total por metro ao longo do comprimento do feixe. (b) Se a velocidade do elétron é de 5 x 107 m/s, e com um ampêre definido como 1 C/s, encontre a corrente do feixe. Um volume esférico que tem raio de 2 um contém uma densidade volumétrica uniforme de carga 10º C/m'. (a) Qual é a carga total interna 5. Thomas, G. B. Jr. and R. L. Finney. (Ver Referências sugeridas no Capítulo 1). O teorema da divergência é desenvolvido e ilustrado por vários diferentes pontos de vista nas páginas 976-980. PROBLEMAS 318 3.2) 334 348 ash 3.61 371 3.84 3.914 Suponha que o experimento de Faraday, com esferas concêntricas, seja realizado no espaço livre com a utilização de uma carga central na origem, O, e com hemisférios de raio a. Uma segunda carga Q, (uma carga pontual) está localizada a uma distância R de Q,, com R >> a. (a) Qual é a força sobre a carga pontual antes dos hemisférios serem reunidos ao redor de Q,? (b) Qual éa força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados? (c) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos e descarregados? (d) Descreva, qualitativamente, o que acontece à medida que Q> é movido em direção à montagem de esferas de tal modo que a condição R >> a não seja mais válida. Um campo elétrico no espaço livre é dado pela seguinte expressão: E = (57/69) à. V/m. Determine a carga total contida no interior de um cubo centrado na origem e com lado de 4 m, no qual todos os lados são paralelos aos eixos coordenados (e, em consequência onde cada lado intercepta um eixo em +2). A superfície cilíndrica p = 8 cm contém a densidade superficial de cargas ps = 5e0kl nC /m?. (a) Qual é o valor da carga total presente? (b) Qual é o fluxo elétrico que deixa a superfície p = 8 cm, lem <z < 5 em,30º < q <90º7 Um campo elétrico no espaço livre é E = (57"/e9) à. V/m. Encontre a carga total contida no interior de uma esfera de raio igual a 3 m, centrada na origem. Seja D = 4xya, + 20º + 22)a, + 4yza, C/m?, Calcule as integrais de superfície para encontrar a carga total dentro do paralelepípedo retangular 0<x<2,0<y<3,0<z:<5m. No espaço livre, uma carga volumétrica de densidade constante py = Po existe na região -o0 <x < 00,-00 <y <o0e —d/2 <z < d/2, Encontre De E em todos os pontos. Uma densidade volumétrica de cargas está posicionada no espaço livre segundo py = 2e-"90 nC/mº para O < r < | mm, e py = 0 nos outros lugares. (a) Encontre a carga total dentro da superfície esférica r = | mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o calor de D, na superfície r = | mm. Use a lei de Gauss na forma integral para mostrar que um campo que varia com o inverso da distância em coordenadas esféricas, D = Aa, /r, onde A é uma constante, necessita de todas as cascas esféricas de 1 m de espessura para conter 47A coulombs de carga. Isso indica uma distribuição contínua de cargas? Se sim, encontre a variação da densidade de cargas com r. Uma densidade volumétrica uniforme de cargas de 80 uC/m” está presente na região 8 mm < r < 10 mm. Seja p, = O para O < r < 8 mm. (a) Encontre 3.108 3.18 3.128 3.134 3.14) 3154 3.16) a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm. (b) Encontre D, em r= 10 mm. (c) Se não existe carga para r > 10 mm, encontre D, em r = 20 mm. Um cilindro dielétrico, infinitamente longo, de raio b, contém carga no interior de seu volume de densidade p, = ap?, onde a é uma constante. Encontre a intensidade de campo elétrico no interior e no exterior do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, seja py = O para p < | mm, py = 2 sen (2.000 mp) nC/mº para | mm < p < 1,5 mm, e py = O para p > 1,5 mm. Calcule D em todos os lugares. O Sol irradia uma potência total de aproximadamente 3,86 x 10? watts (W). Se imaginarmos a superfície do Sol demarcada com latitude e longitude e considerarmos uma irradiação uniforme, (a) que potência é irradiada pela região que se localiza entre a latitude 50º N (norte) e 60º N e longitude 12º O (oeste) e 27º O? (b) Qual é a densidade de potência em uma superfície esférica a 149.668.992 km (93.000.000 milhas) do Sol, em W/m?? Superfícies esféricas em r = 2, 4 e 6 m carregam densidades superficiais uniformes de cargas de 20 nC/m?, —4 nC/m? e pgo, respectivamente. (a) Encontre D em r = 1,3€ 5 m. (b) Determine pso tal que D = 0 em r= 7m. Um determinado diodo emissor de luz (LED) está centrado na origem com sua superfície no plano xy. Em grandes distâncias, o LED pode ser aproximado por um ponto, mas a geometria superficial brilhante produz um padrão de radiação de campo distante que segue uma lei cossenoidal: ou seja, a densidade de potência (fluxo) ótica em watts/m? (W/m?) é dada, em coordenadas esféricas, por 2 P= Ps = a watis/m? onde 9 é o ângulo medido em relação à direção normal à superfície do LED (neste caso, o eixo 2) e r é a distância radial da origem ao ponto no qual a potência é detectada. (a) Utilizando Pp, encontre a potência total, em watts (W), emitida pelo LED no semiespaço superior; (b) Encontre o ângulo do cone & no interior do qual metade da potência total é irradiada, ou seja, no interior da faixa O < 0 < 4; (c) Um detector ótico, de 1 mm? de área de seção transversal, está posicionado em r= | me em 9= 45º de tal forma que cobre o LED. Se 1 nW (nano watt) é medido pelo detector, qual é o valor de Pg (em uma estimativa muito boa)? Uma densidade volumétrica de carga está posicionada da seguinte maneira: pu=0 para p< | mme para p > 2mm, py= 49 uC/m'paral <p<2 mm. (a) Calcule a carga total na região O <p <p, 0 <z<Londel <p < 2mm. (b) Use a lei de Gauss para determinar D, em p = p4. (c) Calcule D, em p = 0,8 mm, 1,6 mm e 2,4 mm. Uma densidade de fluxo elétrico é dada por D = Dya,, onde Dy é uma constante conhecida, (a) Que densidade de carga gera este campo? (b) Para o campo fornecido, qual carga total está contida no interior de um cilindro de raio a e altura b, onde o eixo do cilindro corresponde ao eixo 2? 317h 3188 3.19] 3.208 3214 324 3.23) Um cubo é definido por | < x,y, 2 < 1,2.SeD = 2xya, + 32ya, C/m?: (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo. (b) Calcule V + D no centro do cubo. (c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8). Determine se a divergência dos seguintes campos vetoriais é positiva, negativa ou zero: (a) o fluxo de energia térmica em J/(m?s) em qualquer ponto em um cubo de gelo em processo de resfriamento; (b) a densidade de corrente em A/m? em um barramento que conduz corrente contínua; (c) a taxa de fluxo de massa em kg/(m?s) abaixo da superfície da água em uma bacia, na qual a água está circulando no sentido horário quando vista por cima. Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P(4, 1,5) no espaço livre. Considere D = xa, C/m? e use os resultados da Seção 3.4 para estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica. Uma distribuição radial de campo elétrico, no espaço livre, é dada, em coordenadas esféricas, por: Ej= To, a, (r<a) 3ey 5 pd Est, (a<r<b) Iegr? Depá p= Lobo, q>b) 3egr? onde po, a e b são constantes. (a) Determine a densidade volumétrica de carga na região inteira (0 < r < 00) mediante o uso apropriado de V + D = py. (b) Utilizando os parâmetros fornecidos, encontre a carga total, Q, no interior de uma esfera de raio r, onde r > b. Calcule V + D no ponto especificado se (a) D = (1/2) 1Oxyz a, + Sxz a, + (2º — Sxy) a.) em P(=2,3, 5); (b) D = 522 a, + 10 pra-em P(3, —45º,5); (JD=2rsenôsença,+rcos 0 sen é ag + rcos & ag em P(3, 45º, —45º). (a) Um campo de densidade de fluxo é dado como F, = Sa,. Calcule o fluxo de F, que sai de uma superfície hemisférica r= 4,0 <0 < 7/2, 0 < 4 < 2. (b) Qual observação simples teria poupado bastante trabalho na parte a? (c) Agora suponha que o campo seja dado por F; = Sza,. Utilizando as integrais de superfície apropriadas, calcule o fluxo líquido de F> que sai da superfície fechada que consiste do hemisfério da parte a e da sua base circular no plano xy. (d) Repita a parte c usando o teorema da divergência e uma integral volumétrica apropriada. (a) Uma carga pontual Q localiza-se na origem. Mostre que div D é zero em todos os pontos exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica uniforme de carga p,o para O < r < a. Relacione Pro com Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Encontre div D em todos os pontos. sub 42h 4138 a14b aash a16h sa7h ash 4194 Seja uma densidade superficial de carga uniforme de 5 nC/mº presente no plano z = 0, uma densidade linear de carga uniforme de 8 nC/m posicionada em x = 0, z = 4, e uma carga pontual de 2 |tC presente em P(2,0,0). Se V= 0 em M(0,0,5), calcule Vem N(1, 2, 3). Em coordenadas esféricas, E = 2r/(? + a?y'a, V /m. Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a referência (a) V = 0 no infinito; (b) V=0em r=0()V=100Vemr=a. Três cargas pontuais idênticas, de 4 pC cada, estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de 0,5 mm de lado, no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um ponto equidistante das outras duas e na linha que as une? Dado o campo elétrico E = (y + 1)a, + (x — 1)ay + 2a:, calcule a diferença de potencial entre os pontos (a) (2, —2, —1) e (0,0, 0); (b) (3,2, —1) e (-2, 3,4). Duas linhas uniformes de cargas de 8 nC/m cada estão posicionadas em x=1,7=2,eemx=-1,y=2, no espaço livre. Se o potencial na origem vale 100 V, calcule Vem P(4, 1,3). Sabe-se que a função potencial de uma distribuição de carga esfericamente simétrica, no espaço livre (com a < r < 00), é dada por V(r) = Vo? /r, onde Vo e a são constantes. (a) Determine a intensidade de campo elétrico. (b) Calcule a densidade volumétrica de carga. (c) Encontre a carga contida no interior do raio a. (d) Calcule a energia total armazenada na carga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região a < r < 00. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/m? estão presentes emp=2e6cm, respectivamente, no espaço livre. Considere V = 0 em p=4cme calcule Vem (a) p=5 em; (b) p=7 cm. Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas pr = kx/ (12 + a?) que se estende ao longo do eixo x, de x = a até +00, onde a > 0. Considere o zero de referência no infinito. A superfície anelar | cm < p < 3 cm, 2 = 0, está carregada com a densidade superficial não uniforme de carga p, = 5p nC/m?. Calcule Vem P(0,0,2 em) se V = O no infinito. Em determinado meio, o potencial elétrico é dado por = PO -ax Va) = el -e“) onde py e a são constantes. (a) Determine a intensidade de campo elétrico, E. (b) Calcule a diferença de potencial entre os pontos x = de x = 0. (c) Se a permissividade do meio é dada por e(x) = «q e”, encontre a densidade de fluxo elétrico, D, e a densidade volumétrica de carga, py, na região. (d) Calcule a energia armazenada na região (0 < x < d), (0 <y < 1), (0<z<1). s21b s23b 425) 4.261 Seja V= 2922 +3 In(x? + 2y? + 32?) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em P(3, 2, —1) (a) V; (b) |VI; (c) E; (d) |El: (e) ay; (ND. Uma linha de carga, de comprimento infinito, se estende ao longo do eixo z e contém uma densidade linear uniforme de carga de ps C/m. Uma casca cilíndrica, perfeitamente condutora, cujo eixo coincide com o eixo z, envolve a linha de carga. O cilindro (de raio b) está no mesmo potencial da terra (ou do solo). De acordo com essas condições, a função potencial no interior do cilindro (p < b) é dada por Pe 27eq Vip) =k— In(p) onde k é uma constante. (a) Determine k, expressando-a pelos parâmetros dados ou conhecidos. (b) Encontre a intensidade de campo elétrico, E. para p < b. (c) Encontre a intensidade de campo elétrico, E, para p > b. (d) Calcule a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento, na direção z, no interior do volume definido por p > a, onde a<b. Sabe-se que o potencial é dado como V = 80pº* V. Considerando condições de espaço livre, calcule. (a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em p=0,5m: (c) a carga total dentro da superfície fechada p = 0,6,0 <z <1. Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por (por?)/(100co)a, V/m (rr < 10) E(r) = tra (1000)/(cor2)a, V/m — (r=> 10) onde py é uma constante. (a) Determine a densidade de carga como uma função da posição. (b) Encontre o potencial absoluto como uma função da posição nas regiões r < 10 e r > 10. (c) Confira seu resultado da parte b por meio da utilização do gradiente. (d) Calcule a energia armazenada na carga mediante uma integral da forma da Equação (42). (e) Calcule a energia armazenada no campo por meio de uma integral da forma da Equação (44). Dentro do cilindro p = 2,0 < z < 1,0 potencial é dado por V = 100 + 50p + 150p sen & V. (a) Calcule V, E, D e py em P(1, 60º, 0,5) no espaço livre. (b) Quanta carga está presente dentro do cilindro? Consideremos uma placa muito fina, quadrada e condutora imperfeita de 2 m de lado, posicionada no plano z = 0 com um vértice na origem de forma que ela permaneça totalmente dentro do primeiro quadrante. O potencial em qualquer ponto da placa é dado por V = —e-* sen y. (a) Um elétron entra na placaem x = 7/3 com velocidade inicial zero. Em qual direção está seu moviment al? (b) Por causa de colisões com as partículas da placa, o elétron atinge uma velocidade relativamente baixa e pequena aceleração (o trabalho que o campo exerce nele é convertido, em grande parte, em calor). 427 4281 4.291 430) 431) ER 4331 s34d 4351 4361 O elétron se move, portanto, ao longo de uma linha de força. Onde ele deixa a placa e em que direção estará se movimentando nesse instante? Duas cargas pontuais de 1 nC em (0, 0,0,1)e —1 nC em (0,0, —0,1) estão no espaço livre. (4) Calcule Vem P(0,3, 0, 0,4). (h) Calcule [E] em P. (c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e calcule V em P. Use a intensidade de campo elétrico de um dipolo [Seção 4.7, Equação (35)] para calcular a diferença no potencial entre pontos em 9, e 9, cada ponto tendo as mesmas coordenadas r e q. Sob quais condições a resposta concorda com a Equação (33), para o potencial em 64? Um dipolo que tem um momento p = 3a, — 5a, + 10a, nC - m está posicionado em Q(1, 2. —4) no espaço livre. Calcule Vem P(2, 3, 4). Um dipolo para o qual p = 106,a, C + m está posicionado na origem. Qual é a equação da superfície em que E, = 0, mas E É 0? Um campo de potencial no espaço livre é expresso por V = 20/(xyz) V. (a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo | < x,y, 72 <2. (b) Qual valor seria obtido caso fosse considerada uma densidade uniforme de energia igual ao valor no centro do cubo? (a) Utilizando a Equação (35), calcule a energia armazenada no campo do dipolo na região r > a. (b) Por que não podemos deixar a se aproximar de zero, no limite? Uma esfera de cobre de raio 4 cm está carregada com uma carga total uniformemente distribuída de 5 ptC, no espaço livre. (a) Use a lei de Gauss para achar D externo à esfera. (b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático. (c) Use We = E H20) para calcular a capacitância da esfera isolada. Uma esfera de raio a contém uma densidade volumétrica de carga uniforme o C/m'. Encontre a energia total armazenada aplicando (a) a Equação (42); (b) a Equação (44). Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão posicionadas, no espaço livre, nos vértices de um quadrado de 4 cm de lado. (a) Calcule a energia potencial total armazenada. (bh) Uma quinta carga de 0,8 nC é instalada no centro do quadrado. Novamente, calcule a energia total armazenada. Uma densidade superficial uniforme de carga, ps, está distribuída em uma casca esférica de raio b, centrada na origem e imersa no espaço livre. (a) Determine o potencial absoluto em qualquer parte, com o zero de referência no infinito. (b) Encontre a energia armazenada na esfera por meio da consideração da densidade de carga e do potencial em uma versão bidimensional da Equação (42). (c) Calcule a energia armazenada no campo elétrico e mostre que os resultados das partes (b) e (c) são idênticos. sas 5.161 sarl ssh 5.19) 5201 de forma paralela diretamente sobre a primeira, em 7 = d. A região entre as placas está preenchida com material que possui condutividade o(x) = ooe*/2, onde do é uma constante. Uma tensão Vo é aplicada à placa em 2=d.A placa em 7 = O está no potencial zero. Encontre, considerando os parâmetros dados: (à) a intensidade de campo elétrico E dentro do material; (b) a corrente total que circula entre as placas; (c) a resistência do material. Seja V = 10(p + 1% cos & V no espaço livre. (a) Uma superfície equipotencial V'= 20 V define uma superfície condutora. Encontre a equação da superfície do condutor. (b) Calcule p e E no ponto na superfície do condutor onde q = 0,2m7 ez = 1,5. (c) Calcule |ps| neste ponto. Uma linha de transmissão coaxial tem condutores interno e externo de raios ae b, respectivamente. Entre os condutores (a < p < b) existe um meio condutivo cuja condutividade é o(p) = 09 / p, onde oy É uma constante. O condutor interno está carregado com potencial Vo, é o condutor externo está aterrado. (a) Considerando uma corrente radial c.c. 1 por unidade de comprimento em z, determine o campo densidade de corrente radial J em Aju”. (b) Determine a intensidade de campo elétrico E considerando fe os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos. (c) Tomando uma integral de linha apropriada de E, como a encontrada em (b), determine uma expressão que relaciona Voe E. (d) Determine uma expressão para a condutância da linha por unidade de comprimento, G. Dado o campo de potencial V = 100xz /(x? + 4) V no espaço livre: (a) Calcule D na superfície 7 . (b) Mostre que a superfície 2 = O é uma superfície equipotencial. (c) Considere que a superfície z = O seja um condutor e calcule a carga total naquela porção do condutor definida por O<x<2,-3<y<0 Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z = O ez=d.A placa superior (7 = d) está no potencial Vo. enquanto a placa inferior está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial, o(p) = o0p. onde oq é uma constante. (4) Encontre a intensidade de campo elétrico E independente de p, entre as placas. (b) Determine a densidade de corrente J entre as placas. (c) Determine a corrente total / entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas. Seja V = 20xyz — 1027 V no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies equipotenciais nas quais V = 0 e 60 V. (b) Considere que essas são superfícies condutoras e calcule as densidades superficiais de carga naquele ponto na superfície V= 60 Vondex=2e7=|1. Sabe-se que 0<V<60Véaregião que contém o campo. (c) Forneça o vetor unitário neste ponto, que é normal à superfície condutora e aponta na direção da superfície V = 0. Duas cargas pontuais de — 1007 «C estão posicionadas em (2, —1,0)e (2,1,0). A superfície x = O é um plano condutor. (4) Determine a densidade superficial de carga na origem. (b) Determine ps em P(0, h, 0). so s22] s23d s24h sas] s.26b sol sosb 529) 5.308 Seja a superfície y = O um condutor perfeito no espaço livre. Duas linhas infinitas e uniformes de cargas de 30 nC /m cada estão posicionadas em 1=0,y=1ex=0,y=2.(a) Considere que V= Ono plano y = 0,€ calcule Vem P(1, 2,0). (b) Calcule E em P. O segmento deretax=0,-1 <y< 1,72= 1, contém uma densidade linear de carga py = x|y| «0 /m. Considere que 2 = O é um plano condutor, e determine a densidade superficial de carga em: (4) (0,0, 0); (b) (0, 1,0). Um dipolo com p = 0,1a, «C « m está posicionado em A(1,0, 0) no espaço livre, e o plano x = O é perfeitamente condutor. (a) Calcule V em P(2,0, 1). (b) Encontre a equação da superfície equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas. A certa temperatura, as mobilidades dos elétrons e dos buracos no germânio intrínseco são dadas como 0,43 e 0,21 m/v -s, respectivamente. Se as concentrações de elétrons e de buracos são ambas de 2,3 x 10! m-?, calcule a condutividade a essa temperatura. As concentrações de elétrons e buracos aumentam com a temperatura. Para silício puro, expressões adequadas são py = —p, = 6.200715e=1909T C jm. A dependência funcional das mobilidades com a temperatura é dada por mu=23 x 10672 m?yV se pe=2,1 x 1075 m2/V .s, onde a temperatura T está em graus kelvin. Encontre o em: (a) 0ºC; (b) 40 ºC; (c) 80 ºC. Uma amostra de semicondutor tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2,0 mm, e um comprimento de 11,0 mm. O material tem densidades de elétrons e buracos de 1,8 x 10!8 e 3,0 x 10! m>), respectivamente. Se ge=0,082m?/V «se gy = 0,002] m?/V «s, calcule a resistência oferecida entre as faces extremas da amostra. Hidrogênio atômico contém 5,5 x 10% átomos /mº em certa temperatura e pressão. Quando um campo dielétrico de 4 kV /m é aplicado, cada dipolo formado pelo elétron e núcleo positivo possui um comprimento efetivo de 7.1 x 10-!º m. (a) Calcule P. (b) Calcule e,. Calcule a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico seja quatro vezes a polarização. Um condutor coaxial tem raios a = 0,8 mm e b = 3 mm e um dielétrico de poliestireno para o qual é, = 2,56. Se P = (2 /pJa, nC fm? no dielétrico, calcule: (a) D e E como funções de p: (b) Vi € xe- (c) Se existirem 4 x 1019 moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule p(p). Considere um material composto feito de dois elementos, os quais possuem densidades N, e N> moléculas /nr, respectivamente. Os dois mate estão uniformemente misturados, levando a uma densidade total deN=Nyj + Na. A presença de um campo elétrico E induz momentos de dipolos moleculares py e p> dentro dos elementos individualmente, estejam eles misturados ou não. Mostre que a constante dielétrica do material composto é dada por e, = fem +(1 — fi e; onde fé a fração numérica dos dipolos do elemento 1 no composto, e onde €,, & ,2 são as constantes dielétricas que os elementos não misturados teriam se cada um tivesse densidade N. sa l A superfície x = O separa dois dielétricos perfeitos. Para x > O, seja é, = €n = 3, enquanto e = 5 onde x < 0. Se E, = 80a, — 604, — 30a, V/m, calcule: (a) Ex: (b) Esgr: (€) Es: (7) 0 ângulo 6 entre E, e uma normal à superfície: (e) Dyo: () Dia: (8) Do: (hn) P5: (i) 0 ângulo 6; entre E, e uma normal à superfície. 532] Duas cargas pontuais de 3 uC com sinais opostos são mantidas a uma distância de x metros por uma mola, que fornece uma força repulsiva dada por Fsp = 120,5 — x) N. Sem qualquer força de atração, a mola estaria totalmente estendida de 0,5 m. (a) Determine a separação entre as cargas. (b) Qual é o momento de dipolo? s33h Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas cp =2€ €o = 8. A superfície plana entre eles é a superfície x — y + 272 =5. A origem situa-se na região 1. Se E, = 100a, + 200a, — 50a, V /m, calcule Es. 5.34] A região | (x > 0) é um dielétrico com em = 2, enquanto a região 2 (x < 0) tem 62 =5. Seja E; = 20a, — 10, + 504, V/m. (4) Calcule Ds. (b) Calcule a densidade de energia em ambas as regiões. 535] Sejam as superfícies cilíndricas p = 4cme p= 9 cm, que envolvem dois dielétricos perfeitos em forma de cunha, es =2 para0 <p <7/2een=5 para 7/2 < q < 27. Se E; = (2.000 /p)a, V /m, calcule: (a) Es: (b) a energia eletrostática total armazenada em 1 m de comprimento em cada região. PROBLEMAS 61h 6.21 6.3) Considere um cabo coaxial com raio interno a, raio externo b, comprimento unitário e preenchido com um material de constante dielétrica e,. Compare este dispositivo a um capacitor de placas paralelas, onde cada placa tem largura w e separação entre as placas igual a d, além de ser preenchido com o mesmo dielétrico e possuir comprimento unitário. Expresse a razão b/a considerando a razão d /w, de tal modo que as duas estruturas armazenem a mesma energia para uma dada tensão aplicada. Seja S = 100 mm?, d = 3 mm e e, = 12 para um capacitor de placas paralelas. (a) Calcule a capacitância. (b) Após conectar uma bateria de 6V no capacitor, calcule E, D, Q e a energia eletrostática total armazenada. (c) Com a fonte ainda conectada, o dielétrico é cuidadosamente retirado da região entre as placas. Sem dielétrico, recalcule E, D, Q e a energia armazenada no capacitor. (d) A carga e a energia encontradas na parte (c) são menores que os respectivos valores encontrados na parte (b), como você já deve ter descoberto; então, o que foi feito da carga e da energia perdidas? Os capacitores tendem a ser mais caros à medida que suas capacitâncias e tensões máximas, Vmax aumentam, A tensão Vimax É limitada pela intensidade do campo na qual o dielétrico se rompe”, Egp"*. Determine qual desses dielétricos proporcionará o maior produto CVmax, considerando que as placas possuem áreas iguais: (a) ar: e, = 1, Egp = 3 MV/m; (b) titanato 6.211 6.224 eh O condutor interno da linha de transmissão mostrada na Figura 6.13 possui uma seção reta quadrada de 2a x 2a, enquanto o quadrado externo é 4a x 5a. Os eixos estão deslocados, conforme mostrado. (a) Construa um desenho de bom tamanho dessa linha de transmissão, digamos com a=2$5 cm, e depois prepare um esboço de quadrados curvilíneos do campo eletrostático entre os condutores. (b) Use o mapa para calcular a capacitância por metro de comprimento se e = 1,6€9. (c) Como seu resultado para a parte (b) mudaria se a = 0,6 cm? Duas placas condutoras, cada uma de 3 x 6 cm, e três chapas de dielétrico, cada uma de 1 x 3 x 6 em, de constantes dielétricas 1, 2 e 3, são montadas em um capacitor de d = 3 cm. Determine os dois valores de capacitância obtidos pelos dois métodos possíveis de montagem do capacitor. Uma linha de transmissão de dois fios consiste em dois cilindros paralelos, condutores perfeitos, cada um com um raio de 0,2 mm, separados de centro a centro de uma distância de 2 mm. O meio que envolve os fios tem «, = 3 e o = 1,5mS/m. Uma bateria de 100 V é conectada entre os fios. (a) Calcule a magnitude da carga por metro de comprimento em cada fio; (b) Usando o resultado do Problema 6.16, encontre a corrente da bateria. Figura 6.13 Ver Problema 6.21. 6.241 6251 6261 6271 cas) 6.294 6301 cai ul cul Um campo potencial, no espaço livre, é dado em coordenadas esféricas como [po/(6eg)] Ba? — 12] (r <a) PO] catia) (r>a) onde py € a são constantes. (41) Use a equação de Poisson para encontrar a densidade volumétrica de carga em toda a parte. (b) Determine a carga total presente. Seja V= uyrte € = ep. Dado o ponto P(1,2,— 1), calcule: (a) Vem P; (b) E em P; (c) pyem FP; (d) a equação da superfície equipotencial que passa por P; (e) a equação da linha de força que passa por P. (/) V satisfaz a equação de Laplace? Dado o campo potencial, esfericamente simétrico, no espaço livre, V= Wet, calcule: (a) Pyremr= a; (b)o campo elétrico em r = a; (e) a carga total. Seja V(x, 3) = 4eX + f(x) — 332 na região do espaço livre onde p, = 0. É sabido que ambos E, e V são zero na origem. Encontre f(x) e Vix, y). Mostre que, em um meio homogêneo de condutividade o, o campo potencial V satisfaz a equação de Laplace, se qualquer densidade volumétrica de carga presente não variar com o tempo. Dado o campo potencial V = (Ap! + Bp-*) sen 4: (a) Mostre que V2V = 0. (b) Selecione A e B de forma que V = 100V e [E| = 500 V /m em P(p = 1, 4=05º,:=2). Um capacitor de placas paralelas tem placas posicionadas em z = 0 e z=d. À região entre as placas é preenchida com um material que contém carga volumétrica de densidade uniforme py C/mº e tem permissividade e. Ambas as placas são mantidas no potencial de terra. (a) Determine o campo potencial entre as placas. (b) Determine a intensidade de campo elétrico E entre as placas. (c) Repita as partes (4) e (b) se o potencial da placa em 2= d for aumentado para Vo, com a placa em 7 = O aterrada. Seja V = (cos 29) fo no espaço livre. (a) Calcule a densidade volumétrica de carga no ponto A(0,5, 60º, 1). (b) Encontre a densidade superficial de carga na superfície de um condutor que passa pelo ponto B(2, 30º, 1). Uma carga volumétrica uniforme tem densidade constante py = po Cjm* e preenche a região r < a, na qual a permissividade e é considerada. Uma casca condutora esférica está posicionada em r = a e é mantida no potencial de terra. Calcule: (4) o potencial em todos os pontos; (b) a intensidade de campo elétrico E em todos os pontos, As funções Vi(p, q 2) e Valp, &, 2) satisfazem a equação de Laplace na regiãoa <p<b,0<gp<2m-L<z<hLCadauma vale zero nas superfícies p=bpara-L<z<liz=-Lparma<p<bez=Lpara a<p< b.Ecadauma vale 100V na superfície p=apara-L<z<L, (a) Na região especificada, a equação de Laplace é satisfeita pelas funções 6.341 6.361 6.371 6.381 6.39] 6.40) W+VaVi— Va Vi+3e ViV5? (b) Na fronteira das superfícies especificadas, os valores de potencial dados neste problema são obtidos das funções Vi + Va Vi — Va Vi+3e Vi Vo? (c) As funções Vi + Va Vi — Va, Vi+3e Vi; Va são idênticas a Vj? Considere o capacitor de placas paralelas do Problema 6.30, mas dessa vez admita que o dielétrico carregado existe apenas entre 2 = 0e 7 = b, onde b < d. Espaço livre preenche a região b < z < d. Ambas as placas estão no potencial de terra. Resolvendo as equações de Laplace e de Poisson, calcule: (4) V(z) para O < 2 < d; (b) A intensidade de campo elétrico para 0 <= <d Nenhuma carga superficial existem em 2 = b, então Ve D são contínuos no plano 7 = b. Os planos condutores 2x + 3y = 12 e 2x + 3y = 18 estão nos potenciais 100W e 0, respectivamente. Considere « = ep e calcule: (4) Vem P(5, 2, 6); (b)E em P. A dedução das equações de Laplace e de Poisson consideram uma permissividade constante, mas existem casos de variação espacial da permissividade nos quais as equações ainda se aplicam. Considere a identidade vetorial V- (f G)=G + Vy + YV. G. onde ye G são funções escalar e vetorial, respectivamente. Determine uma regra geral nas direções permitidas, nas quais pode variar com relação ao campo elétrico local. Cilindros condutores coaxiais estão posicionados em p = 0,5 em e p= 1,2em. A região entre os cilindros é preenchida com um dielétrico perfeito homogêneo. Se o cilindro interno está em 100 V e o externo a O V, calcule: (a) a localização da superfície equipotencial de 20 V; (b) E, max: (che, sea carga por metro de comprimento no cilindro interno vale 20 nC /m. Repita o Problema 6.37, mas com o dielétrico preenchendo apenas parte do volume, dentro de O < q < yr, e com espaço livre no volume restante. Os dois condutores planos ilustrados na Figura 6.14 são definidos por 0,001 <p <0,120m,0<z<0im d=o0,179€0,188 rad.O meio que circunda os planos é o ar. Para a Região 1,0,179 < q < 0,188; despreze a existência de irregularidades nos campos e calcule: (a) Vig); (b) Elp); (e) D(p): (dd) ps na superfície superior do plano inferior; (e) Q na superfície superior do plano inferior; (/) Repita as partes de (a) a (e) para a Região 2, tornando a localização do plano superior por À = 0,188 — 2, e então encontre ps e Q na superfície inferior do plano inferior; (4) Calcule a carga total no plano inferior e a capacitância entre os planos. Um capacitor de placas paralelas é construído usando duas placas circulares de raio a, com a placa inferior no plano xy, centrada na origem. À placa superior está posicionada em z = d, com seu centro no eixo z. O potencial a superior; a placa inferior está aterrada. Um dielétrico que dade radialmente dependente preenche a região entre as ' ssividade é dada por e(p) = eo(1 + p?/a?). Calcule: (a) Víz); (b) E; (e) O; (d) C. Essa é uma repetição do Problema 6.8, mas começa com a equação de Laplace. 74h 7.54 7.64 7314 7.81 794 Duas espiras circulares estão centradas no eixo z, em z = +h. Cada espira tem raio a e conduz uma corrente 1 na direção ag. (a) Determine H no eixo z na faixa —h < z < h. Considere /= 1 A e faça o gráfico de |H| em função dez/ase(b)h=a/4:(c)h=a/2;(d)h = a. Qual valor de h fornece o campo mais uniforme? Esse sistema é denominado bobinas de Helmholtz (neste caso, as bobinas correspondem às duas espiras”), utilizadas para oferecer campos uniformes. Os condutores filamentares paralelos mostrados na Figura 7.21 estão no espaço livre. Desenhe o gráfico de |H| versus y, —4 < y < 4, ao longo da linhax=0,72=2. Um disco de raio a pertence ao plano xy, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade uniforme p, está presente no disco, que gira em volta do eixo z em uma velocidade angular de Q2 rad/s. Calcule H em todos os pontos no eixo z. Um condutor filamentar, que conduz uma corrente 1 na direção a,, se estende ao longo de todo o eixo z negativo. Em z = 0, ele é conectado a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x > 0, y > 0, do plano xy. (a) Configure a lei de Biot-Savart e determine H em toda a parte do eixo z; (b) repita a parte (a), mas com a lâmina de cobre ocupando o plano xy inteiro (Sugestão: expresse a, por a,, a, e o ângulo à na integral). Para o elemento de corrente de comprimento finito no eixo z, conforme mostrado na Figura 7.5, use a lei de Biot-Savart para derivar a Equação (9) da Seção 7.1. Uma lâmina de corrente K = 8a, A/m flui na região —2 < y < 2 no plano 2=0.Calcule H em P(0,0, 3). (0,-1,0) 7.108 7418 7124 7134 7.148 75h Uma casca condutora esférica e oca de raio a tem conexões filamentares feitas no topo (r = a, 6 = 0) e na base (r = a, 6 = 77). Uma corrente contínua 1 circula para baixo pelo filamento superior e pela superfície esférica, saindo pelo filamento inferior. Calcule H em coordenadas esféricas (a) dentro e (b) fora da esfera. Por um filamento infinito no eixo z circulam 20 x mA na direção a,. Três lâminas cilíndricas de corrente uniforme, na direção a., também estão presentes: 400 mA/m em p = 1 em, 250 mA/m em p =2 eme —300 mA/m em p =3 cm. Calcule Hg em p = 0,5, 1,5,2,5e 3,5 cm. Na Figura 7.22, as regiões O < z < 0,3 me 0,7 <z < 1,0 m correspondem a placas condutoras nas quais circulam densidades uniformes de corrente de 10 A/m? em direções opostas, conforme mostrado. Calcule H em z =: (a) 0,2; (b) 0,2: (c) 0,4: (d) 0,75; (e) 1,2 m. Por uma casca cilíndrica oca de raio a, centrada no eixo z, circula uma densidade superficial uniforme de corrente de Kg ag. (4) Mostre que H não é uma função de & ou z. (b) Mostre que Hg e H, valem zero em todos os pontos. (c) Mostre que H. = O para p > a. (d) Mostre que H. = K, para p <a. (e) Por uma segunda casca, p = b, circula uma corrente K, ag. Calcule H em todos os pontos. Um toroide que possui seção reta de formato retangular é definido pelas seguintes superfícies: os cilindros p = 2 e p = 3 cm, e os planos 7 = | ez=2,5 cm. Pelo toroide passa uma densidade superficial de corrente de —50a, A /m na superfície p = 3 em. Calcule H no ponto P(p, &, 2): (a) PA(1,S em, 0,2 cm); (b) PAZ cm, 0,2 em); (c) PA2,7 cm, m/2,2 em); (d) Po(3,5 em, 7/2, 2 em). Considere uma região com simetria cilíndrica na qual a condutividade é dada por o = 1,5e-!5%º kS /m. Um campo elétrico de 304, V /m está presente. (a) Calcule J. (b) Calcule a corrente total que atravessa a Ar LO — IO Aim? 07 Ar 03 .— 10 Aim? Ar 0 ” Figura 7.22 Ver Problema 7,12, 7.164 7178 7481 7194 7.204 7.218 7.22) superfície p < pg. 7 = 0, todo o 6. (c) Use a lei circuital de Ampêre para calcular H. Um condutor filamentar conduz uma corrente 1 na direção —a, e se estende ao longo de todo o eixo z positivo. Na origem, ele é conectado a uma lâmina condutora que forma o plano xy. (a) Determine K na lâmina condutora. (b) Use a lei circuital de Ampêre para encontrar H para z > 0. (c) Determine H para z < 0. Por um filamento de corrente no eixo z circula uma corrente de 7 mA na direção a,, e lâminas de corrente de 0,5 a. A/m e —0,2 a. A/m estão posicionadas em p = | cme p = 0,5 em, respectivamente. Calcule H em: (a) p=0,5 em; (b) p = 1,5 em; (c) p = 4 em. (d) Qual é o valor da lâmina de corrente que deveria estar posicionada em p = 4 cm de forma que H = O para todo p > 4 em? Um fio de 3 mm de raio é constituído de um material interno (0 < p < 2 mm) para o qual o = 107 S/m, e de um material externo (2 mm < p < 3 mm) para oqualo =4 x 107 S/m. Se pelo fio passa uma corrente contínua total de 100 mA, determine H em todos os pontos como uma função de p. Em coordenadas esféricas, a superfície de um cone condutor sólido é descrita por 9 = 7/4, e a de um plano condutor, por 6 = 7/2. Cada um conduz uma corrente total igual a 1. A corrente flui como uma corrente superficial radialmente para dentro, no plano em direção ao vértice do cone, e então flui radialmente para fora em toda a parte da seção reta (transversal) do condutor cônico. (a) Expresse a densidade superficial de corrente como uma função de r; (b) expresse a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de r; (c) determine H como uma função de re 6 na região entre o cone e o plano; (d) determine H como uma função de re 6 no interior do cone. Um condutor sólido de seção reta circular, com raio de S$ mm, tem uma condutividade que varia com o raio. O condutor tem 20 metros de comprimento e existe uma diferença de potencial contínua de 0,1 V entre suas duas extremidades. Dentro desse condutor, H = 10"22a, A/m. (a) Calcule o como uma função de p. (b) Qual é o valor da resistência entre as duas extremidades? Um fio cilíndrico de raio a é orientado com o eixo z. O fio conduz uma corrente não uniforme de densidade J = bp a; A/m?, onde b é uma constante. (a) Qual é a corrente total que flui no fio? (b) Encontre Hintemo (0 <p < a) como uma função de p; (c) Encontre Heero (P > a) como uma função de p; (d) verifique os resultados das partes (b) e (c) por meio da utilização de V x H = J. Um cilindro sólido de raio a e comprimento L, onde L >> a, contém carga volumétrica de densidade uniforme po C/mº. O cilindro gira em torno de seu eixo (o eixo z) com velocidade angular de Q rad/s. (a) Determine a densidade de corrente J como uma função da posição dentro do cilindro girante. (b) Determine H no eixo aplicando os resultados do Problema 7.6. 7398 7.408 7.41h 7.424 7.43) 744) Lâminas planas de corrente K = 30a. A/m e —30a, A/m estão posicionadas no espaço livre em x = 0,2 e x = —0,2, respectivamente. Para a região —0,2 < x < 0,2: (a) calcule H; (b) obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em P(0,1, 0,2, 0,3): (c) calcule B; (d) obtenha uma expressão paraA seA=0emP. Mostre que a integral de linha do potencial vetor A ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou fA-dL=[B-ds. Considere A = 50p?a. Wb/m em certa região do espaço livre. (a) Calcule He B. (b) Calcule J. (c) Use J para encontrar a corrente total que atravessa asuperfícic0 <p <1,0<g4<2m,:=o0.(d) Use o valor de Hoem p= 1 para calcular f H dl para p= 1,2=0. Mostre que V(1/R13) = —Vi(l/RWp) = Roy/ Ro. Calcule o potencial vetor magnético dentro do condutor externo para a linha coaxial cujo potencial vetor magnético é mostrado na Figura 7.20, se o raio externo do condutor externo for 7a. Selecione o zero de referência adequado e esboce esses resultados na figura. Expandindo a Equação (58) da Seção 7.7 em coordenadas cartesianas, mostre que a Equação (59) está correta. PROBLEMAS sal 82h 838 Uma carga pontual Q = —0,3 «Cem =3 x 10-!º kg move-se em uma região na qual existe um campo E = 30a, V /m. Use a Equação (1) e as leis de Newton para desenvolver as equações diferenciais apropriadas e resolvê-las, sujeitas às condições iniciais em 1 = 0, v = 3 x 10%a, m/s na origem. Emt=3 ss, calcule: (a) a posição P(x, y, 2) da carga; (b) a velocidade v; (c) a energia cinética da carga. Compare as intensidades das forças elétrica e magnética exercidas sobre um elétron que atinge uma velocidade de 107 m/s. Considere uma intensidade de campo elétrico de 10º V /m e uma densidade de fluxo magnético associada à densidade do campo magnético da Terra em latitudes temperadas, equivalente a 0,5 gauss (G). Uma carga pontual, para a qual Q =2 x 10-1Cem=5 x 10-kg, está se movendo por uma região na qual existem os campos combinados E = 100a, — 200a, + 3004, V/m e B = —3a, + 2a, — a, mT. Se a velocidade 84] 85] 8.6] 87) 8.8] 89) saob sul da cargaem 1 = é v(0) = (2a, — 3a, — da) 10º m/s: (a) calcule o vetor unitário que mostra a direção e o sentido em que a carga acelera em 1 = O; (b) encontre a energia cinética da carga em t = 0. Mostre que uma partícula carregada em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular com um período orbital que é independente do raio. Encontre a relação entre a velocidade angular e a densidade de fluxo magnético para um elétron (a frequência ciclotron). Uma espira retangular de fio condutor no espaço livre une os pontos A(l, 0, 1). B(3,0, 1). C(3. 0, 4), D(1, 0, 4) e A. Pelo fio circula uma corrente de 6 mA na direção a, de B para C. Uma corrente filamentar de 15 A circula ao longo de todo o eixo z na direção a,. (a) Calcule F no lado BC. (b) Calcule F no lado AB. (c) Calcule Fa Na espira. Mostre que o trabalho diferencial ao mover um elemento de corrente / dL ao longo de uma distância dl em um campo magnético B, é o negativo do trabalho realizado no movimento do elemento dl em uma distância dL no mesmo campo. Lâminas uniformes de corrente estão posicionadas no espaço livre conforme se segue: $a, A/mem y=0, —da,A/mem y= le —da,A/m emy= 1. Encontre o vetor força por metro de comprimento exercido em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção a, se o filamento está posicionado em: (a) x = 0, 05Sea =a:(b)y=05, i=0ca=an()r=0,y=15em= Duas fitas condutoras, de comprimentos infinitos na direção z, estão situadas no plano xz. Uma ocupa a região d/2 < x < b+ d/2 e conduz uma densidade de corrente superficial K = Kça,, enquanto a outra está situada em —(b + d/2) < x < —d /2 e conduz uma densidade de corrente superficial igual a — Kças. (a) Encontre a força por unidade de comprimento em z que tende a separar as duas fitas. (b) Considere que b se aproxima de zero enquanto a corrente é mantida constante (1 = K, b), e mostre que a força por unidade de comprimento tende a jtol?/(2rd) N/m. Uma corrente de — 1004, A /m circula no cilindro condutor p = 5 mm, e uma de +500a, A /m está presente no cilindro condutor p = | mm. Calcule a intensidade da força total por metro de comprimento que está agindo para dividir o cilindro externo ao longo de seu comprimento. Uma linha de transmissão plana consiste em dois planos condutores de largura » separados por dm no ar, pelos quais circulam correntes iguais e opostas de 7 A, Se b > d, encontre a força de repulsão por metro de comprimento entre os dois condutores. (a) Use a Equação (14), da Seção 8.3, para mostrar que a força de atração por unidade de comprimento entre dois condutores filamentares no espaço livre, com correntes ha, em x =0,y=d/2ehaemr=0,y=-d/2,€ tofila (Qd). (b) Mostre como um método mais simples pode ser utilizado para verificar o resultado da parte (a). 812) s13h ssh sash 8.168 sarh sash 8.19) Dois anéis circulares condutores são paralelos, compartilham do mesmo eixo, possuem raio a e estão separados por uma distância d, onde d << a. Cada anel conduz uma corrente 1. Determine a força de atração aproximada e indique as orientações relativas das correntes. Uma corrente de 6 A flui de M(2, 0, 5) a N(5, 0, 5) em um condutor retilíneo e sólido, situado no espaço livre. Um filamento infinito de corrente situa-se ao longo do eixo z e é percorrido por 50 A na direção a,. Calcule o vetor torque no segmento de fio usando a origem em: (a) (0, 0, 5): (b) (0, 0, 0); (c)(3,0,0). Um solenoide, com 25 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro, conduz 4 A de corrente contínua em sua bobina de 400 espiras. Seu eixo é perpendicular a um campo magnético uniforme de 0,8 Wb/m? no ar. Usando uma origem no centro do solenoide, calcule o torque que age sobre ele. Um filamento condutor sólido se estende de x = —b até x = b ao longo da linha y = 2, 2 = 0. Esse filamento é percorrido por uma corrente de 3 A na direção a,. Por um filamento infinito no eixo z circulam 5 A na direção a,. Obtenha uma expressão para o torque exercido no condutor finito em relação a uma origem posicionada em (0, 2, 0). Suponha que um elétron esteja descrevendo uma órbita circular de raio a em volta de um núcleo carregado positivamente. (a) Selecionando uma corrente e uma área apropriadas, mostre que o momento de dipolo orbital equivalente é ea?w/2, onde w é a velocidade angular do elétron. (b) Mostre que o torque produzido por um campo magnético paralelo ao plano de órbita é ea?wB/2. (c) Igualando as forças de Coulomb e centrífuga, mostre que « é igual a (4meoma [e2y-"º2, onde m, é a massa do elétron. (d) Encontre valores para a velocidade angular, torque e momento magnético orbital para o átomo de hidrogênio, onde a é aproximadamente 6 x 10"! m, Considere B = 0,5 T. O átomo de hidrogênio descrito no Problema 8.16 é agora submetido a um campo magnético cuja direção é a mesma do campo magnético de átomo. Mostre que as forças causadas por B resultam na diminuição da velocidade angular de eB/(2m,) e uma diminuição no momento orbital de ea2B/(4mo). Quanto valem essas diminuições para o átomo de hidrogênio em partes por milhão para uma densidade de fluxo magnético externo de 0,5 T? Calcule o vetor torque na espira quadrada mostrada na Figura 8.15 em relação a uma origem em A no campo B, dados: (a) A(O, 0,0) e B = 1004, mT; (b) A(O, 0,0) e B = 200a, + 1004, mT; (c) A(1, 2,3) e B = 2004, + 100a, — 3004, mT; (d) A(1, 2, 3) e B = 2009, + 1004, — 3004, mT para x > 2eB =0 nos outros pontos. Dado um material para o qual Xm e dentro do qual B = 0,4ya, T, calcule: (a) H; (b) pe; (C) pu,; (d) My (e) Ji (O Jp: (8) Jr. Calcule H em um material onde (a) ju, = 4,2, no qual existem 2,7 x 10” átomos/m' e cada átomo tem um momento de dipolo de 2,6 x 10º) Am (b)M=270.A/mepg=2uH/m;(c) ym=0,70B=2a,;T. (d) Calcule M em um material onde existem densidades superfici 8.331 34d fluxo total no toroide se o material magnético: (a) tem uma permeabilidade infinita; (b) é considerada linear, com |t, = 1.000; (c) é de aço-silício. (a) Encontre uma expressão para a energia magnética armazenada, por unidade de comprimento, em uma linha de transmissão coaxial, que consiste em luvas condutoras de espessura desprezível, de raios a e b. Um meio de permeabilidade relativa |t, preenche a região entre os condutores. Suponha que uma corrente 1 flua em ambos os condutores, na mesma direção e em sentidos opostos. (b) Obtenha a indutância, L, por unidade de comprimento da linha, igualando a energia magnética a (1/2)LP. Um núcleo toroidal tem uma seção reta quadrada, 2,5 cm < p < 3,5 cm, —0,5em <z < 0,5 cm. A metade superior do toroide, O < z < 0,5 cm, é construída a partir de um material linear para o qual (t, = 10, enquanto a metade inferior, 0,5 cm < z < 0, possui jt, = 20. Uma fmm de 150 Ae estabelece um fluxo na direção ag. Para z > 0, calcule: (a) Hg(p); (b) B&(p): (c) Bo. (d) Repita para z < O. (e) Calcule Dita Determine a energia armazenada por unidade de comprimento no campo magnético interno de um fio retilíneo infinitamente longo de raio a, pelo qual circula uma corrente 1. Os cones 0 = 21º e 0 = 159º são superfícies condutoras e nelas circulam correntes totais de 40 A, conforme mostrado na Figura 8.17. As correntes retornam por uma superfície esférica condutora de raio 0,25 m. (a) Calcule HnaregiãoO <r<0,25,21º <9 < 159º,0 < q < 27. (b) Quanta energia está armazenada nessa região? As dimensões do condutor externo de um cabo coaxial são b e c, onde c > b. Considerando |t = [t9, calcule a energia magnética armazenada por unidade de comprimento na região b < p < c para uma corrente total /, uniformemente distribuída, que circula em sentidos opostos nos condutores interno e externo. r=025m Figura 8.17 Ver Problema 8.35. 841) 842 8.44) Calcule a indutância da configuração cone-esfera descrita no Problema 8.35 e Figura 8.17. A indutância é aquela oferecida na origem entre os vértices do cone. Um núcleo toroidal tem uma seção reta retangular definida pelas superfícies p=2cm,p=3cm,:=4cmez=4,5cm. O material do núcleo possui uma permeabilidade relativa de 80. Se o núcleo é enrolado por uma bobina que contém 8.000 espiras de fio, calcule a indutância. Por planos condutores no ar em 7 = O e z = d circulam correntes superficiais de +Kça, A/m. (a) Calcule a energia armazenada no campo magnético, por unidade de comprimento (0 < x < 1), em uma largura w(O < y < w). (b) Calcule a indutância por unidade de comprimento dessa linha de transmissão por Wy = 4 LP, onde [ é a corrente total em uma largura w em cada condutor. (c) Calcule o fluxo total que atravessa oretânguloO0 <x< 1,0 <z<d,no plano y = 0, e deste resultado novamente encontre a indutância por unidade de comprimento. Um cabo coaxial possui raios a e b, onde a < b. Um material de permeabilidade jt, É 1 existe na região a < p < e, enquanto a região ce <p< bé preenchida com ar. Determine uma expressão para a indutância por unidade de comprimento. Uma bobina retangular é composta de 150 espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo z, se os quatro vértices da bobina estão posicionados em: (a) (0, 1,0), (0, 3,0). (0,3, 1) e (0, 1, 1); (b) (1, 1,0), (1,3,0), (1,3, e (1,1. Ache a indutância mútua entre dois filamentos que formam anéis circulares de raios a e Aa, onde Aa < a. O campo deve ser determinado por métodos aproximados. Os anéis são coplanares e concêntricos. (a) Use relações de energia para mostrar que a indutância interna de um fio cilíndrico não magnético, de raio a, em que flui uma corrente 7 uniformemente distribuída, é jo /(87) H/m. (b) Calcule a indutância interna se a porção do condutor para o qual p < c < a for removida. Mostre que a indutância externa por unidade de comprimento em uma linha de transmissão de dois fios, que conduzem correntes iguais e opostas, é aproximadamente igual a (jt/7)In(d /a) H/m, onde a é o raio de cada fio e dé o espaçamento entre os centros dos dois fios. Em que condição esta aproximação é válida? Respostas dos Problemas Impares Capítulo 1 11 (0/09, + 0364, + 0,4a, (b) 48,6 (0) =580,5a, + 3.193a, — 2.902a. 13 (078,-7,8,3,9) 15 (a)48a, + 36, + I8a, (b)=0,26a, + 0,39%, + 0,88a. (e) 0,59%a, + 0,20, — 0,78, (d) 100 = 162 32 + di + 1612 + 16 + 974 17 (a)(1)O planoz =, com x] < 2, [y]<2 (2)0 plano y = com |x| < 2, [2] < 2:(3) oplano x=0 com [y| <2, |] <2:(40 plano x = 7/2 com |y| < 2, j7] <2 (b) O plano 2: = y com [x] < 2, |y] < 2, ld<i (c) O plano y = 0 com |) <2, |] <2 19 (a)0,6a, + 0,84, (b) 53º (c) 26 LL (a)(>0,3,0,3,0,4)(b) 0,05 (0) 0,12 (d) 78º 1.13 (a) (0,93, 1,86, 2,79) (b) (9,07, —7.,86, 2,21) (e) (0,02,0,25, 0,26) 145 (4) (0,08,0,41,0,91) (b) (0,29,0,78, 0,56) (e) 30,3 (dd) 33,3 117 (a) (0,664, 0,379, 0,645) (b)(=0,550, 0,832, 0,077) (e) (0,168, 0,915, 0,367) 119 (a) (pda, (b) 0,505 + 0u O 4a, + 0,294, 121 (a)-6,660,— 27n, + 9a, (b) —0,59, + 0,214 — 0,784, (e) —0,90a, — D,44a, 1.23 (a) 6,28 (b) 20,7 (0) 22,4 (d) 3,21 1.25 (a) 1,100, + 2,21ag (b) 247 (0) 0,45, + 0,8%ag 1.27 1.29 (a) 2,91 (b) 12,61 (0) 17,49(d) 2,53 (a) 0,59, + 0,38a9 — 0,72ag (b) 0,80a, — 0.2200 — 0,55a5 (c) 0,660, + 0,39n9 — 0.64a4 Capítulo 2 21 23 25 27 29 214 213 215 217 219 221 23 225 27 229 (104,5, —10/,/6) 21,50, AN (a) 4,58a, — 0,15a, + 5,$la, (b) =6,89 ou =22,11 159,70, + 27,40, — 49,4a, (a) (+ 1) = 0,560 + 14 (= 17 + (e-3p|'ó (b) 1,69 ou 0,31 (a) =1,63 pi (b) =30,1 a, — 180,63a, — 150.53, (c) =183,12a, — 150,534; (dd) =237,1 (a) 82,1 pC (b) 4,24 em (a) 3,35 pC (b) 124 nO” (a) 57,54, — 28,84, Vím (b) 23a, — d6a, (a) 7,20,+ 14,4, kV/m (6) 4,90, + 9,88, + 4,98, kV im 1264, piNm (a) 841 kVim (b) =8,1 kVim —3,9a, — 12,4a, — 2,54, Vim (a) y2 = 42 = 4yy — 19 (b) 0,994, + 0,124, (a) 12,2 (b) —0,87a, — 0,50ay (e) y=(1/5) In cos 5x + 0,13