EXERCICIOS ELETROMAGNETISMO HAYT 8ªED, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe EXERCICIOS ELETROMAGNETISMO HAYT 8ªED e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! 44 Eletromagnetismo desse ponto na equação e avaliamos o valor de C. No caso em questão, 7 = C(−2), e C = −3,5, de forma que y = −3,5x. Cada linha de força está associada a um valor específico de C e as linhas radiais mostradas na Figura 2.9d são obtidas quando C = 0, 1, −1 e 1/C = 0. As equações de linhas de força podem também ser obtidas diretamente em coor- denadas cilíndricas ou esféricas. Um exemplo envolvendo coordenadas esféricas será examinado na Seção 4.7. EP2.7. Encontre a equação da linha de força que passa pelo ponto P(1, 4, −2) no campo Resp. x2 + 2y2 = 33; y2 = 15,7 + 0,4x − 0,08 ln(5x + 1) REFERÊNCIAS 1. Boast, W. B. Vector Fields. New York: Harper and Row, 1964. Esse livro contém numero- sos exemplos e esboços de campos. 2. Della Torre, E., and Longo, C. L. The Electromagnetic Field. Boston: Allyn and Bacon, 1969. Os autores introduzem tudo sobre teoria eletromagnética com um desenvolvimento cuidadoso e rigoroso baseado em uma única lei experimental – a lei de Coulomb. Isso começa no Capítulo 1. 3. Schelkunoff, S. A. Electromagnetic Fields. New York: Blaisdell Publishing Company, 1963. Muitos dos aspectos físicos dos campos são discutidos nesse texto sem usar mate- mática avançada. PROBLEMAS 2.1 Três cargas pontuais estão posicionadas no plano xy da seguinte forma: 5 nC em y = 5 cm, −10 nC em y = −5 cm e 15 nC em x = −5 cm. Encontre as coordenadas xy de uma quarta carga pontual de 20 nC que produz um campo elétrico nulo na origem. 2.2 Cargas pontuais de 1 nC e −2 nC estão localizadas no espaço livre em (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente. Determine o vetor força que age sobre cada carga. 2.3 Cargas pontuais de 50 nC cada estão posicionadas em A(1, 0, 0), B(−1, 0, 0), C(0, 1, 0) e D(0, −1, 0), no espaço livre. Encontre a força total na carga em A. 2.4 Oito cargas pontuais idênticas de Q C estão posicionadas nos vértices de um cubo cujo lado tem comprimento a, com uma carga na origem e com as três cargas mais próximas em (a, 0, 0), (0, a, 0) e (0, 0, a). Encontre uma expressão para o vetor da força total na carga em P(a, a, a), considerando o espaço livre. 2.5 Seja uma carga pontual Q1 = 25 nC que está posicionada em P1(4, −2, 7) e uma carga Q2 = 60 nC que está em P2(−3, 4, −2). (a) Se  = 0, encontre E em P3(1, 2, 3). (b) Em qual ponto no eixo y tem-se Ex = 0? Capítulo 2 • Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 45 2.6 Duas cargas pontuais, de valores iguais a q, estão posicionadas em z = ±d/2. (a) Encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo z; (b) encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x; (c) repita (a) e (b) se a carga localizada em z = − d/2 possuir valor − q em vez de +q. 2.7 Uma carga pontual de 2 μC está posicionada em A(4, 3, 5) no espaço livre. Encontre Eρ, Eφ e Ez em P(8, 12, 2). 2.8 Um dispositivo rudimentar para medir cargas é constituído de duas pequenas esferas isolantes de raio a, uma das quais mantém uma posição fixa. A outra pode se mover ao longo do eixo x e está sujeita a uma força restritiva kx, onde k é uma constante de elasticidade de uma mola. As esferas descarregadas estão centradas em x = 0 e x = d, e a última é fixa. Se às esferas são dadas cargas iguais e de sinais opostos QC, obtenha a expressão pela qual a carga Q possa ser encontrada como uma função de x. Determine a carga máxima que pode ser medida em termos de 0, k e d, e determine a separação entre as esferas. O que acontecerá se uma carga maior for aplicada? 2.9 Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em A(−1, 1, 3), no espaço livre. (a) Encontre o lugar geométrico de todos os pontos P(x, y, z) em que Ex = 500 V/m. (b) Calcule y1 se P(−2, y1, 3) faz parte desse lugar geométrico. 2.10 Uma carga de −1 nC está localizada na origem, no espaço livre. Qual carga deve ser inserida em (2, 0, 0) para fazer com que Ex seja zero em (3, 1, 1)? 2.11 Uma carga Q0 posicionada na origem, no espaço livre, produz um campo para o qual Ez = 1 kV/m no ponto P(−2, 1, −1). (a) Calcule Q0. Determine E em M(1, 6, 5) em (b) coordenadas cartesianas; (c) coordenadas cilíndricas; (d) coordenadas esféricas. 2.12 Elétrons movem-se aleatoriamente em uma certa região do espaço. Durante qualquer intervalo de 1 μs, a probabilidade de encontrar um elétron em uma sub-região de volume 10−15 m3 é 0,27. Qual densidade volumétrica de carga, apropriada para tais durações de tempo, deve estar associada a essa sub-região? 2.13 Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 0,2 μC/m3 está presente em uma casca esférica que se estende de r = 3 cm a r = 5 cm. Se ρv = 0 em qualquer outra região, calcule: (a) a carga total presente na casca, e (b) r1, se metade da carga total estiver localizada na região 3 cm < r < r1. 2.14 Um feixe de elétrons em determinado tubo de raios catódicos possui simetria cilíndrica, e a densidade de carga é representada por ρv = −0,1/ (ρ2 + 10−8) pC/m3 para 0 < ρ < 3 × 10−4 m e ρv = 0 para ρ > 3 × 10−4 m. (a) Determine a carga total por metro ao longo do comprimento do feixe. (b) Se a velocidade do elétron é de 5 × 107 m/s, e com um ampère definido como 1 C/s, encontre a corrente do feixe. 2.15 Um volume esférico que tem raio de 2 μm contém uma densidade volumétrica uniforme de carga 105 C/m3. (a) Qual é a carga total interna Capítulo 3 • Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 71 5. Thomas, G. B. Jr. and R. L. Finney. (Ver Referências sugeridas no Capítulo 1). O teorema da divergência é desenvolvido e ilustrado por vários diferentes pontos de vista nas páginas 976-980. PROBLEMAS 3.1 Suponha que o experimento de Faraday, com esferas concêntricas, seja realizado no espaço livre com a utilização de uma carga central na origem, Q1, e com hemisférios de raio a. Uma segunda carga Q2 (uma carga pontual) está localizada a uma distância R de Q1, com R >> a. (a) Qual é a força sobre a carga pontual antes dos hemisférios serem reunidos ao redor de Q1? (b) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos, mas antes de serem descarregados? (c) Qual é a força sobre a carga pontual após os hemisférios serem reunidos e descarregados? (d) Descreva, qualitativamente, o que acontece à medida que Q2 é movido em direção à montagem de esferas de tal modo que a condição R >> a não seja mais válida. 3.2 Um campo elétrico no espaço livre é dado pela seguinte expressão: E = (5z2/0) âz V/m. Determine a carga total contida no interior de um cubo centrado na origem e com lado de 4 m, no qual todos os lados são paralelos aos eixos coordenados (e, em consequência onde cada lado intercepta um eixo em ±2). 3.3 A superfície cilíndrica ρ = 8 cm contém a densidade superficial de cargas ρS = 5e−20|z| nC/m2. (a) Qual é o valor da carga total presente? (b) Qual é o fluxo elétrico que deixa a superfície ρ = 8 cm, 1 cm < z < 5 cm, 30° < φ < 90°? 3.4 Um campo elétrico no espaço livre é E = (5z3/0) âz V/m. Encontre a carga total contida no interior de uma esfera de raio igual a 3 m, centrada na origem. 3.5 Seja D = 4xyax + 2(x2 + z2)ay + 4yzaz C/m2. Calcule as integrais de superfície para encontrar a carga total dentro do paralelepípedo retangular 0 < x < 2, 0 < y < 3, 0 < z < 5 m. 3.6 No espaço livre, uma carga volumétrica de densidade constante ρν = ρ0 existe na região −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ e −d/2 < z < d/2. Encontre D e E em todos os pontos. 3.7 Uma densidade volumétrica de cargas está posicionada no espaço livre segundo ρν = 2e−1.000r nC/m3 para 0 < r < 1 mm, e ρν = 0 nos outros lugares. (a) Encontre a carga total dentro da superfície esférica r = 1 mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o calor de Dr na superfície r = 1 mm. 3.8 Use a lei de Gauss na forma integral para mostrar que um campo que varia com o inverso da distância em coordenadas esféricas, D = Aar /r, onde A é uma constante, necessita de todas as cascas esféricas de 1 m de espessura para conter 4πA coulombs de carga. Isso indica uma distribuição contínua de cargas? Se sim, encontre a variação da densidade de cargas com r. 3.9 Uma densidade volumétrica uniforme de cargas de 80 μC/m3 está presente na região 8 mm < r < 10 mm. Seja ρν = 0 para 0 < r < 8 mm. (a) Encontre 72 Eletromagnetismo a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm. (b) Encontre Dr em r = 10 mm. (c) Se não existe carga para r > 10 mm, encontre Dr em r = 20 mm. 3.10 Um cilindro dielétrico, infinitamente longo, de raio b, contém carga no interior de seu volume de densidade ρν = aρ2, onde a é uma constante. Encontre a intensidade de campo elétrico no interior e no exterior do cilindro. 3.11 Em coordenadas cilíndricas, seja ρν = 0 para ρ < 1 mm, ρν = 2 sen (2.000 πρ) nC/m3 para 1 mm < ρ < 1,5 mm, e ρν = 0 para ρ > 1,5 mm. Calcule D em todos os lugares. 3.12 O Sol irradia uma potência total de aproximadamente 3,86 × 1026 watts (W). Se imaginarmos a superfície do Sol demarcada com latitude e longitude e considerarmos uma irradiação uniforme, (a) que potência é irradiada pela região que se localiza entre a latitude 50° N (norte) e 60° N e longitude 12° O (oeste) e 27° O? (b) Qual é a densidade de potência em uma superfície esférica a 149.668.992 km (93.000.000 milhas) do Sol, em W/m2? 3.13 Superfícies esféricas em r = 2, 4 e 6 m carregam densidades superficiais uniformes de cargas de 20 nC/m2, −4 nC/m2 e ρS0, respectivamente. (a) Encontre D em r = 1, 3 e 5 m. (b) Determine ρS0 tal que D = 0 em r = 7m. 3.14 Um determinado diodo emissor de luz (LED) está centrado na origem com sua superfície no plano xy. Em grandes distâncias, o LED pode ser aproximado por um ponto, mas a geometria superficial brilhante produz um padrão de radiação de campo distante que segue uma lei cossenoidal: ou seja, a densidade de potência (fluxo) ótica em watts/m2 (W/m2) é dada, em coordenadas esféricas, por onde θ é o ângulo medido em relação à direção normal à superfície do LED (neste caso, o eixo z) e r é a distância radial da origem ao ponto no qual a potência é detectada. (a) Utilizando P0, encontre a potência total, em watts (W), emitida pelo LED no semiespaço superior; (b) Encontre o ângulo do cone θ1 no interior do qual metade da potência total é irradiada, ou seja, no interior da faixa 0 < θ < θ1; (c) Um detector ótico, de 1 mm2 de área de seção transversal, está posicionado em r = 1 m e em θ = 45° de tal forma que cobre o LED. Se 1 nW (nano watt) é medido pelo detector, qual é o valor de P0 (em uma estimativa muito boa)? 3.15 Uma densidade volumétrica de carga está posicionada da seguinte maneira: ρν = 0 para ρ < 1 mm e para ρ > 2 mm, ρν = 4ρ μC/m3 para 1 < ρ < 2 mm. (a) Calcule a carga total na região 0 < ρ < ρ1, 0 < z < L, onde 1 < ρ1 < 2 mm. (b) Use a lei de Gauss para determinar Dρ em ρ = ρ1. (c) Calcule Dρ em ρ = 0,8 mm, 1,6 mm e 2,4 mm. 3.16 Uma densidade de fluxo elétrico é dada por D = D0aρ, onde D0 é uma constante conhecida. (a) Que densidade de carga gera este campo? (b) Para o campo fornecido, qual carga total está contida no interior de um cilindro de raio a e altura b, onde o eixo do cilindro corresponde ao eixo z? Capítulo 3 • Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 73 3.17 Um cubo é definido por 1 < x, y, z < 1,2. Se D = 2x2yax + 3x2y2ay C/m2: (a) Aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo. (b) Calcule ∇ · D no centro do cubo. (c) Estime a carga total dentro do cubo usando a Equação (8). 3.18 Determine se a divergência dos seguintes campos vetoriais é positiva, negativa ou zero: (a) o fluxo de energia térmica em J/(m2s) em qualquer ponto em um cubo de gelo em processo de resfriamento; (b) a densidade de corrente em A/m2 em um barramento que conduz corrente contínua; (c) a taxa de fluxo de massa em kg/(m2s) abaixo da superfície da água em uma bacia, na qual a água está circulando no sentido horário quando vista por cima. 3.19 Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P(4, 1, 5) no espaço livre. Considere D = xax C/m2 e use os resultados da Seção 3.4 para estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica. 3.20 Uma distribuição radial de campo elétrico, no espaço livre, é dada, em coordenadas esféricas, por: onde ρ0, a e b são constantes. (a) Determine a densidade volumétrica de carga na região inteira (0 ≤ r ≤ ∞) mediante o uso apropriado de ∇ · D = ρv. (b) Utilizando os parâmetros fornecidos, encontre a carga total, Q, no interior de uma esfera de raio r, onde r > b. 3.21 Calcule ∇ · D no ponto especificado se (a) D = (1/z2)[10xyz ax + 5x2z ay + (2z3 − 5x2y) az] em P(−2, 3, 5); (b) D = 5z2 aρ + 10 ρz az em P(3, −45°, 5); (c) D = 2r sen θ sen φ ar + r cos θ sen φ aθ + r cos φ aφ em P(3, 45°, −45°). 3.22 (a) Um campo de densidade de fluxo é dado como F1 = 5az. Calcule o fluxo de F1 que sai de uma superfície hemisférica r = a, 0 < θ < π/2, 0 < φ < 2π. (b) Qual observação simples teria poupado bastante trabalho na parte a? (c) Agora suponha que o campo seja dado por F2 = 5zaz. Utilizando as integrais de superfície apropriadas, calcule o fluxo líquido de F2 que sai da superfície fechada que consiste do hemisfério da parte a e da sua base circular no plano xy. (d) Repita a parte c usando o teorema da divergência e uma integral volumétrica apropriada. 3.23 (a) Uma carga pontual Q localiza-se na origem. Mostre que div D é zero em todos os pontos exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica uniforme de carga ρν0 para 0 < r < a. Relacione ρv0 com Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Encontre div D em todos os pontos. 106 Eletromagnetismo 4.11 Seja uma densidade superficial de carga uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade linear de carga uniforme de 8 nC/m posicionada em x = 0, z = 4, e uma carga pontual de 2 μC presente em P(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5), calcule V em N(1, 2, 3). 4.12 Em coordenadas esféricas, E = 2r /(r2 + a2)2ar V/m. Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a referência (a) V = 0 no infinito; (b) V = 0 em r = 0; (c) V = 100 V em r = a. 4.13 Três cargas pontuais idênticas, de 4 pC cada, estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de 0,5 mm de lado, no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um ponto equidistante das outras duas e na linha que as une? 4.14 Dado o campo elétrico E = (y + 1)ax + (x − 1)ay + 2az, calcule a diferença de potencial entre os pontos (a) (2, −2, −1) e (0, 0, 0); (b) (3, 2, −1) e (−2, −3, 4). 4.15 Duas linhas uniformes de cargas de 8 nC/m cada estão posicionadas em x = 1, z = 2, e em x = −1, y = 2, no espaço livre. Se o potencial na origem vale 100 V, calcule V em P(4, 1, 3). 4.16 Sabe-se que a função potencial de uma distribuição de carga esfericamente simétrica, no espaço livre (com a < r < ∞), é dada por V(r) = V0a2/r2, onde V0 e a são constantes. (a) Determine a intensidade de campo elétrico. (b) Calcule a densidade volumétrica de carga. (c) Encontre a carga contida no interior do raio a. (d) Calcule a energia total armazenada na carga (ou, equivalentemente, em seu campo elétrico), na região a < r < ∞. 4.17 Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/m2 estão presentes em ρ = 2 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre. Considere V = 0 em ρ = 4 cm e calcule V em (a) ρ = 5 cm; (b) ρ = 7 cm. 4.18 Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas ρL = kx/ (x2 + a2) que se estende ao longo do eixo x, de x = a até +∞, onde a > 0. Considere o zero de referência no infinito. 4.19 A superfície anelar 1 cm < ρ < 3 cm, z = 0, está carregada com a densidade superficial não uniforme de carga ρs = 5ρ nC/m2. Calcule V em P(0, 0, 2 cm) se V = 0 no infinito. 4.20 Em determinado meio, o potencial elétrico é dado por onde ρ0 e a são constantes. (a) Determine a intensidade de campo elétrico, E. (b) Calcule a diferença de potencial entre os pontos x = d e x = 0. (c) Se a permissividade do meio é dada por (x) = 0 eax, encontre a densidade de fluxo elétrico, D, e a densidade volumétrica de carga, ρν, na região. (d) Calcule a energia armazenada na região (0 < x < d), (0 < y < 1), (0 < z < 1). Capítulo 4 • Energia e Potencial 107 4.21 Seja V = 2xy2z3 + 3 ln(x2 + 2y2 + 3z2) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em P(3, 2, −1) (a) V; (b) |V|; (c) E; (d) |E|; (e) aN; (f) D. 4.22 Uma linha de carga, de comprimento infinito, se estende ao longo do eixo z e contém uma densidade linear uniforme de carga de ρ C/m. Uma casca cilíndrica, perfeitamente condutora, cujo eixo coincide com o eixo z, envolve a linha de carga. O cilindro (de raio b) está no mesmo potencial da terra (ou do solo). De acordo com essas condições, a função potencial no interior do cilindro (ρ < b) é dada por onde k é uma constante. (a) Determine k, expressando-a pelos parâmetros dados ou conhecidos. (b) Encontre a intensidade de campo elétrico, E, para ρ < b. (c) Encontre a intensidade de campo elétrico, E, para ρ > b. (d) Calcule a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento, na direção z, no interior do volume definido por ρ > a, onde a < b. 4.23 Sabe-se que o potencial é dado como V = 80ρ0,6 V. Considerando condições de espaço livre, calcule. (a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em ρ = 0,5 m; (c) a carga total dentro da superfície fechada ρ = 0,6, 0 < z < 1. 4.24 Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde ρ0 é uma constante. (a) Determine a densidade de carga como uma função da posição. (b) Encontre o potencial absoluto como uma função da posição nas regiões r ≤ 10 e r ≥ 10. (c) Confira seu resultado da parte b por meio da utilização do gradiente. (d) Calcule a energia armazenada na carga mediante uma integral da forma da Equação (42). (e) Calcule a energia armazenada no campo por meio de uma integral da forma da Equação (44). 4.25 Dentro do cilindro ρ = 2, 0 < z < 1, o potencial é dado por V = 100 + 50ρ + 150ρ sen φ V. (a) Calcule V, E, D e ρv em P(1, 60°, 0,5) no espaço livre. (b) Quanta carga está presente dentro do cilindro? 4.26 Consideremos uma placa muito fina, quadrada e condutora imperfeita de 2 m de lado, posicionada no plano z = 0 com um vértice na origem de forma que ela permaneça totalmente dentro do primeiro quadrante. O potencial em qualquer ponto da placa é dado por V = −e−x sen y. (a) Um elétron entra na placa em x = 0, y = π/3 com velocidade inicial zero. Em qual direção está seu movimento inicial? (b) Por causa de colisões com as partículas da placa, o elétron atinge uma velocidade relativamente baixa e pequena aceleração (o trabalho que o campo exerce nele é convertido, em grande parte, em calor). 108 Eletromagnetismo O elétron se move, portanto, ao longo de uma linha de força. Onde ele deixa a placa e em que direção estará se movimentando nesse instante? 4.27 Duas cargas pontuais de 1 nC em (0, 0, 0,1) e −1 nC em (0, 0, −0,1) estão no espaço livre. (a) Calcule V em P(0,3, 0, 0,4). (b) Calcule |E| em P. (c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e calcule V em P. 4.28 Use a intensidade de campo elétrico de um dipolo [Seção 4.7, Equação (35)] para calcular a diferença no potencial entre pontos em θa e θb, cada ponto tendo as mesmas coordenadas r e φ. Sob quais condições a resposta concorda com a Equação (33), para o potencial em θa? 4.29 Um dipolo que tem um momento p = 3ax − 5ay + 10az nC · m está posicionado em Q(1, 2, −4) no espaço livre. Calcule V em P(2, 3, 4). 4.30 Um dipolo para o qual p = 100az C · m está posicionado na origem. Qual é a equação da superfície em que Ez = 0, mas E = 0? 4.31 Um campo de potencial no espaço livre é expresso por V = 20/(xyz) V. (a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo 1 < x, y, z < 2. (b) Qual valor seria obtido caso fosse considerada uma densidade uniforme de energia igual ao valor no centro do cubo? 4.32 (a) Utilizando a Equação (35), calcule a energia armazenada no campo do dipolo na região r > a. (b) Por que não podemos deixar a se aproximar de zero, no limite? 4.33 Uma esfera de cobre de raio 4 cm está carregada com uma carga total uniformemente distribuída de 5 μC, no espaço livre. (a) Use a lei de Gauss para achar D externo à esfera. (b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático. (c) Use WE = Q2/(2C) para calcular a capacitância da esfera isolada. 4.34 Uma esfera de raio a contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ0 C/m3. Encontre a energia total armazenada aplicando (a) a Equação (42); (b) a Equação (44). 4.35 Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão posicionadas, no espaço livre, nos vértices de um quadrado de 4 cm de lado. (a) Calcule a energia potencial total armazenada. (b) Uma quinta carga de 0,8 nC é instalada no centro do quadrado. Novamente, calcule a energia total armazenada. 4.36 Uma densidade superficial uniforme de carga, ρs, está distribuída em uma casca esférica de raio b, centrada na origem e imersa no espaço livre. (a) Determine o potencial absoluto em qualquer parte, com o zero de referência no infinito. (b) Encontre a energia armazenada na esfera por meio da consideração da densidade de carga e do potencial em uma versão bidimensional da Equação (42). (c) Calcule a energia armazenada no campo elétrico e mostre que os resultados das partes (b) e (c) são idênticos. 140 Eletromagnetismo de forma paralela diretamente sobre a primeira, em z = d. A região entre as placas está preenchida com material que possui condutividade σ(x) = σ0e−x/a, onde σ0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z = d. A placa em z = 0 está no potencial zero. Encontre, considerando os parâmetros dados: (a) a intensidade de campo elétrico E dentro do material; (b) a corrente total que circula entre as placas; (c) a resistência do material. 5.15 Seja V = 10(ρ + 1)z2 cos φ V no espaço livre. (a) Uma superfície equipotencial V = 20 V define uma superfície condutora. Encontre a equação da superfície do condutor. (b) Calcule ρ e E no ponto na superfície do condutor onde φ = 0,2π e z = 1,5. (c) Calcule |ρS| neste ponto. 5.16 Uma linha de transmissão coaxial tem condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores (a < ρ < b) existe um meio condutivo cuja condutividade é σ(ρ) = σ0 /ρ, onde σ0 é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial V0, e o condutor externo está aterrado. (a) Considerando uma corrente radial c.c. I por unidade de comprimento em z, determine o campo densidade de corrente radial J em A/m2. (b) Determine a intensidade de campo elétrico E considerando I e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos. (c) Tomando uma integral de linha apropriada de E, como a encontrada em (b), determine uma expressão que relaciona V0 e I. (d) Determine uma expressão para a condutância da linha por unidade de comprimento, G. 5.17 Dado o campo de potencial V = 100xz /(x2 + 4) V no espaço livre: (a) Calcule D na superfície z = 0. (b) Mostre que a superfície z = 0 é uma superfície equipotencial. (c) Considere que a superfície z = 0 seja um condutor e calcule a carga total naquela porção do condutor definida por 0 < x < 2, −3 < y < 0. 5.18 Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z = 0 e z = d. A placa superior (z = d) está no potencial V0, enquanto a placa inferior está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial, σ(ρ) = σ0ρ, onde σ0 é uma constante. (a) Encontre a intensidade de campo elétrico E independente de ρ, entre as placas. (b) Determine a densidade de corrente J entre as placas. (c) Determine a corrente total I entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas. 5.19 Seja V = 20x2yz − 10z2 V no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies equipotenciais nas quais V = 0 e 60 V. (b) Considere que essas são superfícies condutoras e calcule as densidades superficiais de carga naquele ponto na superfície V = 60 V onde x = 2 e z = 1. Sabe-se que 0 ≤ V ≤ 60 V é a região que contém o campo. (c) Forneça o vetor unitário neste ponto, que é normal à superfície condutora e aponta na direção da superfície V = 0. 5.20 Duas cargas pontuais de −100π μC estão posicionadas em (2, −1, 0) e (2, 1, 0). A superfície x = 0 é um plano condutor. (a) Determine a densidade superficial de carga na origem. (b) Determine ρS em P(0, h, 0). Capítulo 5 • Condutores e Dielétricos 141 5.21 Seja a superfície y = 0 um condutor perfeito no espaço livre. Duas linhas infinitas e uniformes de cargas de 30 nC/m cada estão posicionadas em x = 0, y = 1 e x = 0, y = 2. (a) Considere que V = 0 no plano y = 0, e calcule V em P(1, 2, 0). (b) Calcule E em P. 5.22 O segmento de reta x = 0, −1 ≤ y ≤ 1, z = 1, contém uma densidade linear de carga ρL = π|y| μC/m. Considere que z = 0 é um plano condutor, e determine a densidade superficial de carga em: (a) (0, 0, 0); (b) (0, 1, 0). 5.23 Um dipolo com p = 0,1az μC · m está posicionado em A(1, 0, 0) no espaço livre, e o plano x = 0 é perfeitamente condutor. (a) Calcule V em P(2, 0, 1). (b) Encontre a equação da superfície equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas. 5.24 A certa temperatura, as mobilidades dos elétrons e dos buracos no germânio intrínseco são dadas como 0,43 e 0,21 m2/V · s, respectivamente. Se as concentrações de elétrons e de buracos são ambas de 2,3 × 1019 m−3, calcule a condutividade a essa temperatura. 5.25 As concentrações de elétrons e buracos aumentam com a temperatura. Para silício puro, expressões adequadas são ρh = −ρe = 6.200T1,5e−7.000/T C/m3. A dependência funcional das mobilidades com a temperatura é dada por μh = 2,3 × 105T−2,7 m2/V · s e μe = 2,1 × 105T−2,5 m2/V · s, onde a temperatura T está em graus kelvin. Encontre σ em: (a) 0 °C; (b) 40 °C; (c) 80 °C. 5.26 Uma amostra de semicondutor tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2,0 mm, e um comprimento de 11,0 mm. O material tem densidades de elétrons e buracos de 1,8 × 1018 e 3,0 × 1015 m−3, respectivamente. Se μe = 0,082 m2/V · s e μh = 0,0021 m2/V · s, calcule a resistência oferecida entre as faces extremas da amostra. 5.27 Hidrogênio atômico contém 5,5 × 1025 átomos/m3 em certa temperatura e pressão. Quando um campo dielétrico de 4 kV/m é aplicado, cada dipolo formado pelo elétron e núcleo positivo possui um comprimento efetivo de 7,1 × 10−19 m. (a) Calcule P. (b) Calcule r. 5.28 Calcule a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico seja quatro vezes a polarização. 5.29 Um condutor coaxial tem raios a = 0,8 mm e b = 3 mm e um dielétrico de poliestireno para o qual r = 2,56. Se P = (2 /ρ)aρ nC/m2 no dielétrico, calcule: (a) D e E como funções de ρ; (b) Vab e χe. (c) Se existirem 4 × 1019 moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule p(ρ). 5.30 Considere um material composto feito de dois elementos, os quais possuem densidades N1 e N2 moléculas/m3, respectivamente. Os dois materiais estão uniformemente misturados, levando a uma densidade total de N = N1 + N2. A presença de um campo elétrico E induz momentos de dipolos moleculares p1 e p2 dentro dos elementos individualmente, estejam eles misturados ou não. Mostre que a constante dielétrica do material composto é dada por r = f r1 + (1 − f) r2, onde f é a fração numérica 142 Eletromagnetismo dos dipolos do elemento 1 no composto, e onde r1 e r2 são as constantes dielétricas que os elementos não misturados teriam se cada um tivesse densidade N. 5.31 A superfície x = 0 separa dois dielétricos perfeitos. Para x > 0, seja r = r1 = 3, enquanto r2 = 5 onde x < 0. Se E1 = 80ax − 60ay − 30az V/m, calcule: (a) EN1; (b) Etg1; (c) E1; (d) o ângulo θ1 entre E1 e uma normal à superfície; (e) DN2; (f) Dtg2; (g) D2; (h) P2; (i) o ângulo θ2 entre E2 e uma normal à superfície. 5.32 Duas cargas pontuais de 3 μC com sinais opostos são mantidas a uma distância de x metros por uma mola, que fornece uma força repulsiva dada por Fsp = 12(0,5 − x) N. Sem qualquer força de atração, a mola estaria totalmente estendida de 0,5 m. (a) Determine a separação entre as cargas. (b) Qual é o momento de dipolo? 5.33 Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas r1 = 2 e r2 = 8. A superfície plana entre eles é a superfície x − y + 2z = 5. A origem situa-se na região 1. Se E1 = 100ax + 200ay − 50az V/m, calcule E2. 5.34 A região 1 (x ≥ 0) é um dielétrico com r1 = 2, enquanto a região 2 (x < 0) tem r2 = 5. Seja E1 = 20ax −10ay + 50az V/m. (a) Calcule D2. (b) Calcule a densidade de energia em ambas as regiões. 5.35 Sejam as superfícies cilíndricas ρ = 4 cm e ρ = 9 cm, que envolvem dois dielétricos perfeitos em forma de cunha, r1 = 2 para 0 < φ < π/2 e r2 = 5 para π/2 < φ < 2π. Se E1 = (2.000 /ρ)aρ V/m, calcule: (a) E2; (b) a energia eletrostática total armazenada em 1 m de comprimento em cada região. Capítulo 6 • Capacitância 175 6.13 Considere a Figura 6.5. Seja b = 6 m, h = 15 m e o potencial do condutor equivalente a 250 V. Considere também  = 0. Calcule os valores para K1, ρL, a e C. 6.14 Dois condutores de cobre #16 (1,29 mm de diâmetro) são paralelos com uma separação d entre eixos. Determine d de forma que a capacitância entre fios no ar seja 30 pF/m. 6.15 Um condutor de 2 cm de diâmetro está suspenso no ar com seu eixo a 5 cm de um plano condutor. Seja o potencial do cilindro 100 V e o do plano 0 V. (a) Calcule a densidade superficial de carga no cilindro, no ponto mais próximo do plano. (b) Calcule a densidade superficial de carga no plano, no ponto mais próximo do cilindro. (c) Calcule a capacitância por unidade de comprimento. 6.16 Considere um arranjo de duas superfícies condutoras isoladas, de qualquer formato, que formam um capacitor. Use as definições de capacitância [Equação (2) neste capítulo] e resistência [Equação (14) no Capítulo 5] para mostrar que, quando a região entre os condutores é preenchida com material condutivo (condutividade σ) e com um dielétrico perfeito (permissividade ), a resistência e a capacitância resultantes da estrutura são relacionadas por meio da fórmula simples RC = /σ. Quais propriedades básicas relativas ao meio dielétrico e condutor devem ser verdadeiras para que esta fórmula permaneça válida? 6.17 Construa um mapa de quadrados curvilíneos para um capacitor coaxial de 3 cm de raio interno e 8 cm de raio externo. Essas dimensões estão adequadas para o desenho. (a) Use o seu esboço para calcular a capacitância por unidade de comprimento, considerando r = 1. (b) Calcule um valor exato para a capacitância por unidade de comprimento. 6.18 Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial de dois cilindros circulares paralelos, cada um com 2,5 cm de raio, separados de centro a centro por uma distância de 13 cm. Essas dimensões estão razoáveis para o desenho real se simetria for considerada. Para checar, calcule a capacitância por metro, tanto pelo seu desenho quanto pela fórmula exata. Considere r = 1. 6.19 Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares paralelos, um com 4 cm de raio dentro de outro com 8 cm de raio. Os dois eixos estão separados por 2,5 cm. Essas dimensões estão adequadas para o desenho. Para checar, calcule a capacitância por metro, tanto pelo seu desenho quanto pela fórmula exata: onde a e b são os raios dos condutores e D é a separação dos eixos. 6.20 Um cilindro condutor sólido de 4 cm de raio está centrado dentro de um cilindro condutor retangular de seção reta de 12 cm por 20 cm. (a) Faça um esboço em tamanho real de um quadrante dessa configuração e construa um mapa de quadrados curvilíneos para seu interior. (b) Considere  = 0 e estime C por unidade de comprimento. 176 Eletromagnetismo 6.21 O condutor interno da linha de transmissão mostrada na Figura 6.13 possui uma seção reta quadrada de 2a × 2a, enquanto o quadrado externo é 4a × 5a. Os eixos estão deslocados, conforme mostrado. (a) Construa um desenho de bom tamanho dessa linha de transmissão, digamos com a = 2,5 cm, e depois prepare um esboço de quadrados curvilíneos do campo eletrostático entre os condutores. (b) Use o mapa para calcular a capacitância por metro de comprimento se  = 1,60. (c) Como seu resultado para a parte (b) mudaria se a = 0,6 cm? 6.22 Duas placas condutoras, cada uma de 3 × 6 cm, e três chapas de dielétrico, cada uma de 1 × 3 × 6 cm, de constantes dielétricas 1, 2 e 3, são montadas em um capacitor de d = 3 cm. Determine os dois valores de capacitância obtidos pelos dois métodos possíveis de montagem do capacitor. 6.23 Uma linha de transmissão de dois fios consiste em dois cilindros paralelos, condutores perfeitos, cada um com um raio de 0,2 mm, separados de centro a centro de uma distância de 2 mm. O meio que envolve os fios tem r = 3 e σ = 1,5 mS/m. Uma bateria de 100 V é conectada entre os fios. (a) Calcule a magnitude da carga por metro de comprimento em cada fio; (b) Usando o resultado do Problema 6.16, encontre a corrente da bateria. 1,6 Figura 6.13 Ver Problema 6.21. Capítulo 6 • Capacitância 177 6.24 Um campo potencial, no espaço livre, é dado em coordenadas esféricas como onde ρ0 e a são constantes. (a) Use a equação de Poisson para encontrar a densidade volumétrica de carga em toda a parte. (b) Determine a carga total presente. 6.25 Seja V = 2xy2z3 e  = 0. Dado o ponto P(1, 2, −1), calcule: (a) V em P; (b) E em P; (c) ρv em P; (d) a equação da superfície equipotencial que passa por P; (e) a equação da linha de força que passa por P. ( f ) V satisfaz a equação de Laplace? 6.26 Dado o campo potencial, esfericamente simétrico, no espaço livre, V = V0e−r/a, calcule: (a) ρv em r = a; (b) o campo elétrico em r = a; (c) a carga total. 6.27 Seja V(x, y) = 4e2x + f (x) − 3y2 na região do espaço livre onde ρv = 0. É sabido que ambos Ex e V são zero na origem. Encontre f (x) e V(x, y). 6.28 Mostre que, em um meio homogêneo de condutividade σ, o campo potencial V satisfaz a equação de Laplace, se qualquer densidade volumétrica de carga presente não variar com o tempo. 6.29 Dado o campo potencial V = (Aρ4 + Bρ−4) sen 4φ: (a) Mostre que ∇2V = 0. (b) Selecione A e B de forma que V = 100 V e |E| = 500 V/m em P(ρ = 1, φ = 22,5°, z = 2). 6.30 Um capacitor de placas paralelas tem placas posicionadas em z = 0 e z = d. A região entre as placas é preenchida com um material que contém carga volumétrica de densidade uniforme ρ0 C/m3 e tem permissividade . Ambas as placas são mantidas no potencial de terra. (a) Determine o campo potencial entre as placas. (b) Determine a intensidade de campo elétrico E entre as placas. (c) Repita as partes (a) e (b) se o potencial da placa em z = d for aumentado para V0, com a placa em z = 0 aterrada. 6.31 Seja V = (cos 2φ) /ρ no espaço livre. (a) Calcule a densidade volumétrica de carga no ponto A(0,5, 60°, 1). (b) Encontre a densidade superficial de carga na superfície de um condutor que passa pelo ponto B(2, 30°, 1). 6.32 Uma carga volumétrica uniforme tem densidade constante ρv = ρ0 C/m3 e preenche a região r < a, na qual a permissividade  é considerada. Uma casca condutora esférica está posicionada em r = a e é mantida no potencial de terra. Calcule: (a) o potencial em todos os pontos; (b) a intensidade de campo elétrico E em todos os pontos. 6.33 As funções V1(ρ, φ, z) e V2(ρ, φ, z) satisfazem a equação de Laplace na região a < ρ < b, 0 ≤ φ < 2π, −L < z < L. Cada uma vale zero nas superfícies ρ = b para −L < z < L; z = −L para a < ρ < b e z = L para a < ρ < b. E cada uma vale 100 V na superfície ρ = a para −L < z < L. (a) Na região especificada, a equação de Laplace é satisfeita pelas funções Capítulo 7 • Campo Magnético Estacionário 223 Também é possível encontrar Az entre os condutores aplicando-se um processo informalmente denominado “irrotacional”. Isto é, conhecendo H ou B para o cabo coaxial, podemos selecionar o componente em φ de ∇ × A = B e integrar para obter Az. Tente fazê-lo, você vai gostar! EP7.10. A Equação (66) também é obviamente aplicável ao exterior de qual- quer condutor de seção reta circular pelo qual passe uma corrente I na direção az, no espaço livre. O zero de referência é arbitrariamente escolhido em ρ = b. Considere agora dois condutores, cada um com 1 cm de raio, paralelos ao eixo z e com seus eixos pertencentes ao plano x = 0. Um dos condutores, cujo eixo está em (0, 4 cm, z), possui uma corrente de 12 A na direção az. O outro eixo está em (0, −4 cm, z) e possui uma corrente de 12 A na direção −az. Cada corrente possui seu zero de referência para A posicionado a 4 cm de seu eixo. Calcule o campo A total em: (a) (0, 0, z); (b) (0, 8 cm, z); (c) (4 cm, 4 cm, z); (d) (2 cm, 4 cm, z). Resp. 0; 2,64 μWb/m; 1,93 μWb/m; 3,40 μWb/m REFERÊNCIAS 1. Boast, W. B. (Ver Referências do Capítulo 2.) O potencial escalar magnético é definido na p. 220, e seu uso no mapeamento de campos magnéticos é discutido na página 444. 2. Jordan, E. C., and K. G. Balmain. Electromagnetic Waves and Radiating Systems. 2. ed. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1968. O potencial vetor magnético é discutido nas páginas 90-96. 3. Paul, C. R., K. W. Whites, and S. Y. Nasar. Introduction to Electromagnetic Fields. 3. ed. New York: McGraw-Hill, 1998. O potencial vetor magnético é apresentado nas páginas 216-220. 4. Skilling, H. H. (Ver Referências do Capítulo 3). A “roda propulsora de navio a vapor” é introduzida nas páginas 23-25. PROBLEMAS 7.1 (a) Calcule H em componentes cartesianos em P(2, 3, 4) se existe um filamento de corrente no eixo z no qual circulam 8 mA na direção az. (b) Repita se o filamento está posicionado em x = −1, y = 2. (c) Calcule H se ambos os filamentos estão presentes. 7.2 Um condutor filamentar onde circula uma corrente I tem a forma de um triângulo equilátero com lados de comprimento . Calcule a intensidade de campo magnético no centro do triângulo. 7.3 Dois filamentos semi-infinitos no eixo z posicionam-se nas regiões −∞ < z < − a e a < z < ∞. Em cada um circula uma corrente I na direção az. (a) Calcule H como uma função de ρ e φ em z = 0. (b) Qual valor de a resultará em uma intensidade de H em ρ = 1, z = 0, igual à metade do valor obtido para um filamento infinito? 224 Eletromagnetismo 7.4 Duas espiras circulares estão centradas no eixo z, em z = ±h. Cada espira tem raio a e conduz uma corrente I na direção aφ. (a) Determine H no eixo z na faixa −h < z < h. Considere I = 1 A e faça o gráfico de |H| em função de z /a se (b) h = a /4; (c) h = a /2; (d) h = a. Qual valor de h fornece o campo mais uniforme? Esse sistema é denominado bobinas de Helmholtz (neste caso, as bobinas correspondem às duas espiras*), utilizadas para oferecer campos uniformes. 7.5 Os condutores filamentares paralelos mostrados na Figura 7.21 estão no espaço livre. Desenhe o gráfico de |H| versus y, −4 < y < 4, ao longo da linha x = 0, z = 2. 7.6 Um disco de raio a pertence ao plano xy, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade uniforme ρs está presente no disco, que gira em volta do eixo z em uma velocidade angular de rad/s. Calcule H em todos os pontos no eixo z. 7.7 Um condutor filamentar, que conduz uma corrente I na direção az, se estende ao longo de todo o eixo z negativo. Em z = 0, ele é conectado a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x > 0, y > 0, do plano xy. (a) Configure a lei de Biot-Savart e determine H em toda a parte do eixo z; (b) repita a parte (a), mas com a lâmina de cobre ocupando o plano xy inteiro (Sugestão: expresse aφ por ax, ay e o ângulo φ na integral). 7.8 Para o elemento de corrente de comprimento finito no eixo z, conforme mostrado na Figura 7.5, use a lei de Biot-Savart para derivar a Equação (9) da Seção 7.1. 7.9 Uma lâmina de corrente K = 8ax A/m flui na região −2 < y < 2 no plano z = 0. Calcule H em P(0, 0, 3). * N. de T.: Uma bobina cujo fio dá uma única volta é denominada, normalmente, “espira”. Figura 7.21 Ver Problema 7.5. Capítulo 7 • Campo Magnético Estacionário 225 7.10 Uma casca condutora esférica e oca de raio a tem conexões filamentares feitas no topo (r = a, θ = 0) e na base (r = a, θ = π). Uma corrente contínua I circula para baixo pelo filamento superior e pela superfície esférica, saindo pelo filamento inferior. Calcule H em coordenadas esféricas (a) dentro e (b) fora da esfera. 7.11 Por um filamento infinito no eixo z circulam 20 π mA na direção az. Três lâminas cilíndricas de corrente uniforme, na direção az, também estão presentes: 400 mA/m em ρ = 1 cm, −250 mA/m em ρ = 2 cm e −300 mA/m em ρ = 3 cm. Calcule Hφ em ρ = 0,5, 1,5, 2,5 e 3,5 cm. 7.12 Na Figura 7.22, as regiões 0 < z < 0,3 m e 0,7 < z < 1,0 m correspondem a placas condutoras nas quais circulam densidades uniformes de corrente de 10 A/m2 em direções opostas, conforme mostrado. Calcule H em z =: (a) −0,2; (b) 0,2; (c) 0,4; (d) 0,75; (e) 1,2 m. 7.13 Por uma casca cilíndrica oca de raio a, centrada no eixo z, circula uma densidade superficial uniforme de corrente de Ka aφ. (a) Mostre que H não é uma função de φ ou z. (b) Mostre que Hφ e Hρ valem zero em todos os pontos. (c) Mostre que Hz = 0 para ρ > a. (d) Mostre que Hz = Ka para ρ < a. (e) Por uma segunda casca, ρ = b, circula uma corrente Kb aφ. Calcule H em todos os pontos. 7.14 Um toroide que possui seção reta de formato retangular é definido pelas seguintes superfícies: os cilindros ρ = 2 e ρ = 3 cm, e os planos z = 1 e z = 2,5 cm. Pelo toroide passa uma densidade superficial de corrente de −50az A/m na superfície ρ = 3 cm. Calcule H no ponto P(ρ, φ, z): (a) PA(1,5 cm, 0, 2 cm); (b) PB(2,1 cm, 0, 2 cm); (c) PC(2,7 cm, π/2, 2 cm); (d) PD(3,5 cm, π/2, 2 cm). 7.15 Considere uma região com simetria cilíndrica na qual a condutividade é dada por σ = 1,5e−150ρ kS/m. Um campo elétrico de 30az V/m está presente. (a) Calcule J. (b) Calcule a corrente total que atravessa a Ar Ar Ar 1,0 0,7 0,3 Figura 7.22 Ver Problema 7.12. 228 Eletromagnetismo submetido a uma tensão de 1 mV entre suas extremidades, calcule: (a) H dentro do condutor; (b) o fluxo magnético total dentro do condutor. 7.31 A casca cilíndrica definida por 1 cm < ρ < 1,4 cm, consiste em um material condutor não magnético e conduz uma corrente total de 50 A na direção az. Calcule o fluxo magnético total que atravessa o plano φ = 0, 0 < z < 1: (a) 0 < ρ < 1,2 cm; (b) 1,0 cm < ρ < 1,4 cm; (c) 1,4 cm < ρ < 20 cm. 7.32 A região de espaço livre definida por 1 < z < 4 cm e 2 < ρ < 3 cm é um toroide de seção reta retangular. Seja a superfície em ρ = 3 cm pela qual circula uma corrente superficial K = 2az kA/m. (a) Especifique as densidades de corrente nas superfícies em ρ = 2 cm, z = 1 cm e z = 4 cm. (b) Calcule H em todos os pontos. (c) Calcule o fluxo total dentro do toroide. 7.33 Utilize uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é igual a zero. 7.34 Por um condutor filamentar no eixo z circula uma corrente de 16 A na direção az, por uma casca condutora em ρ = 6 circula uma corrente total de 12 A na direção −az, e por outra casca, em ρ = 10, circula uma corrente total de 4 A na direção −az. (a) calcule H para 0 < ρ < 12. (b) faça o gráfico de Hφ versus ρ. (c) calcule o fluxo total que atravessa a superfície 1 < ρ < 7, 0 < z < 1, em φ fixo. 7.35 Uma lâmina de corrente, K = 20 az A/m, está posicionada em ρ = 2, e uma segunda lâmina, K = −10az A/m, está posicionada em ρ = 4. (a) seja Vm = 0 em P(ρ = 3, φ = 0, z = 5) e posicione uma barreira em φ = π. Calcule Vm(ρ, φ, z) para −π < φ < π. (b) considere A = 0 em P, e calcule A(ρ, φ, z) para 2 < ρ < 4. 7.36 Seja A = (3y − z)ax + 2x z ay Wb/m em uma certa região do espaço livre. (a) Mostre que ∇ · A = 0. (b) Em P(2, −1, 3) calcule A, B, H e J. 7.37 Seja N = 1.000, I = 0,8 A, ρ0 = 2 cm e a = 0,8 cm para o toroide mostrado na Figura 7.12b. Calcule Vm no interior do toroide se Vm = 0 em ρ = 2,5 cm, φ = 0,3π. Mantenha φ dentro da faixa 0 < φ < 2π. 7.38 Uma espira quadrada, filamentar e diferencial, de lado dL, tem centro na origem no plano z = 0 e está imersa no espaço livre. A corrente I flui, de forma geral, na direção aφ. (a) Considerando r >> dL, e seguindo um método similar àquele na Seção 4.7, mostre que (b) Mostre que A espira quadrada é uma forma de dipolo magnético. Capítulo 7 • Campo Magnético Estacionário 229 7.39 Lâminas planas de corrente K = 30az A/m e −30az A/m estão posicionadas no espaço livre em x = 0,2 e x = −0,2, respectivamente. Para a região −0,2 < x < 0,2: (a) calcule H; (b) obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em P(0,1, 0,2, 0,3); (c) calcule B; (d) obtenha uma expressão para A se A = 0 em P. 7.40 Mostre que a integral de linha do potencial vetor A ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou 7.41 Considere A = 50ρ2az Wb/m em certa região do espaço livre. (a) Calcule H e B. (b) Calcule J. (c) Use J para encontrar a corrente total que atravessa a superfície 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π, z = 0. (d) Use o valor de Hφ em ρ = 1 para calcular para ρ = 1, z = 0. 7.42 Mostre que 7.43 Calcule o potencial vetor magnético dentro do condutor externo para a linha coaxial cujo potencial vetor magnético é mostrado na Figura 7.20, se o raio externo do condutor externo for 7a. Selecione o zero de referência adequado e esboce esses resultados na figura. 7.44 Expandindo a Equação (58) da Seção 7.7 em coordenadas cartesianas, mostre que a Equação (59) está correta. 270 Eletromagnetismo EP8.12. Calcule a indutância própria de: (a) 3,5 m de cabo coaxial com a = 0,8 mm e b = 4 mm, preenchido com material para o qual μr = 50; (b) uma bobina toroidal de 500 espiras, enrolada em uma fibra de vidro que possui seção reta quadrada de 2,5 × 2,5 cm e um raio interno de 2 cm; (c) um solenoide que possui 500 espiras em torno de um núcleo cilíndrico de 2 cm de raio no qual μr = 50 para 0 < ρ < 0,5 cm e μr = 1 para 0,5 < ρ < 2 cm. O comprimento do solenoide é de 50 cm. Resp. 56,3 μH; 1,01 mH, 3,2 mH EP8.13. Um solenoide tem 50 cm de comprimento, 2 cm de diâmetro e con- tém 1.500 espiras. O núcleo cilíndrico tem um diâmetro de 2 cm e uma per- meabilidade relativa de 75. Essa bobina é coaxial com um segundo solenoide, também de 50 cm de comprimento, mas com um diâmetro de 3 cm e 1.200 espiras. Calcule: (a) L para o solenoide interno; (b) L para o solenoide externo; (c) M entre os dois solenoides. Resp. 133,2 mH; 192 mH; 106,6 mH REFERÊNCIAS 1. Krauss, J. D., and D. A. Fleish. (Ver Referências do Capítulo 3). Exemplos de cálculo de indutância são dados nas páginas 99-108. 2. Matsch, L. W. (Ver Referências do Capítulo 6). O Capítulo 3 é dedicado a circuitos mag- néticos e materiais ferromagnéticos. 3. Paul, C. R., K. W. Whites, and S. Y. Nasar. (Ver Referências do Capítulo 7). Circuitos mag- néticos, incluindo aqueles com ímãs permanentes, são discutidos nas páginas 263-270. PROBLEMAS 8.1 Uma carga pontual Q = −0,3 μC e m = 3 × 10−16 kg move-se em uma região na qual existe um campo E = 30az V/m. Use a Equação (1) e as leis de Newton para desenvolver as equações diferenciais apropriadas e resolvê-las, sujeitas às condições iniciais em t = 0, v = 3 × 105ax m/s na origem. Em t = 3 μs, calcule: (a) a posição P(x, y, z) da carga; (b) a velocidade v; (c) a energia cinética da carga. 8.2 Compare as intensidades das forças elétrica e magnética exercidas sobre um elétron que atinge uma velocidade de 107 m/s. Considere uma intensidade de campo elétrico de 105 V/m e uma densidade de fluxo magnético associada à densidade do campo magnético da Terra em latitudes temperadas, equivalente a 0,5 gauss (G). 8.3 Uma carga pontual, para a qual Q = 2 × 10−16 C e m = 5 × 10−26 kg, está se movendo por uma região na qual existem os campos combinados E = 100ax − 200ay + 300az V/m e B = −3ax + 2ay − az mT. Se a velocidade Capítulo 8 • Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 273 de corrente ligada de 12az A/m e −9az A/m em ρ = 0,3 e 0,4 m, respectivamente. 8.21 Encontre a intensidade de magnetização em um material para o qual: (a) a densidade de fluxo magnético é 0,02 Wb/m2; (b) a intensidade de campo magnético é 1.200 A/m e a permeabilidade relativa é 1,005; (c) existem 7,2 × 1028 átomos por metro cúbico, cada um possuindo um momento de dipolo de 4 × 10−30 A·m2 na mesma direção, e a susceptibilidade magnética vale 0,003. 8.22 Sob certas condições, é possível aproximar os efeitos de materiais ferromagnéticos assumindo linearidade na relação entre B e H. Seja μr = 1.000 para certo material do qual um fio cilíndrico de raio 1 mm é feito. Se I = 1 A e a distribuição de corrente é uniforme, calcule (a) B; (b) H, (c) M, (d) J e (e) JB dentro do fio. 8.23 Calcule valores para Hφ, Bφ e Mφ em ρ = c para um cabo coaxial com a = 2,5 mm e b = 6 mm se pelo mesmo circula uma corrente I = 12 A no condutor central, e μ = 3 μH/m para 2,5 mm < ρ < 3,5 mm, μ = 5 μH/m para 3,5 mm < ρ < 4,5 mm, e μ = 10 μH/m para 4,5 mm < ρ < 6 mm. Use c =: (a) 3 mm; (b) 4 mm; (c) 5 mm. 8.24 Duas lâminas de corrente, K0ay A/m em z = 0 e −K0ay A/m em z = d, estão separadas por um material não homogêneo, para o qual μr = az + 1, onde a é uma constante. (a) Determine expressões para H e B no material. (b) Encontre o fluxo total que atravessa uma área de 1 m2 no plano yz. 8.25 Por um filamento condutor em z = 0 circula uma corrente de 12 A na direção az. Seja μr = 1 para ρ < 1 cm, μr = 6 para 1 < ρ < 2 cm e μr = 1 para ρ > 2 cm. Calcule: (a) H em todos os pontos; (b) B em todos os pontos. 8.26 Um solenoide longo tem raio de 3 cm, 5.000 espiras/m e conduz uma corrente I = 0,25 A. A região 0 < ρ < a no interior do solenoide tem μr = 5, enquanto μr = 1 para a < ρ < 3 cm. Determine a de maneira que: 0,6 Figura 8.15 Ver Problema 8.18. 27 4 Eletromagnetismo (a) um fluxo total de lO µ,Wb esteja presente; (b) o fluxo seja igualmente djvidido entre as regiões O < p < a e a < p < 3 cm. 8.27 i Seja JJ.,r1 = 2 na região 1, definida por 2x + 3y - 4z > l , enquanto µ,-2 = 5 na região 2, onde 2x + 3y - 4z < 1. Na região l, H 1 = 50ax - 30ay + 20az A/m. Calcule: (a) HNI ; (b) H, 1 ; (e) H,2; (d) H,v2; (e) 0 1 , o ângulo entre H 1 e a,v21; (j) 02, o ângulo entre H2 e ami- 8.28 i Para valores de B abaixo do joelho da curva de magnetização para o aço-silício, aproxime a curva por uma linha reta comµ= 5 mH/m. O núcleo mostrado na Figura 8.16 possui áreas de l ,6 cm2 e comprimentos de l O cm em cada perna externa, e uma área de 2,5 cm2 e comprimento de 3 cm na perna central. Uma bobina de 1.200 espiras, que conduz 12 mA, é enrolada na perna central. Calcule B na: (a) perna central; (b) perna central se um gap de ar de 0,3 mm está presente nessa perna. 8.29 U No Problema 8.28, a aproximação linear sugerida no enunciado do problema leva a uma densidade de fluxo de 0,666 T na perna central. Utilizando esse valor de B e a curva de magnetização para o aço-silício, qual corrente é necessária na bobina de 1.200 espiras? 8.30 i Um núcleo retangular tem permeabilidade µ,r >> 1, uma seção reta quadrada de dimensões a x a e possui dimensões equivalentes a b e d ao longo da linha central, ao redor de seu perímetro. Bobinas 1 e 2, com N 1 e N2 espiras, estão enroladas no núcleo. Considere um plano selecionado que contém a seção reta do núcleo, que coincide com o plano xy, tal que a superfície seja definida por O < x < a, O < y < a. (a) Com uma corrente / 1 na bobina 1, use a lei circuital de Ampere para encontrar a densidade de fluxo magnético como uma função da posição sobre a seção reta do núcleo. (b) integre o resultado da parte (a) para determinar o fluxo magnético total no interior do núcleo. (e) Determine a indutância própria da bobina l . (e/) Determine a indutância mútua entre as bobinas l e 2. 8.311 Um toroide é construído de um material magnético e possui área da seção reta de 2,5 cm2 e um comprimento efetivo de 8 cm. Existe também um pequeno gap de ar de 0,25 mm de comprimento e uma área efetiva de 2,8 cm2 • Urna fmm de 200 Ae é aplicada ao circuito magnético. Calcule o Figura 8.16 Ver Problema 8.28. Capítulo 8 • Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 275 fluxo total no toroide se o material magnético: (a) tem uma permeabilidade infinita; (b) é considerada linear, com μr = 1.000; (c) é de aço-silício. 8.32 (a) Encontre uma expressão para a energia magnética armazenada, por unidade de comprimento, em uma linha de transmissão coaxial, que consiste em luvas condutoras de espessura desprezível, de raios a e b. Um meio de permeabilidade relativa μr preenche a região entre os condutores. Suponha que uma corrente I flua em ambos os condutores, na mesma direção e em sentidos opostos. (b) Obtenha a indutância, L, por unidade de comprimento da linha, igualando a energia magnética a (1/2)LI2. 8.33 Um núcleo toroidal tem uma seção reta quadrada, 2,5 cm < ρ < 3,5 cm, −0,5 cm < z < 0,5 cm. A metade superior do toroide, 0 < z < 0,5 cm, é construída a partir de um material linear para o qual μr = 10, enquanto a metade inferior, −0,5 cm < z < 0, possui μr = 20. Uma fmm de 150 Ae estabelece um fluxo na direção aφ. Para z > 0, calcule: (a) Hφ(ρ); (b) Bφ(ρ); (c) z>0. (d) Repita para z < 0. (e) Calcule total. 8.34 Determine a energia armazenada por unidade de comprimento no campo magnético interno de um fio retilíneo infinitamente longo de raio a, pelo qual circula uma corrente I. 8.35 Os cones θ = 21° e θ = 159° são superfícies condutoras e nelas circulam correntes totais de 40 A, conforme mostrado na Figura 8.17. As correntes retornam por uma superfície esférica condutora de raio 0,25 m. (a) Calcule H na região 0 < r < 0,25, 21° < θ < 159°, 0 < φ < 2π. (b) Quanta energia está armazenada nessa região? 8.36 As dimensões do condutor externo de um cabo coaxial são b e c, onde c > b. Considerando μ = μ0, calcule a energia magnética armazenada por unidade de comprimento na região b < ρ < c para uma corrente total I, uniformemente distribuída, que circula em sentidos opostos nos condutores interno e externo. 0,25 Figura 8.17 Ver Problema 8.35. 298 Eletromagnetismo extremidade à esquerda, com a extremidade à direita aberta; (b) um resistor de 0,3  estiver presente em cada extremidade. 9.8 Um filamento de condutor perfeito tem o formato de um anel circular de raio a. Em um ponto, uma resistência R é inserida no circuito, e em outro, uma bateria de tensão V0. Considere que a corrente no anel produza um campo magnético desprezível. (a) Aplique a lei de Faraday vista na Equação (4), avaliando cada lado da equação de forma cuidadosa e independente, para mostrar a igualdade dos resultados; (b) repita a parte a, supondo que: a bateria é removida, o anel é novamente fechado e um campo B crescente de forma linear é aplicado em uma direção normal à superfície do anel. 9.9 Uma espira filamentar quadrada de fio possui 25 cm de lado e tem uma resistência de 125  por metro de comprimento. A espira pertence ao plano z = 0 com seus vértices em (0, 0, 0), (0,25, 0, 0), (0,25, 0,25, 0) e (0, 0,25, 0) em t = 0. A espira está se movendo com uma velocidade vy = 50 m/s no campo Bz = 8 cos (1,5 × 108t – 0,5x) μT. Encontre uma função do tempo que expresse a perda ôhmica (potência dissipada) que é entregue à espira. 9.10 (a) Mostre que a razão entre as amplitudes da densidade de corrente de condução e da densidade de corrente de deslocamento é σ/ω para o campo aplicado E = Em cos ωt. Considere μ = μ0. (b) Qual é a razão entre as amplitudes se o campo aplicado for E = Em e–t/τ, onde τ é real? Figura 9.5 Ver Problema 9.5. 0,2 Figura 9.6 Ver Problema 9.7. Capítulo 9 • Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell 299 9.11 Sejam as dimensões internas de um capacitor coaxial a = 1,2 cm, b = 4 cm, e l = 40 cm. O material homogêneo dentro do capacitor possui os parâmetros  = 10–11 F/m, μ = 10–5 H/m e σ = 10–5 S/m. Se a intensidade de campo elétrico é E = (106/ρ) cos 105t aρ V/m, calcule: (a) J; (b) a corrente de condução total Ic pelo capacitor; (c) a corrente de deslocamento total Id pelo capacitor; (d) a razão entre as amplitudes de Id e de Ic, o fator de qualidade do capacitor. 9.12 Determine a densidade de corrente de deslocamento associada com o campo magnético H = A1 sen (4x) cos (ωt – βz)ax + A2 cos (4x) sen (ωt – βz)az. Considere J = 0. 9.13 Considere a região definida por |x|, |y| e |z| < 1. Seja r = 5, μr = 4 e σ = 0. Se Jd = 20 cos (1,5 × 108t – bx)ay μA/m2: (a) Calcule D e E; (b) use a forma pontual da lei de Faraday e uma integração com relação ao tempo para encontrar B e H; (c) use ∇ × H = Jd + J para encontrar Jd. (d) Qual é o valor numérico de b? 9.14 Uma fonte de tensão V0 sen ωt é conectada entre duas esferas condutoras concêntricas, r = a e r = b, b > a, e a região entre essas esferas é um material para o qual  = r 0, μ = μ0 e = 0. Calcule a corrente de deslocamento total pelo dielétrico e compare-a com a corrente da fonte determinada pela capacitância (Seção 6.3) e pelos métodos de análise de circuitos. 9.15 Seja μ = 3 × 10–5 H/m,  = 1,2 × 10–10 F/m e σ = 0 em todos os pontos. Se H = 2 cos (1010t – βx)az A/m, use as equações de Maxwell para obter expressões para B, D, E e β. 9.16 Deduza a equação da continuidade a partir das equações de Maxwell. 9.17 A intensidade de campo elétrico na região 0 < x < 5, 0 < y < π/12, 0 < z < 0,06 m, no espaço livre, é dada por E = C sen 12y sen az cos 2 × 1010t ax V/m. Começando pela relação ∇ × E, use as equações de Maxwell para encontrar um valor numérico para a, sabendo-se que a é maior que zero. 9.18 A linha de transmissão de placas paralelas mostrada na Figura 9.7 possui dimensões b = 4 cm e d = 8 mm, enquanto o meio entre as placas é caracterizado por μr = 1, r = 20 e σ = 0. Despreze os campos fora do dielétrico. Dado o campo H = 5 cos (109t – βz)ay A/m, use as equações de Figura 9.7 Ver Problema 9.18. 300 Eletromagnetismo Maxwell para auxiliar a encontrar: (a) β, se β > 0; (b) a densidade de corrente de deslocamento em z = 0; (c) a corrente de deslocamento total que atravessa a superfície x = 0,5d, 0 < y < b, 0 < z < 0,1 m na direção e sentido ax. 9.19 Na Seção 9.1, a lei de Faraday foi utilizada para mostrar que o campo E = kB0ektρaφ resulta do campo magnético variável B = B0ektaz. (a) Mostre que esses campos não satisfazem a outra equação de Maxwell para o rotacional. (b) Se considerarmos B0 = 1 T e k = 106 s–1, estabelecemos uma densidade de fluxo magnético consideravelmente alta em 1 μs. Use a equação para o ∇ × H para mostrar que a taxa na qual Bz deveria variar com ρ (mas não varia) é de somente 5 × 10–6 T (aproximadamente) por metro no espaço livre em t = 0. 9.20 Considere as equações de Maxwell na forma pontual, suponha que todos os campos variam da forma est e escreva as equações sem envolver explicitamente o tempo. 9.21 (a) Mostre que sob condições de campo estático a Equação (55) se reduz à lei circuital de Ampère. (b) Verifique que a Equação (51) se torna a lei de Faraday quando tomamos seu rotacional. 9.22 Em um meio desprovido de fontes, onde J = 0 e ρv = 0, considere um sistema de coordenadas cartesianas no qual E e H são funções somente de z e t. O meio tem permissividade  e permeabilidade μ. (a) Se E = Exax e H = Hyay, comece pelas equações de Maxwell e determine a equação diferencial parcial de segunda ordem que Ex deve satisfazer. (b) Mostre que Ex = E0 cos (ωt – βz) é uma solução daquela equação para um valor particular de β. (c) Calcule β como função dos parâmetros dados. 9.23 Na região 1, z < 0, 1 = 2 × 10–11 F/m, μ1 = 2 × 10–6 H/m e σ1 = 4 × 10–3 S/m. Na região 2, z > 0, 2 = 1/2, μ2 = 2μ1 e σ2 = σ1/4. É sabido que E1 = (30ax + 20ay + 10az) cos 109t V/m em P1(0, 0, 0–). (a) Encontre EN1, Et1, DN1 e Dt1 em P1. (b) Calcule JN1 e Jt1 em P1. (c) Calcule Et2, Dt2 e Jt2 em P2(0, 0, 0+). (d) (Mais difícil) Use a equação da continuidade para ajudar a mostrar que JN1 – JN2 = ∂DN2/∂t – ∂DN1/∂t, e então determine DN2, JN2 e EN2. 9.24 Um potencial vetor é dado como A = A0 cos (ωt – kz)ay. (a) Considerando o maior número possível de componentes como iguais a zero, encontre H, E e V. (b) Especifique k expressando-o por A0, ω e as constantes do meio sem perdas,  e μ. 9.25 Em uma região onde μr = r = 1 e σ = 0, os potenciais retardados são dados por V = x(z – ct) V e , onde c = 1/[(μ00)1/2]. (a) Mostre que . (b) Calcule B, H, E e D. (c) Mostre que esses resultados satisfazem as equações de Maxwell se J e ρv são zero. 9.26 Escreva as equações de Maxwell, na forma pontual, considerando E e H para um meio sem fontes, onde J e ρv são iguais a zero. Substitua  por μ, μ por , E por H e H por –E, e mostre que as equações não são alteradas. Esta é uma expressão mais geral do princípio da dualidade em teoria de circuito. Capítulo 10 • Linhas de Transmissão 361 complexa RL + jXL. No terminal de entrada da linha, uma fonte de tensão contínua, V0, está conectada. Considerando que todos os parâmetros são conhecidos para a frequência zero, encontre a potência de regime permanente dissipada pela carga se (a) R = G = 0; (b) R = 0, G = 0; (c) R = 0, G = 0; (d) R = 0, G = 0. 10.12 Em um circuito no qual uma fonte de tensão senoidal alimenta uma impedância interna em série com uma impedância de carga, sabe-se que a máxima potência transferida para a carga ocorre quando as impedâncias da fonte e da carga formam um par conjugado complexo. Suponha que a fonte (com sua impedância interna) alimente agora uma impedância de carga complexa ZL = RL + jXL que foi deslocada para o final de uma linha de transmissão, sem perdas, de comprimento  e impedância característica Z0. Se a impedância da fonte é Zg = Rg + jXg, escreva uma equação que possa ser resolvida para se encontrar o comprimento de linha, , necessário para que a carga deslocada receba a máxima potência. 10.13 A onda de tensão incidente em certa linha de transmissão sem perdas para a qual Z0 = 50  e vp = 2 × 108 m/s é V+(z, t) = 200 cos (ωt – πz) V. (a) Calcule ω. (b) Calcule I+(z, t). A seção de linha para a qual z > 0 é substituída por uma carga ZL = 50 + j30  em z = 0. Calcule: (c) L; (d) Vs–(z); (e) Vs em z = – 2,2 m. 10.14 Uma linha de transmissão sem perdas, com impedância característica Z0 = 50 , é alimentada por uma fonte no terminal de entrada que consiste na combinação em série de um gerador senoidal de 10 V e um resistor de 50 . A linha tem um comprimento igual a um quarto do comprimento de onda. Na outra extremidade da linha está conectada uma impedância de carga, ZL = 50 – j50 . (a) Determine a impedância de entrada da linha vista pela combinação fonte de tensão-resistor. (b) Calcule a potência dissipada pela carga. (c) Avalie a amplitude da tensão na carga. Sem perdas entrada saída Figura 10.29 Ver Problema 10.15. 0,5 2,6 Sem perdas Figura 10.30 Ver Problema 10.17. 362 Eletromagnetismo 10.15 Para a linha de transmissão representada na Figura 10.29, encontre Vs, saída se: (a) f = 60 Hz; (b) f = 500 kHz. 10.16 Uma linha de transmissão sem perdas de 100  está conectada a uma segunda linha de impedância igual a 40 , cujo comprimento é λ/4. A outra extremidade da linha curta é terminada em um resistor de 25 . Uma onda senoidal (de frequência f), com potência média de 50 W, incide da linha de 100 . (a) Determine a impedância de entrada para a linha de um quarto de onda. (b) Determine a potência de regime permanente que é dissipada pelo resistor. (c) Suponha que a frequência de operação seja diminuída para a metade de seu valor original. Determine a nova impedância de entrada, Z ′entrada, para este caso. (d) Para a nova frequência, calcule a potência, em W, que retorna ao terminal de entrada da linha após a reflexão. 10.17 Determine a potência média absorvida por cada resistor da Figura 10.30. 10.18 A linha mostrada na Figura 10.31 é sem perdas. Calcule s em ambas as seções 1 e 2. 10.19 Uma linha de transmissão sem perdas de 50 cm de comprimento opera em uma frequência de 100 MHz. Os parâmetros da linha são L = 0,2 μH/m e C = 80 pF/m. A linha é terminada em um curto circuito em z = 0, e existe uma carga ZL = 50 + j20  ligada à linha na posição z = –20 cm. Qual é a potência média entregue a ZL se a tensão de entrada vale 100 0o V? 10.20 (a) Determine s na linha de transmissão da Figura 10.32. Note que o dielétrico é o ar. (b) Calcule a impedância de entrada. (c) Se ωL = 10 , calcule Is. (d) Que valor de L produzirá um valor máximo para |Is| em ω = 1 Grad/s? Para esse valor de L, calcule a potência média: (e) fornecida pela fonte; (f) entregue a ZL = 40 + j30 . 10.21 Uma linha sem perdas, que tem o ar como dielétrico, possui uma impedância característica de 400 . A linha está operando a uma frequência de 200 MHz e Zentrada = 200 – j200 . Utilize métodos analíticos ou a carta de Smith (ou 0,2 Figura 10.31 Ver Problema 10.18. L 2,7 Ar, sem perdas Figura 10.32 Ver Problema 10.20. Capítulo 10 • Linhas de Transmissão 363 ambos) para encontrar: (a) s; (b) ZL, se a linha tem 1 m de comprimento; (c) a distância, em relação à carga, do máximo de tensão mais próximo. 10.22 Uma linha sem perdas de 75  é terminada em uma impedância de carga desconhecida. Um VSWR de 10 é medido e o primeiro mínimo de tensão ocorre em 0,15 comprimento de onda na frente da carga. Usando a carta de Smith, determine: (a) a impedância da carga; (b) a intensidade e fase do coeficiente de reflexão; (c) o menor comprimento de linha necessário para obter uma impedância de carga inteiramente resistiva. 10.23 A carga normalizada em uma linha de transmissão sem perdas vale 2 + j1. Considerando λ = 20 m, faça uso da carta de Smith para encontrar: (a) a distância mais curta em relação à carga de um ponto no qual zentrada = rentrada + j0, onde rentrada > 0; (b) zentrada neste ponto. (c) A linha é seccionada neste ponto e a porção que contém zL é jogada fora. Um resistor r = rentrada da parte (a) é conectado à linha. Qual é o valor de s no restante da linha? (d) Qual é a distância mais curta, em relação a esse resistor, de um ponto no qual zentrada = 2 +j1? 10.24 Com a ajuda da carta de Smith, faça o gráfico da curva de |Zentrada| versus l para a linha de transmissão mostrada na Figura 10.33. Cubra a faixa 0 < l/λ < 0,25. 10.25 Uma linha de transmissão de 300  está curto-circuitada em z = 0. Um máximo de tensão, |V|max = 10 V, é encontrado em z = –25 cm, e a tensão mínima, |V|min = 0, está em z = –50 cm. Utilize a carta de Smith para encontrar ZL (com o curto-circuito substituído pela carga) se as leituras de tensão são: (a) |V|max = 12 V em z = –5 cm e |V|min = 5 V; (b) |V|max = 17 V em z = –20 cm e |V|min = 0 V. 10.26 Uma linha sem perdas de 50  tem comprimento de 1,1 λ. Ela é terminada por uma impedância de carga desconhecida. O terminal de entrada da linha de 50  é conectado à extremidade da carga de uma linha sem perdas de 75 . Um VSWR de 4 é medido na linha de 75 , na qual o primeiro máximo de tensão ocorre a uma distância de 0,2 λ na frente da junção entre as duas linhas. Use a carta de Smith para encontrar a impedância de carga desconhecida. 10.27 A admitância característica (Y0 = 1/Z0) de uma linha de transmissão sem perdas é de 20 mS. A linha é terminada em uma carga YL = 40 – j20 mS. Utilize a carta de Smith para encontrar: (a) s; (b) Yentrada se l = 0,15λ; (c) a distância em comprimentos de onda de YL até o máximo de tensão mais próximo. Sem perdasSem perdas Figura 10.33 Ver Problema 10.24. 366 Eletromagnetismo 10.38 Repita o Problema 10.37 com Z0 = 50  e RL = Rg = 25 . Realize a análise para o período de tempo 0 < t < 8L/v. 10.39 Na linha de transmissão da Figura 10.20, Z0 = 50  e RL = Rg = 25 . A chave é fechada em t = 0 e é aberta novamente no tempo t = l/4ν, criando assim um pulso retangular de tensão na linha. Construa um diagrama de reflexão de tensão apropriado para esse caso e utilize-o para fazer um gráfico da tensão no resistor de carga em função do tempo, para 0 < t < 8l/ν (note que o efeito da abertura da chave é o de iniciar uma segunda onda de tensão, cuja amplitude é tal que deixa uma corrente equivalente igual a zero a partir da sua abertura). 10.40 Na linha carregada da Figura 10.25, a impedância característica vale Z0 = 100 , e Rg = 300 . A linha está carregada com uma tensão inicial, V0 = 160 V, e a chave é fechada em t = 0. Determine e faça o gráfico da tensão e da corrente sobre o resistor para o tempo 0 < t < 8l/v (quatro idas e voltas completas). Este problema acompanha o Exemplo 10.12 como outro caso especial do problema básico de linha carregada, no qual agora Rg > Z0. 10.41 Na linha de transmissão da Figura 10.37, a chave está posicionada a meia distância na linha e é fechada em t = 0. Construa um diagrama de reflexão de tensão para esse caso, onde RL = Z0. Faça o gráfico da tensão no resistor de carga em função do tempo. 10.42 Um gerador de onda congelada simples é mostrado na Figura 10.38. Ambas as chaves são fechadas simultaneamente em t = 0. Construa um diagrama de reflexão de tensão apropriado para o caso no qual RL = Z0. Determine e construa o gráfico da tensão no resistor de carga em função do tempo. 10.43 Na Figura 10.39, RL = Z0 e Rg = Z0/3. A chave é fechada em t = 0. Determine e faça o gráfico como funções do tempo: (a) da tensão em RL; (b) da tensão em Rg; (c) da corrente na bateria. Figura 10.38 Ver Problema 10.42. V0 Z0 t = 0 RL = Z0 Rg Figura 10.39 Ver Problema 10.43. Capítulo 11 • Onda Plana Uniforme 401 Colocando em evidência o termo e jδ/2, que contém o termo para a fase, obtemos Pela identidade de Euler, encontramos que e jδ/2 + e−jδ/2 = 2 cos δ/2, e e jδ/2 − e− jδ/2 = 2j sen δ/2. Utilizando essas relações, obtemos (102) Reconhecemos a Equação (102) como o campo elétrico de uma onda linearmente po- larizada, cujo campo vetorial está orientado com um ângulo δ/2 em relação ao eixo x. O Exemplo 11.7 mostra que qualquer onda linearmente polarizada pode ser ex- pressa como a soma de duas ondas com polarização circular em sentidos opostos, e que a direção de polarização linear é determinada pelo defasamento relativo entre as duas ondas. Uma representação desse tipo é conveniente (e necessária) quando consi- deramos, por exemplo, a propagação de luz linearmente polarizada através de meios que contêm moléculas orgânicas. Essas frequentemente exibem estrutura em espiral que possuem passos associados à regra da mão direita ou esquerda, e elas então irão interagir diferentemente com a polarização circular à direita ou à esquerda. Como resultado, o componente circular à esquerda pode se propagar em uma velocidade diferente em relação ao componente de polarização circular à direita, e dessa forma as duas ondas acumularão um defasamento à medida que se propagam. Como resul- tado, a direção do campo vetorial linearmente polarizado na saída do material será diferente daquela que tinha na entrada do mesmo. A intensidade dessa rotação pode ser utilizada como uma ferramenta de medição para auxiliar estudos sobre o material. Questões associadas à polarização se tornarão extremamente importantes quando considerarmos a reflexão de ondas no Capítulo 12. REFERÊNCIAS 1. Balanis, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. New York: John Wiley & Sons, 1989. 2. International Telephone and Telegraph Co., Inc. Reference Data for Radio Engineers. 7. ed. Indianapolis, Ind.: Howard W. Sams & Co., 1985. Esse livro possui alguns dados excelentes sobre as propriedades de materiais dielétricos e isolantes. 3. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics. New York: John Wiley & Sons, 1999. 4. Ramo, S., J. R. Whinnery, and T. Van Duzer. Fields and Waves in Communication Electro- nics. New York: John Wiley & Sons, 1994. PROBLEMAS 11.1 Mostre que Exs = A e j(k0z+φ) é uma solução da equação vetorial de Helmholtz, a Equação (30), para k0 = ω e quaisquer φ e A. 11.2 Uma onda plana uniforme de 10 GHz se propaga em um meio sem perdas para o qual r = 8 e μr = 2. Calcule: (a) vp; (b) β; (c) λ; (d) Es; (e) Hs; ( f ) 〈S〉. 402 Eletromagnetismo 11.3 Um campo H no espaço livre é dado como H(x, t) = 10 cos (108t − βx)ay A/m. Calcule: (a) β; (b) λ; (c) E(x, t) em P(0,1, 0,2, 0,3) em t = 1 ns. 11.4 Pequenas antenas possuem baixas eficiências (como será visto no Capítulo 14). A eficiência aumenta com o tamanho da antena até o ponto no qual uma dimensão crítica da mesma tem fração apreciável de um comprimento de onda, como λ/8. (a) Uma antena de 12 cm de comprimento opera no ar em 1 MHz. Qual é a fração de sua dimensão em função do comprimento de onda? (b) A mesma antena é imersa em um material de ferrite, com r = 20 e μr = 2.000. Qual é a fração agora? 11.5 Uma onda plana uniforme de 150 MHz no espaço livre é descrita por Hs = (4 + j10)(2ax + jay)e−jβz A/m. (a) Encontre valores numéricos para ω, λ e β. (b) Encontre H(z,t) em t = 1,5 ns, z = 20 cm. (c) Quanto vale |E|max? 11.6 Uma onda plana tem campo elétrico dado por Es = (Ey0 ay − Ez0 az)e−αx e−jβx V/m. A impedância intrínseca do meio é: η = |η|e jφ, onde φ é uma fase constante. (a) Descreva a polarização da onda e sua direção de propagação. (b) Determine Hs. (c) Calcule E(x, t) e H(x, t). (d) Determine <S> em W/m2. (e) Encontre a potência média temporal, em watts, que é interceptada por uma antena de seção transversal retangular, com largura w e altura h, suspensa em paralelo ao plano yz e a uma distância d da fonte da onda. 11.7 A intensidade de campo magnético fasorial para uma onda plana uniforme de 400 MHz propagando em certo material sem perdas vale (2ay − j5az) e−j25x A/m. Sabendo-se que a máxima amplitude de E vale 1.500 V/m, calcule β, η, λ, vp, r, μr e H(x, y, z, t). 11.8 Um campo elétrico no espaço livre é dado em coordenadas esféricas como Es(r) = E0(r)e−jkr aθ V/m. (a) Determine Hs(r) considerando um comportamento de onda plana uniforme. (b) Encontre < S >. (c) Expresse a potência média de saída, em watts, através da uma casca esférica fechada de raio r, centrada na origem. (d) Estabeleça a forma funcional requerida para E0(r) que permitirá o fluxo de potência da parte c ser independente do raio. Com essa condição estabelecida, o campo dado torna-se aquele de um radiador isotrópico em um meio sem perdas (radiando a mesma potência em todas as direções). 11.9 Certo material sem perdas tem μr = 4 e r = 9. Uma onda plana uniforme de 10 MHz está se propagando na direção ay com Ex0 = 400 V/m e Ey0 = Ez0 = 0 em P(0,6, 0,6, 0,6) em t = 60 ns. (a) Calcule β, λ, vp e η. (b) Encontre E(y, t). (c) Determine H(y, t). 11.10 Em um meio caracterizado por impedância intrínseca η = |η|e jφ, uma onda plana linearmente polarizada se propaga, com campo magnético dado por Hs = (H0yay + H0zaz)e−αxe−jβx. Calcule: (a) Es; (b) E(x, t); (c) H(x, t); (d) 〈S〉. 11.11 Uma onda plana uniforme de 2 GHz tem uma amplitude Ey0 = 1,4 kV/m em (0, 0, 0, t = 0) e se propaga na direção az em um meio onde ′′ = 1,6 × 10−11 F/m, ′ = 3,0 × 10−11 F/m e μ = 2,5 μH/m. Calcule: (a) Ey em P(0, 0,1,8 cm) em 0,2 ns; (b) Hx em P em 0,2 ns.